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數(shù)學悖論、數(shù)學危機及其對數(shù)學的推動作用
數(shù)學悖論、數(shù)學危機及其對數(shù)學的推動作用悖論是讓數(shù)學家無法回避的問題。悖論出現(xiàn)使得數(shù)學體系出現(xiàn)不可靠性和失真理性，這就逼迫數(shù)學家投入最大的熱情去解決它。而在解決悖論的過程中，各種理論應運而生了，因而悖論在推動數(shù)學發(fā)展中的巨大作用�，F(xiàn)在我作如下簡單闡述：
畢達哥拉斯學派認為“萬物皆數(shù)”,而“一切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比”則是這一學派的數(shù)學信仰。然而，畢達哥拉斯定理卻成了畢達哥拉斯學派數(shù)學信仰的“掘墓人”.畢達哥拉斯定理提出后，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù)，也不能用分數(shù)表示，而只能用一個新數(shù)來表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導致了數(shù)學史上第一個無理數(shù)√2 的誕生。這卻在當時的數(shù)學界掀起了一場巨大風暴。這一偉大發(fā)現(xiàn)不但對畢達哥拉斯學派的致命打擊，也對于當時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的沖擊。更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當時直接導致了人們認識上的危機，從而導致了西方數(shù)學史上一場大的風波，史稱“第一次數(shù)學危機”.
二百年后，歐多克索斯提出的新比例理論暫時消除悖論。一直到18世紀，當數(shù)學家證明了圓周率是無理數(shù)時，擁護無理數(shù)存在的人才多起來。到十九世紀下半葉，現(xiàn)在意義上的實數(shù)理論建立起來后，無理數(shù)本質被徹底搞清，無理數(shù)在數(shù)學中合法地位的確立，一方面使人類對數(shù)的認識從有理數(shù)拓展到實數(shù)，另一方面也真正徹底、圓滿地解決了第一次數(shù)學危機。
伴隨著人們科學理論與實踐認識的提高，十七世紀微積分誕生，但是微積分理論是不嚴格的。理論都建立在無窮小分析之上，作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克萊。
數(shù)學史上把貝克萊的問題稱之為“貝克萊悖論”.籠統(tǒng)地說，貝克萊悖論可以表述為“無窮小量究竟是否為0”的問題：就無窮小量在當時實際應用而言，它必須既是0,又不是0.但從形式邏輯而言，這無疑是一個矛盾。這一問題的提出在當時的數(shù)學界引起了一定的混亂，由此導致了第二次數(shù)學危機的產(chǎn)生。
十八世紀開始微積分理論獲得了空前豐富。然而，與此同時十八世紀粗糙的，不嚴密的工作也導致謬誤越來越多的局面。當時數(shù)學中出現(xiàn)的混亂局面了。尤其到十九世紀初，傅立葉理論直接導致了數(shù)學邏輯基礎問題的徹底暴露。這樣把分析重新建立在邏輯基礎之上就成為數(shù)學家們迫在眉睫的任務。到十九世紀，批判、系統(tǒng)化和嚴密論證的必要時期降臨了。
使分析基礎嚴密化的工作由法國著名數(shù)學家柯西邁出了第一大步。柯西于1821年開始給出了分析學一系列基本概念的嚴格定義。后來，德國數(shù)學家魏爾斯特拉斯給出更為完善的我們目前所使用的“ε-δ ”方法。另外，在柯西的努力下，連續(xù)、導數(shù)、微分、積分、無窮級數(shù)的和等概念也建立在了較堅實的基礎上。
柯西之后，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經(jīng)過自己獨立深入的研究，都將分析基礎歸結為實數(shù)理論，并于七十年代各自建立了自己完整的實數(shù)體系。1892年，另一個數(shù)學家創(chuàng)用“區(qū)間套原理”來建立實數(shù)理論。由此，沿柯西開辟的道路，建立起來的嚴謹?shù)臉O限理論與實數(shù)理論，完成了分析學的邏輯奠基工作。數(shù)學分析的無矛盾性問題歸納為實數(shù)論的無矛盾性，從而使微積分學這座人類數(shù)學史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎之上。微積分學堅實牢固基礎的建立，結束了數(shù)學中暫時的混亂局面，同時也宣布了第二次數(shù)學危機的徹底解決。
十九世紀下半葉，康托爾創(chuàng)立了著名的集合論，并且獲得廣泛而高度的贊譽。數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個數(shù)學大廈。因而這使數(shù)學家們?yōu)橹兆怼?br />
可是，1903年一個震驚數(shù)學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數(shù)學家羅素提出的著名的羅素悖論。
羅素構造了一個集合S:S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問：S是否屬于S呢？根據(jù)排中律，一個元素或者屬于某個集合，或者不屬于某個集合。因此，對于一個給定的集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬于S,根據(jù)S的定義，S就不屬于S;反之，如果S不屬于S,同樣根據(jù)定義，S就屬于S.無論如何都是矛盾的。
羅素悖論一提出就在當時的數(shù)學界與邏輯學界內(nèi)引起了極大震動。這一悖論就像在平靜的數(shù)學水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導致了第三次數(shù)學危機。
危機產(chǎn)生后，人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。1908年，策梅羅在自己這一原則基礎上提出第一個公理化集合論體系，后來經(jīng)其他數(shù)學家改進，稱為ZF系統(tǒng)。這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。公理化集合系統(tǒng)的建立，成功排除了集合論中出現(xiàn)的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數(shù)學危機。但在另一方面，羅素悖論對數(shù)學而言有著更為深刻的影響。它使得數(shù)學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態(tài)擺到數(shù)學家面前，導致了數(shù)學家對數(shù)學基礎的研究。而這方面的進一步發(fā)展又極其深刻地影響了整個數(shù)學。
以上簡單介紹了數(shù)學史上由于悖論而導致的三次數(shù)學危機與解決，從中我們不難看到悖論在推動數(shù)學發(fā)展中的巨大作用。而悖論提出的正是讓數(shù)學家無法回避的問題。正如希爾伯特在《論無限》一文中所指出的那樣：“必須承認，在這些悖論面前，我們目前所處的情況是不能長期忍受下去的。人們試想：在數(shù)學這個號稱可靠性和真理性的模范里，每一個人所學的、教的和應用的那些概念結構和推理方法竟會導致不合理的結果。如果甚至于數(shù)學思考也失靈的話，那么應該到哪里去尋找可靠性和真理性呢？”悖論的出現(xiàn)逼迫數(shù)學家投入最大的熱情去解決它。而在解決悖論的過程中，各種理論應運而生了：第一次數(shù)學危機促成了公理幾何與邏輯的誕生；第二次數(shù)學危機促成了分析基礎理論的完善與集合論的創(chuàng)立；第三次數(shù)學危機促成了數(shù)理邏輯的發(fā)展與一批現(xiàn)代數(shù)學的產(chǎn)生。數(shù)學由此獲得了蓬勃發(fā)展。
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