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用幾何畫板驗(yàn)證全等三角形”
用幾何畫板驗(yàn)證全等三角形”
東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)教育集團(tuán) 崔恒劉
《幾何畫板》是美國(guó)Key Curriculum Press 公司制作的優(yōu)秀教育軟件,它可以給我們創(chuàng)造一個(gè)實(shí)際“操作”數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)“實(shí)驗(yàn)”的環(huán)境,如任意拖動(dòng)某點(diǎn)、線,觀察圖形的變化,猜測(cè)、驗(yàn)證結(jié)論,在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的過程中增加對(duì)各種圖形的感性認(rèn)識(shí),形成豐厚的幾何經(jīng)驗(yàn)背景,從而更有助于我們對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和理解。下面我?guī)ьI(lǐng)同學(xué)們用幾何畫板實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證:為什么三角形全等的條件只有SSS、SAS、ASA這3個(gè)基本事實(shí)和AAS這1個(gè)推論呢?SSA為什么不可以呢?用SSS、SAS、ASA、AAS判定兩個(gè)三角形全等,其本質(zhì)是給定的條件能不能唯一確定三角形,現(xiàn)在我們以邊為線索,先從三邊開始探究:
一、 三邊對(duì)應(yīng)相等
已知△ABC的三邊AB=c,BC=a,CA=b,求作△ABC。
過程:先作線段AB=c,然后分別以A、B為圓心,b、a為半徑畫圓,如果兩圓不能相交,則說明給定的三邊不能組成三角形,這驗(yàn)證“三角形的兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”。如圖1,我們看到,兩圓相交于兩點(diǎn)C、D,連接AC、AD、BC、BD,則得到△ABC和△ABD,度量三對(duì)角,發(fā)現(xiàn)它們分別相等,則說明這兩個(gè)三角形全等。從這里可以看出,有了三邊的長(zhǎng)度,不用考慮角的大小,就能把三角形唯一確定下來。這說明若三角形的三邊相等,則兩三角形全等。
二、兩邊對(duì)應(yīng)相等
、贌o角相等:已知△ABC的兩邊AB=c,CA=b,求作△ABC。
過程:先作線段AB=c,再以A點(diǎn)為圓心,b為半徑畫圓,在圓上任取一點(diǎn)C與A、B連接,所形成的三角形均滿足兩邊AB=c,CA=b的條件,如圖2,拖動(dòng)點(diǎn)C,可以看到,這樣的三角形有無數(shù),這說明兩邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不全等。
、趦蛇叺膴A角相等:已知△ABC的兩邊AB=c,AC=b和它們的夾角∠BAC=∠α,求作△ABC。
過程:先作∠BAC=∠α,然后以點(diǎn)A為圓心,分別以c,b為半徑畫圓,交∠A的兩邊于B、C兩點(diǎn),連BC,則圖3中有一個(gè)確定的△ABC,滿足條件AB=c,AC=b,∠BAC=∠α。這說明若三角形的兩邊及兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等,則兩三角形全等。
、垡贿叺膶(duì)角相等:已知△ABC的兩邊AB=c,BC=a和邊BC的對(duì)角∠BAC=∠α,求作△ABC。
過程:先作∠BAC=∠α,然后以點(diǎn)A為圓心,以c為半徑畫圓,交∠A的一邊于B點(diǎn),再以B點(diǎn)為圓心,a為半徑畫圓,可以看到,這個(gè)圓與∠BAC的另一邊有兩個(gè)交點(diǎn),如圖4(也可能是一個(gè)交點(diǎn),也可能沒有交點(diǎn)),即滿足條件的三角形不能唯一確定,這說明若三角形的兩邊及一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等,則兩三角形不一定全等。
由上面的三點(diǎn)討論知:當(dāng)已知三角形的兩邊對(duì)應(yīng)相等時(shí),必須再知道它們的夾角相等,才能確定這兩個(gè)三角形全等,而SSA不能判定兩個(gè)三角形全等。
三、有一邊相等
類似地,我們用畫板實(shí)驗(yàn)有一邊相等的情形,這個(gè)留給同學(xué)們自己嘗試
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