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案例分析：橢圓定義推導(dǎo)
案例分析：橢圓定義推導(dǎo)
教學(xué)中，許多老師往往比較重視將教科書(shū)上的知識(shí)教給學(xué)生，忽視讓學(xué)生領(lǐng)略知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，忽視情意教學(xué)目標(biāo)，忽視學(xué)生主體地位，學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程大多停留在理解，記憶，復(fù)述，重現(xiàn)知識(shí)的階段，而奢談學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，
心理素質(zhì)的發(fā)展，個(gè)性品質(zhì)的健全。
心理學(xué)理論認(rèn)為：知識(shí)的獲得是一種學(xué)生主動(dòng)的認(rèn)知活動(dòng)，學(xué)習(xí)者不應(yīng)該是信息的被動(dòng)接受者，而應(yīng)該是知識(shí)獲取過(guò)程的參與者。
人本主義教育觀認(rèn)為：成長(zhǎng)的可能性是學(xué)生與生俱有的，而教育最重要，最根本的目的即在于將這種可能性轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實(shí)，培養(yǎng)學(xué)生成為“完整的人”。
在解析幾何中，圓錐曲線是這塊內(nèi)容中的重點(diǎn)、難點(diǎn)和考點(diǎn)。根據(jù)教材的安排，雙曲線、拋物線的定義和性質(zhì)的給出都是類比于橢圓的定義、性質(zhì)。因此，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)的教學(xué)是這一內(nèi)容的重中之重，而標(biāo)準(zhǔn)方程又是根據(jù)橢圓的定義得出，所以橢圓的定義推出顯得至關(guān)重要�，F(xiàn)把這一教學(xué)片段展示如下：
教師：在生活中，哪些事物是呈橢圓形的。
學(xué)生1：雞蛋，橄欖球……
還有個(gè)別學(xué)生2：沒(méi)有畫(huà)圓的圓。
教師微笑：大家說(shuō)的都很對(duì)，橢圓是一個(gè)很美的圖形，我想大家看了下面的幾個(gè)場(chǎng)景就有此感覺(jué)了。（演示課件：花卉的瓣，倒影在水面上的拱橋，美國(guó)白宮，地球運(yùn)動(dòng)軌跡等）
（黑板上書(shū)寫(xiě)課題：橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程）
教師：橢圓的形狀很美，它在生活中應(yīng)用很廣泛，從上面我們可以看到它用在建筑、天文學(xué)上，因此我們很有必要對(duì)橢圓進(jìn)行研究。我們看到橢圓的形狀是一個(gè)壓扁了的圓，那我們一起回憶圓的定義。
學(xué)生3：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡。
教師：我們是怎樣畫(huà)圓的呢？同學(xué)們畫(huà)畫(huà)看。
（課前教師要求學(xué)生每人準(zhǔn)備一塊硬紙板，并發(fā)給每一位學(xué)生兩顆圖釘幾顆及一根定長(zhǎng)細(xì)繩子）
學(xué)生：（動(dòng)手畫(huà)圓）
教師：“圓是動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)O的距離為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”說(shuō)成“圓是動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)O的來(lái)回距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡�！毙胁恍�。
學(xué)生齊聲地：行
教師：現(xiàn)在把這根繩子的兩端分別系在兩顆圖釘上，并分開(kāi)固定在兩個(gè)點(diǎn)F1、F2上，并保持拉緊狀態(tài)移動(dòng)鉛筆，請(qǐng)你們?cè)佼?huà)一畫(huà)會(huì)是什么樣的曲線？
學(xué)生：（動(dòng)手畫(huà)橢圓）
教師：（現(xiàn)場(chǎng)用幾何畫(huà)板制作課件：作橢圓）
教師：剛才大家對(duì)橢圓有了形象上的認(rèn)識(shí)，我們不僅作出了橢圓這個(gè)曲線，而且還在生活中找到了它的應(yīng)用，下面我們能否根據(jù)上面圓的定義給出橢圓的定義？
學(xué)生4：橢圓是平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。
（教師在黑板上寫(xiě)出學(xué)生總結(jié)的橢圓定義）
教師：很好，善于類比。
（教師拿起兩個(gè)學(xué)生所畫(huà)的橢圓展示）
同學(xué)們畫(huà)橢圓時(shí)，線段長(zhǎng)是事先給你們的，并且是一樣長(zhǎng)，為什么我們所畫(huà)的橢圓不一樣，有扁有圓呢？
學(xué)生5：這于兩定點(diǎn)F1、F2的位置有關(guān)。
教師：很好
我們改變一下F1、F2的位置，大家再畫(huà)一畫(huà)，看一看到底有何關(guān)系？
學(xué)生6：F1、F2位置越近橢圓越圓，F(xiàn)1、F2越遠(yuǎn)橢圓越扁。
教師：這位同學(xué)觀察的很仔細(xì)，總結(jié)的非常好。
如果我們不改變F1、F2的位置，只改變線段長(zhǎng)，大家畫(huà)一畫(huà)它們又有什么聯(lián)系？
學(xué)生7：定線段越小橢圓越扁，定線段越長(zhǎng)橢圓越圓。
教師：答的非常好。
設(shè)|F1F2|=2c,|PF1|+|PF2|=2a,如何通過(guò)a、c刻畫(huà)橢圓扁圓程度。
（課堂上頓時(shí)安靜，學(xué)生陷入思考、討論）
學(xué)生8頓悟：當(dāng)
教師：還有不同的意見(jiàn)嗎？他的結(jié)論對(duì)嗎？
（教室中又陷入討論、不敢肯定）
教師：實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)，我們可以去畫(huà)一畫(huà)。
（學(xué)生檢驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)是正確）
學(xué)生齊到：正確
教師：以上我們討論了橢圓的定義，知道了橢圓與兩定點(diǎn)位置以及定線段長(zhǎng)有關(guān)。給定了線段長(zhǎng)，兩定點(diǎn)位置就真的一定能作出橢圓嗎？大家討論以下，這里有沒(méi)有條件限制。
學(xué)生：（動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，討論，總結(jié)）
教師：（演示課件：展示2a>2c,2a=2c,2a<2c,三種不同情況的軌跡）
根據(jù)我們動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、課件展示，以及討論，大家進(jìn)一步總結(jié)定義。
學(xué)生9：（1）當(dāng)2a>2c時(shí)，軌跡是橢圓。
（2）當(dāng)2a=2c時(shí)，軌跡是一條線段，是以F1、F2為端點(diǎn)的線段。
（3）當(dāng)2a<2c時(shí)，無(wú)軌跡。
（4）當(dāng)c=0時(shí)，軌跡為圓。
教師：下面同學(xué)們?cè)倏纯礄E圓的定義，有無(wú)補(bǔ)充。
學(xué)生10：橢圓是平面上到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和2a為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，其中2a>|F1F2|>0.
教師：（黑板上用彩色粉筆寫(xiě)上：其中2a>|F1F2|>0）
…………………………………
設(shè)計(jì)意圖：
（1）采用感性導(dǎo)入法 用課件展示圖片的，由點(diǎn)及面，由感性到理性，符合學(xué)生認(rèn)識(shí)的思維路線，易激起興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。
（2）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境 在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”中設(shè)計(jì)問(wèn)題，所設(shè)計(jì)的問(wèn)題面向全體，使學(xué)生的思維一直處于亢奮狀態(tài)，使每一位學(xué)生都積極參與思維活動(dòng)，體現(xiàn)以學(xué)生為主體的新理念。
（3）培養(yǎng)動(dòng)手能力 培養(yǎng)動(dòng)手實(shí)踐能力是現(xiàn)行教育中的一個(gè)弱點(diǎn)，在新課標(biāo)中特別指出研究性學(xué)習(xí)的重要性，而培養(yǎng)動(dòng)手實(shí)踐能力是研究性學(xué)習(xí)中的所要培養(yǎng)的能力之一。通過(guò)畫(huà)橢圓檢驗(yàn)，線段定長(zhǎng)、兩定點(diǎn)時(shí)橢圓的圓扁程度。
（4）培養(yǎng)探索能力 教育家布魯納說(shuō)過(guò)：“探索是數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線。”探索是創(chuàng)造的起步，學(xué)生的創(chuàng)造力不可能一蹴而就，只有引導(dǎo)他們學(xué)會(huì)探索，才能使學(xué)生的創(chuàng)造力得到有效的培養(yǎng)。
對(duì)此堂課進(jìn)行了反思，我認(rèn)為本案例成功之處在于：
（1）將傳統(tǒng)教學(xué)媒體與現(xiàn)代教學(xué)媒體有機(jī)結(jié)合在一起，促進(jìn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，即將工具畫(huà)圖和課件展示有機(jī)結(jié)合。
（2）用多媒體的形象性和生動(dòng)性解決難點(diǎn)。
課堂教學(xué)中若能恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用多媒體，就能化抽象為具體，化無(wú)聲為有聲，有利于對(duì)教材內(nèi)容的理解、深化，落實(shí)知識(shí)點(diǎn)。實(shí)踐證明，運(yùn)用CAI手段，使學(xué)生從數(shù)學(xué)抽象描述中產(chǎn)生立體感知形象，喚起他們的想象思維，加深對(duì)知識(shí)的理解，同時(shí)有利于觀察力、想象力、思維力的培養(yǎng)。在給橢圓定義補(bǔ)充時(shí)，就是用課件展示2a>2c,2a=2c,2a<2c,三種不同情況的軌跡，通過(guò)課件展示形象性和生動(dòng)性解決了定義的補(bǔ)充。
（3）體現(xiàn)課堂中學(xué)生的主體地位及教師的主導(dǎo)地位。
數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)實(shí)踐告訴我們，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師的“教”是為學(xué)生的“學(xué)”服務(wù)的，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性和積極性，把學(xué)習(xí)中的學(xué)習(xí)潛力挖掘、開(kāi)發(fā)出來(lái)，是提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵。在此片段中，教師主要是引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題，而學(xué)生的思維一直處于亢奮狀態(tài)。
（4）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是教學(xué)動(dòng)力。
興趣是推動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)力，也是發(fā)展思維的催化劑。興趣總是在一定的情境中產(chǎn)生的，要使學(xué)生在課堂上處于最佳的心理狀態(tài)，教師必須想方設(shè)法激發(fā)學(xué)生的情緒領(lǐng)域，喚起學(xué)生心靈的共鳴，讓學(xué)生因情感的驅(qū)動(dòng)而產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無(wú)處不用數(shù)學(xué)。在案例中，引用了生活中的雞蛋、橄欖球、花瓣等實(shí)物的形狀，還補(bǔ)充
白宮、地球的運(yùn)動(dòng)軌跡等。
（5） 創(chuàng)造人人參與，人人有體驗(yàn)，人人成功的氛圍。
學(xué)生是課堂的主人，有活動(dòng)實(shí)踐的天性和創(chuàng)造成功的欲望，最大限度地發(fā)揮學(xué)生的潛能是課堂教學(xué)的靈魂。教師要重視學(xué)生的參與性和實(shí)踐性，讓學(xué)生全員參與，全程參與，通過(guò)自身的實(shí)踐活動(dòng)，建構(gòu)屬于自已的知識(shí)系統(tǒng)。在本課中，教師是以寬容，友愛(ài)，平等的心態(tài)對(duì)待每個(gè)學(xué)生，使他們身心舒展，樂(lè)于思考，勤于發(fā)表自已的見(jiàn)解；其次教師給學(xué)生提供參與的機(jī)會(huì)，凡是學(xué)生能操作的，能頷悟到的，教師絕不包辦代替；不刻意要求學(xué)生與教師思維一致，不刻意要求個(gè)別學(xué)生給出的答案對(duì)全班具有代表性，重視學(xué)生為解決問(wèn)題而產(chǎn)生的一切想法和進(jìn)行的一切嘗試。
（5）積極的反饋與評(píng)價(jià)是教學(xué)的促進(jìn)劑。
教師的期待和評(píng)價(jià)對(duì)學(xué)生有著重要作用。教師要允許學(xué)生對(duì)已有信息（材料）提出自已的想法，用自已喜歡的方式去分析問(wèn)題，得出結(jié)論，驗(yàn)證結(jié)論，解決問(wèn)題。在這個(gè)過(guò)程中，要給學(xué)生以充分表達(dá)自已的思想，表明自已的態(tài)度，表露自已的觀點(diǎn)，表示自已的愿望和表現(xiàn)自已情感的自由。教師的鼓勵(lì)與反饋“有利于創(chuàng)造活動(dòng)的一般條件------心理的安全和心理的自由”。學(xué)生在心理安全的環(huán)境中，才能大膽猜想，質(zhì)疑問(wèn)難，發(fā)表不同意見(jiàn)。本課中教師的表?yè)P(yáng)語(yǔ)，對(duì)學(xué)生的積極猜想的肯定，學(xué)生對(duì)其他同學(xué)的表現(xiàn)抱以熱烈的掌聲，贊同的目光都是教學(xué)過(guò)程有利的促進(jìn)劑。
總之，課堂教學(xué)是實(shí)施素質(zhì)教育的主渠道，教師要重視學(xué)生知識(shí)系統(tǒng)的建構(gòu)，重視學(xué)生獲得知識(shí)的過(guò)程，關(guān)注學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，重視學(xué)生思考方式的學(xué)習(xí)，重視學(xué)生的個(gè)性品質(zhì)健全，心理素質(zhì)的發(fā)展，使學(xué)生獲得全面的進(jìn)步與發(fā)展。
參考文獻(xiàn)
1、顧泠沅，《教學(xué)任務(wù)與案例分析》，載于上城教育信息港
2、顧泠沅，《追求卓越 ——教師專業(yè)發(fā)展案例研究》，人民教育出版社出版
3、羅增儒，《中學(xué)數(shù)學(xué)課例分析》，陜西師范大學(xué)出版社
4、任志鴻主編，《高中新教材數(shù)學(xué)優(yōu)秀教案》，南方出版社
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