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冗余度TT-VGT機器人的神經網絡自適應控制
摘要：提出了采用神經網絡進行模型參考自適應控制（MRAC）的方案，建立了自適應控制的狀態(tài)模型，并推導出相應的自適應算法；最后對冗余度TT-VGT機器人自適應控制進行了仿真。關鍵詞：冗余度 TT-VGT機器人 神經網絡 模型參考自適應控制
TT-VGT（Tetrahedron-Tetrahedron-Variable Geometry Truss）機器人是由多個四面體組成的變幾何桁架機器人，圖1所示為由N個四面體單元組成的冗余度TT-VGT機器人操作手，平面ABC為機器人的基礎平臺，基本單元中各桿之間由較鉸連接，通過可伸縮構件li(i=1,2,…，n)的長度變化改變機構的構形。圖2所示為其中的兩個單元的TT-VGT機構，設平面ABC和平面BCD的夾角用中間變量qi(i=1,2,…,n)表示，qi與li(I=1,2,…，n)的關系如下[2]：
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式中，d表示TT-VGT中不可伸縮構件的長度，
li表示機器人可伸縮構件的長度。
TT-VGT機器人關節(jié)驅動力F與力矩τ的關系為：
F=Bττ (2)
式中，Bτ為對角矩陣，對角元素Bτi為：
1 狀態(tài)模型
機器人的自適應控制是與機器人的動力學密切相關的。機器人的動力學方程的一般形式可如下表示（不考慮外力的作用）：
τ=D（q）q+C(q,q)q+G(q)q (4)
式中，D（q）∈R n×n為廣義質量矩陣（慣性矩陣），
C（q,q）∈Rn×(n×n)為向心力及哥氏力作用的矩陣，
G（q）∈R n為重力矩陣，
τ∈R n表示機器人的驅動力矩。
對于TT-VGT機器人，用桿件變量li,ii,Li（i=1,2…，n）代替中間變量qi，qi，qi（i=1,2…，n）（見式（1）），則試（4）可表示為：
F=D（l）l+C（l,i）i+G(l)l (5)
式中，F∈Rn表示機器人的驅動力。
可把式（5）表示為下列狀態(tài)方程：
x=A(x,t)x+B(x,t)F （7）
式中，
上述機器人動力學模型就是機器人自適應控制器的調節(jié)對象。
考慮到傳動裝置的動力學控制系統(tǒng)模型如
下式所示：
式中，u、l——傳動裝置的輸入電壓和位移矢量，
Ma、Ja、Ba——傳動裝置的驅動力矩比例系數、轉動慣量和阻尼系數（對角矩陣）。
聯立求解式（5）和式（9），并定義：
可求得機器人傳動系統(tǒng)的時變非線性狀態(tài)模型如下：
2 Lyapunov模式參考自適應控制器設計
定理 設系統(tǒng)的運動方程為：
e=Ae+Bφr （13）
φ=-RB T Per (14)
式中，e為n維向量，r為l維向量，A、B、φ分別為（n×n）、（n×m）、（m×l）維滿秩矩陣，R與P分別為（m×m）、（n×n）維正定對稱矩陣。
假若矩陣P滿足Lyapunov方程：
PA+A TP=-Q （15）
式中，Q為（n×n）維正定對稱矩陣。
同該系統(tǒng)的平衡點e，φ是穩(wěn)定的。
如果向量r又是由l個或更多不同頻率的分量所組成，那么該平衡點還是漸近穩(wěn)定的。其證明可參看文獻[4]。選擇如下的穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)為參考模型：
y=Amx+Bmr （16）
式中，y——參考模型狀態(tài)矢量：
式中，∧1——含有ωi項的（n×n）對角矩陣，
∧2——含有2ξωi項的n×n對角矩陣。
式（18）表示n個含有指定參數ξ和ωi的去耦二除微分方程式：
yi+2ξiωiyi+ωi2yi=ωi2r （19）
令控制器輸入為：u=Kxx+Kur （20）
式中，Kx、Ku——可調反饋矩陣和前饋矩陣。
根據式（20）可得式（11）的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)模型為：
x=As(x,t)x+Bs(x,t)u （21）
>
式中，As(x,t)=Ap(x,t)+Bp(x,t)Kx，Bs(x,t)=Bp(x,t)Ku (22)
將式（12）代入式（22），可得：
適當地設計Kxi、Ku，能夠使式（11）所示系統(tǒng)與式（16）所代表的參考模型完全匹配。
定義狀態(tài)誤差矢量為：
e=y-x （24）
則e=Ame+（Am-As）x+(Bm-Bs)r （25）
控制目標是為Kx和Ku找出一種調整算法，使得狀態(tài)誤差趨近于零，即：
對腳式（13）與式（14），選取正定Lyapunov函數V為：
式中，P——正定矩陣，
FA和FB——正定自適應增益矩陣。
對上式微分，得
根據Lyapunov穩(wěn)定性理論，保證滿足式（24）為穩(wěn)定的充要條件是V為負定，由此可求得：
將式（22）求導并與式（30）聯立求解，同時考慮到控制器穩(wěn)定時式（11）所示系統(tǒng)與式（16）所代表的參考模型完全匹配，可得
由此已得到控制器的自適應控制律。
3 TT-VGT機器人的神經網絡自適應控制
本文采用直接MRAC（模型參考自適應控制）神經網絡控制器對TT-VGT機器人進行控制。在圖3中，NNC（神經網絡控制器）力圖維持機器人輸出與參考模型輸出之差e（t）=l(t)-lm(t) →。即通過誤差反傳，并采用上節(jié)的自適應算法，調節(jié)NNC，使得其輸出控制機器人運動到誤差e(t)為0。
神經網絡模型如圖4所示。
4 實例分析
以四得四面體為例，如圖5所示建立基礎坐標系，末端參考點H位于末端平臺EFG的中點。設參考點H在基礎坐標系中，從點（0.8640，-0.6265，0.5005）直線運動到點（1.8725，0.5078，0.7981），只實現空間的位置，不實現姿態(tài)。運動的整個時間T設定5秒，運動軌跡分為等時間間隔的100個區(qū)間。不失一般性要求，末端在軌跡的前40個區(qū)間勻加速度運動（a=0.2578），中間20個工間勻速度運動，最后40個區(qū)間勻減速度運動（a=-0.2578），開始和結束時的末端
速度為。設各定長構件長度為1m，機構中各桿質量為1kg，并將質量向四面體各頂點對稱簡化。
傳動裝置的參數如下：
Ma=4.0×10e -3kg·m/V；Ba=0.01N·m/(rad·s -1)；
近似認為各關節(jié)電動機軸上的總轉動慣量在運動過程中保持不變，其值分別為：
J1=0.734kg·m2;J2=0.715kg·m2；
J3=0.537kg·m2；J4=0.338kg·m2
末端位置誤差曲線如圖6所示。從誤差曲線可看出，采用神經網絡自適應控制的機器人位置控制精度較高，穩(wěn)定性較好。
本文提出采用直接MRAC神經網絡自適應器對機器人進行軌跡控制的方案；建立機器人狀態(tài)模型，推導出自適應控制算法，并對冗余度TT-VGT機器人軌跡控制進行了仿真。結果表明，該方案控制誤差較小，穩(wěn)定性較好。
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