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數(shù)學(xué)教學(xué)論文：基于策略：解決實際問題的教學(xué)訴求
數(shù)學(xué)教學(xué)論文：基于策略：解決實際問題的教學(xué)訴求——兩步計算實際問題的教學(xué)思考
江蘇省邳州市教育局教研室聶艷軍
[摘要]新教材對于解決實際問題內(nèi)容采用“以具體思維方法統(tǒng)整教學(xué)內(nèi)容”的編排思路，其發(fā)展學(xué)生解決問題策略的意圖是顯而易見的。兩步計算實際問題在解決實際問題教學(xué)中，占有十分重要的地位，分析與綜合是學(xué)生經(jīng)常使用而且必須掌握的基本策略。教學(xué)中，可以采用如下策略：“表征問題”，把潛在的經(jīng)驗曝露出來；陳述思維，體會思考的起點與方向；比較反思，從解題經(jīng)驗中提取可操作的成分；有效練習(xí)，在應(yīng)用中深化體驗。
[關(guān)鍵詞]解決實際問題解題策略教學(xué)價值
新教材對于解決實際問題內(nèi)容，變以往分類編排為按學(xué)生能力發(fā)展水平、由易到難編排，采用“以具體思維方法統(tǒng)整教學(xué)內(nèi)容”的教學(xué)思路，即通過典型例題引路，在練習(xí)中把例題所提供的思維方法作為基本的思考模型，帶動一大片題材寬廣、數(shù)量關(guān)系豐富的內(nèi)容學(xué)習(xí)。引領(lǐng)學(xué)生從過去過分關(guān)注問題的“表層結(jié)構(gòu)”（問題所包含的事實性內(nèi)容及其表述形式）轉(zhuǎn)向現(xiàn)在更加關(guān)注它們的“深層結(jié)構(gòu)”（問題內(nèi)在的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)），其發(fā)展學(xué)生解決問題策略的意圖是顯而易見的。
兩步計算實際問題與復(fù)雜實際問題的解題思路實質(zhì)是相通的，只是計算的步數(shù)多少而已，抓好兩步計算實際問題的教學(xué)對于學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)具有深遠(yuǎn)意義。兩步計算實際問題的特征是：條件與問題之間存在著形式上的“分離”，即現(xiàn)有信息的結(jié)論指向與問題所需的信息之間存在著思維的障礙。學(xué)生在從當(dāng)前的問題狀態(tài)到達(dá)需要的目標(biāo)狀態(tài)的過程中，必須對數(shù)學(xué)信息和問題之間直接或間接的聯(lián)系進(jìn)行思考與分析。完成這種思維進(jìn)程，分析與綜合是學(xué)生經(jīng)常使用而且必須掌握的基本策略。
下面結(jié)合蘇教版課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書二下第82頁的教學(xué)內(nèi)容談?wù)剝刹接嬎銓嶋H問題的教學(xué)思考。
一、“表征問題”，把潛在的經(jīng)驗曝露出來。
“表征問題”，就是讓待解決的問題進(jìn)入解題人的頭腦，形成問題表象，也就是通常所說的理解題意。實際問題解答的成功與否，首先依賴于學(xué)生對實際問題內(nèi)容的明確程度。新教材解決實際問題大多采用場景圖的形式呈現(xiàn)問題情境。問題情境給學(xué)生創(chuàng)造一個模擬的“生活空間”，容易使學(xué)生體會到要解決的問題出自自己熟悉的生活原型，有身臨其境之感。但是，解決問題所需要的數(shù)學(xué)信息是以對話、圖畫、表格、文字等多種形式鑲嵌其間的，并呈現(xiàn)一定的無序性、隱蔽性，(教學(xué)論文 m.panasonaic.com)很難形成對問題的完整印象。由此，指導(dǎo)學(xué)生從紛亂的現(xiàn)實情境中收集、整理數(shù)學(xué)信息，并按事情發(fā)生、發(fā)展的線索把問題說清楚、說完整、說準(zhǔn)確，是首當(dāng)其沖的。
[教學(xué)現(xiàn)場]
動畫呈現(xiàn)例1場景圖。大猴說：“我采了3筐，每筐12個�！毙『镎f：“我采了6個。”
師：圖中講了什么事？你能了解到哪些信息？
生1：大猴說：“我采了3筐，每筐12個�！毙『镎f：“我采了6個。”
生2：大猴采了3筐，每筐12個。小猴采了6個。
師：根據(jù)這些信息，能提一個數(shù)學(xué)問題嗎？
生3：大猴和小猴一共采了多少個桃？
生4：大猴比小猴多采多少個？
師：我們先來研究第一個問題。誰能把條件和問題完整地說一說？
生5：大猴采了3筐桃，每筐12個，小猴采了6個桃。大猴和小猴一共采了多少個桃？
[教學(xué)分析]
經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程，是形成問題表象的通道。教師分三個層次引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷這種轉(zhuǎn)化的過程：首先，通過“圖中講了什么事？你能了解到哪些信息”，給學(xué)生留出充分的時間進(jìn)入情境，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)地看、充分地講，把實際情境里的數(shù)學(xué)信息用自己的語言大膽地說出來。接著，要求學(xué)生根據(jù)信息提問題。收集、整理信息不是羅列條件，還要發(fā)現(xiàn)條件之間的聯(lián)系，從中生成出新的、有用的信息（數(shù)學(xué)問題），由此喚醒學(xué)生的生活積淀和已有的原始經(jīng)驗，并孕育“由條件想問題”的綜合思路。最后，通過完整地說一說條件和問題，把情境圖表現(xiàn)的實際問題加工成語言講述的數(shù)學(xué)問題，形成問題表象。學(xué)生經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程，主要信息通過感知，不僅理解題意，形成完整的問題結(jié)構(gòu)，而且把隱含在個體經(jīng)驗里的解題策略進(jìn)行激活。這樣，學(xué)生就容易形成對解決問題躍躍欲試的參與狀態(tài)。
二、陳述思維，體會思考的起點與方向。
分析信息之間的關(guān)系，并用數(shù)學(xué)語言表述數(shù)量關(guān)系，形成解決問題的思路，是解決實際問題的核心。過去的教材教學(xué)兩步計算的應(yīng)用題時，在例題下面都有“想：根據(jù)和，先求”或“想：要求，需要知道和”。這樣安排，漠視學(xué)生的主動性與能動性，容易形成限制學(xué)生的思維方式。新教材不再呈現(xiàn)思路提示，也并不等于學(xué)生可以“隨意發(fā)揮”，教師無可作為。二年級學(xué)生雖然憑經(jīng)驗知道題目怎樣算，但很難把自己的思維過程表達(dá)得清楚、完整。在初學(xué)兩步計算的實際問題階段，教師通過引導(dǎo)，使學(xué)生把自己的思維過程表述清楚、完整、有條理，還是需要的。這不僅有利于制定解題計劃，更能加深學(xué)生對思維方法可操作成分的體驗，為掌握基本策略提供物質(zhì)基礎(chǔ)。
[教學(xué)現(xiàn)場]
師：怎樣才能求出大猴和小猴一共采了多少個桃呢？請小朋友先獨立思考，然后在小組里說說自己的想法。
學(xué)生匯報討論結(jié)果。
生：先用12×3=36（個），再用36+6=42（個）。
師：能具體地說你是先算什么，再算什么嗎？
生：先求出大猴采了多少個桃，再把大猴采的個數(shù)和小猴采的個數(shù)加起來。
師：為什么先算大猴采了多少個桃呢？
生：因為小猴采桃的個數(shù)已經(jīng)告訴，大猴采多少個桃沒有直接告訴。
師：從題目中哪些條件能算出大猴采的個數(shù)？
生：根據(jù)大猴采了3筐桃，每筐12個，可以先算出大猴采的個數(shù)。
師：誰能更完整地說說思考的過程？
生：因為大猴采多少個桃沒有直接告訴，所以要先算所以先算大猴采了多少個桃，再把大猴采桃的個數(shù)和小猴采桃的個數(shù)相加。
生：先根據(jù)大猴采了3筐，每筐12個，求出大猴一共采了多少個桃，再和小猴采的6個加起來。
師小結(jié)：根據(jù)大猴采了3筐，每筐12個這兩個條件，能算出大猴采了多少個桃，再用大猴采的個數(shù)加上小猴采的個數(shù)。
學(xué)生在作業(yè)本上獨立列式解答，然后匯報，教師板書課題。
接下來，研究第二個問題。略。
[教學(xué)分析]
簡單的乘加、乘減問題，從條件想比較順暢，學(xué)生經(jīng)常邊讀題邊聯(lián)系原始經(jīng)驗進(jìn)行思考。張老師根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，把思維的重點放在“綜合思路”上，符合教材的編寫意圖。怎樣使學(xué)生結(jié)合解題活動對這種思維方法能有良好的體驗?zāi)�？“組織交流”是必不可少的環(huán)節(jié)。在很多教案里，教師也安排了交流，但對交流的內(nèi)容、交流的重點、交流應(yīng)達(dá)到的目的以及如何引導(dǎo)，沒有細(xì)致的思考與準(zhǔn)備，這樣的交流難能讓學(xué)生形成深刻的體驗。在上面的教學(xué)中，教師首先鼓勵學(xué)生獨立思考，并在小組里說說自己的想法，這一方面是對學(xué)生已有的經(jīng)驗的尊重，另一方面也使得后面的交流活動“有話可說”。在第一個學(xué)生發(fā)言之后，教師通過“能具體地說說你是先算什么，再算什么的嗎？”“為什么先算大猴采了多少個桃呢？”“從題目中哪些條件能算出大猴采的個數(shù)？”引導(dǎo)學(xué)生的交流逐步從零碎走向完整，從膚淺走向深刻。這樣的交流，不僅孵化了解題思路，而且讓學(xué)生體會到解決問題時思考的起點與方向。
三、比較反思，從解題經(jīng)驗中提取可操作的成分。
實話實說，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課堂很少再有教師示范解決實際問題的方法，代之而來的是讓學(xué)生自主探索的解決問題的方法。然而，很多教師只關(guān)注學(xué)生的算法和結(jié)果是否正確，這種“只見樹木”的教學(xué)行為，很難能讓學(xué)生把例題學(xué)習(xí)的經(jīng)驗遷移到新的問題情境中去。由此形成的局面往往是，學(xué)生普遍感覺例題容易、練習(xí)較難。事實上，學(xué)生獨立解決問題往往是在生活經(jīng)驗的支持下進(jìn)行的。他們雖然對問題解決了，但對解決問題的過程與方法缺乏上升到數(shù)學(xué)層面反思、比較與提升，其認(rèn)識表現(xiàn)出明顯的情境性與局限性。因此，在學(xué)生積累一定的解題經(jīng)驗之后，教師應(yīng)及時組織學(xué)生上升到數(shù)學(xué)的層面，重認(rèn)自己的解題過程與方法，體會其中的思考，從解題經(jīng)驗中提取可操作的成分。
[教學(xué)現(xiàn)場]
師：請同學(xué)們仔細(xì)觀察剛才的兩道題，它們有什么相同的地方？
生1：條件相同，都是告訴大猴采了3筐，每筐12個。小猴采了6個。
生2：都要先算大猴采了多少個桃。
師：為什么都要先算大猴采了多少個桃呢？
生2：因為大猴采多少個桃不知道，不能直接相加、相減，所以要先算大猴采多少個桃。
生3：都是用兩步計算。
師：有什么不同的地方？
生4：第二步不一樣。一個用加法，一個用減法。
師：為什么呢？
生4：因為第一個問題是求兩只猴一共采多少個，所以要把兩只猴采的個數(shù)相加；第二個問題是求大猴比小猴多采多少個，所以要用大猴采的個數(shù)減去小猴采的個數(shù)。
師：以后解答問題時，要看清題目條件和問題，弄清先算什么，再算什么。
[教學(xué)分析]
回顧與反思是形成“策略”不可缺少的環(huán)節(jié)。有經(jīng)驗的教師在學(xué)生獲得對問題的成功解決之后，會組織學(xué)生通過回顧與反思，及時把解決問題活動中所形成的潛在的、不規(guī)范的經(jīng)驗改造、提煉為有意識的、規(guī)范的形態(tài)。上面的教學(xué)為我們提供了這樣一種示范：教師在學(xué)生自主探索例題與“試一試”之后，引導(dǎo)學(xué)生把解題的過程與方法作為研究對象，通過求同，提取思維方法中的可操作的成分；通過比異，加深對數(shù)量關(guān)系的進(jìn)一步理解。學(xué)生在交流、比較、反思的過程中，逐漸把解題的感性認(rèn)識提升成理性認(rèn)識，并內(nèi)化為可操作的經(jīng)驗系統(tǒng)。
四、有效練習(xí)，在應(yīng)用中深化體驗。
教育心理學(xué)家皮連生教授認(rèn)為，認(rèn)知策略的學(xué)習(xí)大致要經(jīng)過三個階段，第一個階段是知道該策略是什么、有什么功用、包含哪些具體的操作步驟（陳述性知識階段）。第二個階段是結(jié)合該策略適用的情境，對如何運(yùn)用這一策略進(jìn)行練習(xí)，逐步達(dá)到能夠熟練地執(zhí)行策略的操作程序（程序性知識階段）。第三個階段是清晰地把握策略適用的條件，知道在什么時候、在什么地方使用這一策略，并主動運(yùn)用和監(jiān)控這一策略的使用（元認(rèn)知階段）。這三個階段非一節(jié)課所能完成，而是一個連續(xù)漸進(jìn)的過程。在學(xué)生初步體驗綜合思維方法的內(nèi)涵后，教師應(yīng)當(dāng)及時提供題材豐富、數(shù)量關(guān)系多變的問題情境，讓學(xué)生在應(yīng)用方法解決問題的過程中，實現(xiàn)陳述性知識向程序性知識轉(zhuǎn)化。[教學(xué)現(xiàn)場]
1.出示“想想做做”第1題。
師：這道題告訴哪些條件？要求的問題是什么？同位兩人互相說一說，看誰說得有條理。
師：怎樣算一共要多少元呢？先獨立思考一下，再做在作業(yè)紙上。
學(xué)生匯報后，教師追問：15×2算的是什么？為什么先算它？
2.出示“想想做做”第2題。
師：怎樣算還有多少棵沒有澆？誰來說說自己的想法？
生1：我是這樣想的，先根據(jù)“有4行樹苗，每行14棵”算出一共有多少棵樹苗，再從一共的棵數(shù)里減去已經(jīng)澆的棵數(shù)。
師：說的太棒了！可以先根據(jù)男孩的話算出樹苗一共的棵數(shù)，再算還沒有澆的棵數(shù)。
生2：要求還有多少棵沒有澆，就是從一共的棵數(shù)里減去已經(jīng)澆的棵數(shù)，一共的棵數(shù)沒有告訴，所以要先算樹苗一共的棵數(shù)。
師：根據(jù)要求的問題去想條件，也是一種重要的思考方法。
學(xué)生獨立完成。
3.師：老師給每人準(zhǔn)備一張卡片(注：小兔拔蘿卜情境圖)，卡片上有許多條件，還有問題。你們可以根據(jù)條件找相應(yīng)的問題，也可以根據(jù)問題找相應(yīng)的條件。請小朋友四人一組，找條件與問題。
1白兔拔了10個；2灰兔拔了30個；3白兔拔了2籃，4灰兔拔了3籃，
每籃5個；每籃10個。
問題：兩只兔一共拔了多少個？
白兔比灰兔少拔多少個？學(xué)生討論后，匯報。
生1：我們組選①②和“白兔比灰兔少拔多少個？”用30-10=20（個）
生2：我們組選①④和“一共拔多少個？”
師：你們是怎樣想的？
生2：根據(jù)灰兔拔了3籃，每籃10個，先算出灰兔拔了多少個，再用灰兔拔的個數(shù)加上白兔拔的個數(shù)。
生3：我們組選③④和“一共拔多少個？”
師：你們是怎樣想的？
生2：白兔拔的個數(shù)沒有告訴，灰兔拔的個數(shù)也沒有告訴。我們可以先求白兔拔了多少個，再求灰兔拔了多少個，最后把白兔拔的個數(shù)和灰兔拔的個數(shù)加起來。
[教學(xué)分析]
整個練習(xí)過程，教師的教學(xué)視點并非聚焦在學(xué)生解題的正確與否，而是突顯對基本策略的體驗上。教師通過給學(xué)生提供應(yīng)用策略的廣闊背景，讓策略與解決問題的實踐相隨相伴，加深對策略要領(lǐng)的體驗，獲得對策略情感個體感受。首先，選擇與例題相似的“乘加”情境，讓學(xué)生重溫解決問題的過程；接著，設(shè)計“乘減”的變式情境，引導(dǎo)學(xué)生把例題中的思維方法向新的情境遷移；最后的選擇搭配是一項富有挑戰(zhàn)性的活動，情境給學(xué)生提供較寬的可供選擇范圍，學(xué)生帶著前面學(xué)習(xí)所獲得的成功體驗，積極參與到自主探索、小組合作學(xué)習(xí)活動中，個體的數(shù)學(xué)經(jīng)驗、思維方法得以表征、凝固在活動結(jié)果上，學(xué)生不僅搭配出用一步、兩步計算的實際問題，甚至還搭配出用三步計算的實際問題。而隱藏在學(xué)生創(chuàng)造性勞動成果背后的是分析條件之間的內(nèi)在聯(lián)系，綜合思維方法得以充分歷練。
綜上，分析和綜合是人們認(rèn)識事物的基本思維過程，是解決問題的基本策略。具有并善于運(yùn)用這些基本策略對分析問題和解決問題非常有益。讓學(xué)生掌握分析、綜合的思維方法，并內(nèi)化成解決問題的策略，是一項階段性工程，絕非一日之功，需要教師結(jié)合教學(xué)內(nèi)容作出整體規(guī)劃。
一是規(guī)劃各階段基本策略教學(xué)的重點。以蘇教版教材為例，教材對兩步計算的實際問題，分三段編排。第一階段，二年級下冊結(jié)合“兩位數(shù)乘一位數(shù)”教學(xué)，安排簡單的乘加、乘減問題；第二階段，三年級上冊結(jié)合“兩位數(shù)加、減兩位數(shù)口算”教學(xué)，安排“幾倍求和（差）”、“比多（少）求和”的實際問題；第三階段，結(jié)合“三位數(shù)乘（除以）一位數(shù)”教學(xué)，安排連乘（除）實際問題。結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)心理以及教學(xué)內(nèi)容的實際，第一階段以綜合思維方法作為策略教學(xué)的重點；第二階段以分析思維方法作為策略教學(xué)的重點；第三階段重點是鞏固分析、綜合兩種思維方法。“規(guī)劃”確立了每一階段教學(xué)的側(cè)重點，使教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)更加明晰，但又要防止在教學(xué)中以一種思維方法限制、束縛學(xué)生的僵硬做法，要充分尊重學(xué)生的自主選擇。上面的教學(xué)處理得很好：練習(xí)第2題，當(dāng)生2出現(xiàn)“要求還有多少棵沒有澆，就是從小樹苗一共的棵數(shù)里減去已經(jīng)澆的棵數(shù)，小樹苗一共的棵數(shù)沒有告訴，所以要先算小樹苗一共的棵數(shù)�！苯處熂皶r指出：根據(jù)要求的問題去想條件，也是一種重要的思考方法。并且在隨后的選擇條件與問題搭配的練習(xí)中，教師將要求調(diào)整為“你們可以根據(jù)條件找相應(yīng)的問題，也可以根據(jù)問題找相應(yīng)的條件。”
二是規(guī)劃基本策略教學(xué)的線索。基本策略的教學(xué)應(yīng)當(dāng)是有計劃、有意識、循序漸進(jìn)的過程。教學(xué)中，應(yīng)做到：前有滲透——如結(jié)合一步計算實際問題教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生收集信息，提出問題，孕育分析、綜合思路的萌芽；結(jié)合連續(xù)兩問的實際問題教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生體會第一問對第二問的作用，積累原始經(jīng)驗等。中有突破——作為一種基本策略，分析和綜合既具有共性的可操作成分，又具有個體的體驗成分。這種思維方法的掌握蘊(yùn)含在解決問題的過程中，落實在解決問題的步驟和方法上。因此，解決實際問題的教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷解決問題的過程，并通過對解題過程與方法的再認(rèn)與反思，形成對方法的本質(zhì)特點、價值及使用要領(lǐng)的主觀認(rèn)識。后有遷移——主動、恰當(dāng)?shù)剡x擇應(yīng)用策略思考問題，是形成策略的重要標(biāo)志。教師可以通過組織學(xué)生在復(fù)雜的情境中根據(jù)條件之間的關(guān)系提問題、“一步”與“多步”之間的擴(kuò)縮練習(xí)、自主探索多步計算實際問題等活動，促使學(xué)生把已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗遷移到新的情境中，進(jìn)一步豐富對基本策略的認(rèn)識，并加以穩(wěn)固下來。
<小學(xué)數(shù)學(xué)教師>2010.12
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