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取之規(guī)律 用之創(chuàng)造--《幾何畫板》教學方法研討
取之規(guī)律 用之創(chuàng)造--《幾何畫板》教學方法研討
[內(nèi)容摘要] 在信息技術課中開設《幾何畫板》的選修活動課程，其教學目標是：用任務驅動教學，激活大腦，激發(fā)興趣，激起靈感，構建問題，探討規(guī)律，設計實驗，勇于創(chuàng)造。在任務的驅動下，全身心地投入到對問題的求解上，通過認識、實踐的不斷變化過程中，悟出規(guī)律，構建模型，掌握創(chuàng)造性思維方法。打破定勢思維，讓觸角伸向四面八方，從數(shù)學知識中要方法，要規(guī)律，要模型。啟發(fā)學生發(fā)散思維。為學生創(chuàng)設了一個培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實踐能力的環(huán)境。在鍥而不舍的探求中解決問題，引發(fā)創(chuàng)新的線索。
[關鍵詞] 幾何畫板任務驅動探討規(guī)律構建模型發(fā)散思維創(chuàng)新精神 《幾何畫板》作為電子尺規(guī)，是研究幾何圖形的關系，動態(tài)地觀察幾何圖形運動狀態(tài)，探索數(shù)學信息的有力工具。是一個很適合用于幾何教學和學習的工具軟件平臺，同時又以CAI創(chuàng)作工具的形式出現(xiàn)，應用于代數(shù)、立體幾何、解析立體幾何、物理等其它學科的教學和學習中。在信息技術課中開設《幾何畫板》的選修活動課程，其教學目標是：用任務驅動教學，發(fā)揮學生的能動性，構建問題，探討規(guī)律，發(fā)現(xiàn)特點，設計實驗，勇于創(chuàng)造。
1. 熟，能，生巧
進入幾何畫板，打開幾何世界之窗。教會學生用電子尺規(guī)工具熟練地作基本的幾何圖形。并能運用幾何關系完成相對位置關系的幾何圖形，例如布置學生完成"作平行線族"，"從圓外一點向圓引切線"，"最少的步驟作一正方形"，見圖1，讓學生結合數(shù)學知識，充分發(fā)揮自己的想象力，在短時間內(nèi)，盡可能多地運用畫板中提供的功能，完成好課堂作業(yè)。幾個簡單的幾何圖形猶如一枚石子，在學生平靜的心湖激起層層創(chuàng)造性思維的漣漪。有人巧妙地應用標識向量和平移實現(xiàn)"可控的"平行線族；運用兩次的旋轉變換作出了準確的正方形；連接圓心與圓外的一點的線段為直徑作輔助圓，兩圓交點即是所求的切點。以此類的例子作為授課的線索，拉開幾何畫板基本操作學習的序幕，旨在激活大腦，激發(fā)興趣，激起靈感。
2. 任務驅動，尋求規(guī)律
在學生充分感知、興趣盎然之時，為學生提供有代表性、規(guī)律性、創(chuàng)造性的范例，來誘發(fā)學生的觀察力、判斷力、想象力，使學生在任務的驅動下，全身心地投入到對問題的求解上，通過認識、實踐的不斷變化過程中，悟出規(guī)律，構建模型，解決問題，掌握創(chuàng)造性思維方法。
(1) 從實踐認識中摸索規(guī)律
任務一：模擬"活塞運動"過程。
作如圖2所示的模型（容易想到），但讓它運動起來無論如何都不是"活塞運動"過程，而是l的伸縮運動。怎么辦？通過反復的實踐比較，學生們會摸索出讓定線段l運動的規(guī)律，作出如圖3的模型。
往下的任務是對圖3進行加工美化，使之逼真地模擬"活塞運動"過程。
(2) 從數(shù)學知識中悟出規(guī)律
任務二：以參數(shù)p，作y2=2px的拋物線軌跡。
完成任務二可以給定p的實數(shù)值，通過測算變換畫出拋物線來，那是真正意義上"畫" 拋物線了，對拋物線幾何性質的學習研究用處不大。這里要引導學生對拋物線定義和幾何性質的鉆研，因勢利導，引發(fā)學生的創(chuàng)造性思維，悟出拋物線點運動的規(guī)律。作出如圖4的模型。
從拋物線的定義知，焦點F與準線l的距離相等的點M的軌跡。這就是我們作拋物線的依據(jù)，同時從中垂線上點到線段兩端點的距離相等中得到啟發(fā)，于是之，作拋物線的步驟歸結如下：
●在準線l上任取一點K，連結F ●作線段KF的中垂線 ●過K作X軸的平行線交中垂線于M
跟蹤M點，當K點在l上往復運動，M點軌跡即為拋物線。拖動F點，改變參數(shù)p，觀察拋物線形狀，準線的位置。
獲得的啟示：要盡可能打破由方程做軌跡的定勢思維，讓觸角伸向四面八方，從數(shù)學知識中要方法，要規(guī)律，要模型。啟發(fā)學生發(fā)散思維。
3) 從發(fā)散思維中總結規(guī)律
任務三：作一定長的線段l的兩端點在坐標軸上滑動過程的軌跡。
如圖5，讓定長的線段l的兩端點在坐標軸上自由地滑動，也不是一件容易的事。指導學生求異、求新、發(fā)散思維，進行多角度聯(lián)想，充分借用已有知識與技巧，獨辟蹊徑，構造線段滑動變換的運動模型。使發(fā)散性思維的成果熠熠生輝。構思巧妙，耐人尋味。
圖6的模型形成：以O為圓心，l為半徑作輔助圓；在輔助圓上任取一點p，過p分別向兩坐標軸引垂線，交Y軸于M，交X軸于N。易證MN恒等于l的長度。這樣點p繞輔助圓運動，而線段l就在坐標軸上自由地滑動。
學生在發(fā)散思維的誘導下，輕輕松松總結出運動規(guī)律，可真謂"四兩撥千斤"。通過多層次的刺激，激發(fā)學生積極地思維，創(chuàng)造性地思維，使學生創(chuàng)造思維能力不斷躍上一個個新的臺階。
3.發(fā)揮創(chuàng)造力的想象空間
《幾何畫板》為學生活用數(shù)學思想和方法創(chuàng)設了一個培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實踐能力的環(huán)境。它注重的是動態(tài)觀察和分折計算，在鍥而不舍的探求中解決問題，引發(fā)創(chuàng)新的線索。
例題：在直線l：y=x+3的上取一點P，過點P且以雙曲線12x2-4y2=3的焦點為焦點作橢圓，求橢圓長軸長的最小值及此時P點的坐標與橢圓方程。
通過幾何畫板解決這個問題，在探索性的教與學的過程中，發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新的命題和成果。在求得橢圓的兩焦點為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），探索P點在直線l:y=x+3上，做出長軸長2a的動態(tài)橢圓且求出長軸長2a的最小值。
具體步驟如下：
（1）建立坐標軸，畫出兩焦點F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）以及直線l：y=x+3上的任一點P。 （2）畫線段PF1和PF2以P為圓心，線段PF1長為半徑畫圓交PF2的延長線于F3則PF3=2a。 （3）以F1、F2為焦點，長軸長F2F3=2a畫橢圓： ●以F1為圓心，F(xiàn)2F3=2a為半徑畫圓； ●在所作的圓上任取一點Q，連接QF1，如圖7； ●連接QF2，做QF2的中垂線，交QF1于N，如圖8；
圖7圖8
隨著Q在圓上運動，N點軌跡就是橢圓，如圖9（隱藏一些輔助線）。
（4）如圖10，拖動P點，觀察橢圓的變化，當l：y=x+3與橢圓相切于P0時，P0點即是最值點。于是，以直線l：y=x+3為標識鏡面，做F1反射點F1'，連結F1'F2交直線l于P0點，連結P F1'，則P F1'＝P F1，于是有：
2a = |PF1| + |PF2 = | P F1'| + |PF2| ≥ | F1'F2|
圖9圖10
同學們在構造橢圓的方法是很巧妙的,但同學們沒有停留在構造橢圓上,而是通過改變決定橢圓形狀的參數(shù)，非常直觀、形象地了解這個圖形系統(tǒng)對軌跡（橢圓）的影響，發(fā)現(xiàn)其中的幾何關系,靠實驗觀察和邏輯推理相結合去歸納總結，逐步向目標狀態(tài)（問題的解決）逼近。使對數(shù)學問題的探討,通過實驗、觀察、歸納的方法去解決，起到事倍功半的作用。
《幾何畫板》提供了一個全新的學習數(shù)學的學習環(huán)境，學生在感性認識的基礎上，調動了學習的主動性、提高了動手能力，培養(yǎng)了學習的探索與創(chuàng)造的能力。
[參考文獻]
《幾何畫板》潘懋德
[作者簡介] 陳 光 男 師大數(shù)學本科畢業(yè)中學高級教師 福建省中青年學科帶頭人
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