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數(shù)學(xué)“問題解決”研究概覽
１．多種意義下的數(shù)學(xué)問題解決及其研究
數(shù)學(xué)問題解決是多學(xué)科研究的對象，心理學(xué)和教育學(xué)、數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育學(xué)等學(xué)科都從不同的側(cè)面來研究它，但各自研究的出發(fā)點和落腳點是有差異的．比如，心理學(xué)主要是通過了解個體解決數(shù)學(xué)問題的過程來推斷、預(yù)測、決策人們解決問題的一般思維過程和心理規(guī)律；而數(shù)學(xué)則是側(cè)重研究創(chuàng)造性地解決數(shù)學(xué)問題——數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明——過程中的抽象思維和形象思維、直覺思維、想象、美感等諸方面．
１．１心理學(xué)中的研究
在普通心理學(xué)中，人們?yōu)榱搜芯克季S，著重研究解決問題過程中的思維．隨著心理學(xué)的發(fā)展，尤其是認(rèn)知心理學(xué)的產(chǎn)生，問題解決成其為一個十分熱門的重要課題［１］．心理學(xué)中研究問題解決，目的在于揭示問題解決過程中所反映的心理規(guī)律．其內(nèi)容主要包括：問題解決的實質(zhì)及心理機制；問題解決的一般心理過程；問題解決的策略；影響問題解決的各種心理因素；問題解決的理論體系．
１．２教育學(xué)中的研究
本世紀(jì)初，美國教育家杜威，把關(guān)于“思維就是問題解決”的結(jié)論應(yīng)用于教育學(xué)之中，在《我們怎樣思維》（１９０５）一書中引入了“問題解決”，提出“通過問題解決進(jìn)行學(xué)習(xí)”、“做中學(xué)”的教學(xué)思想．當(dāng)然這只是問題教學(xué)的雛型，比較完整的要算馬赫穆托夫（前蘇聯(lián)教育科學(xué)院院土）的問題教學(xué)理論［２］．這個理論的產(chǎn)生是基于為了實現(xiàn)當(dāng)代科技革命給前蘇聯(lián)學(xué)校提出的培養(yǎng)目標(biāo)——培養(yǎng)每個學(xué)生的獨立認(rèn)識能力和創(chuàng)造能力．馬氏的問題教學(xué)理論內(nèi)容比較豐富，主要包括：問題教學(xué)的理論基礎(chǔ)（認(rèn)識論，邏輯——心理學(xué)），基本范疇（問題與問話，問題與任務(wù)，學(xué)習(xí)性問題與科學(xué)性問題，問題的提出和解決），基本含意，原則體系，實施方法、特點、功能、效果等．
１．３數(shù)學(xué)中的研究
由于“只要一門科學(xué)分支能提出大量的問題，它就充滿了生命力；而問題的缺乏則預(yù)示著獨立發(fā)展的衰亡或中止”．（希爾伯特語）所以，可以說數(shù)學(xué)的發(fā)展（或發(fā)明發(fā)現(xiàn)）過程就是不斷提出問題并不斷解決問題的過程．于是有志于反思發(fā)明發(fā)現(xiàn)過程的數(shù)學(xué)家們就致力于數(shù)學(xué)問題解決的研究（詳見系列文獻(xiàn)［３］、［４］、［５］、［６］、［７］）．
１．４數(shù)學(xué)教育學(xué)中的研究
數(shù)學(xué)教育的一個重要目的就是要提高學(xué)生的解題能力，所以解題研究是解題教學(xué)和提高學(xué)生解題能力的基礎(chǔ)．?dāng)?shù)學(xué)教育中的解題研究，最富有成效、也是最有影響的莫過于波利亞的數(shù)學(xué)解題理論．《怎樣解題》（１９４４）、《數(shù)學(xué)與猜想》（１９５４）、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》（１９６１）三本名著的出版和發(fā)行，引起了世界許多國家數(shù)學(xué)教育工作者的極大關(guān)注，至今乃至今后仍將產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響．不過，目前人們所談及的數(shù)學(xué)問題解決研究，主要指８０年代以后的研究，這一研究發(fā)端于１９８０年美國數(shù)學(xué)教師聯(lián)合會研制的《關(guān)于行動的課程》，并逐步發(fā)展成為８０年代以來世界各國數(shù)學(xué)教育改革和研究的一個共同關(guān)心的中心課題．難怪有人把“以問題解決為主導(dǎo)”的數(shù)學(xué)教育稱之為本世紀(jì)數(shù)學(xué)教育改革的第三次浪潮［８］．本文涉及的主要是８０年代以來人們對數(shù)學(xué)問題解決的認(rèn)識及其研究．
２．?dāng)?shù)學(xué)教育中的問題解決及其研究
２．１背景簡要回顧
繼“新數(shù)運動”和“回到基幢之后，１９８０年美國數(shù)學(xué)教師聯(lián)合會給第四屆國際數(shù)學(xué)教育大會提交了一份綱領(lǐng)性報告：《關(guān)于行動的議程——關(guān)于８０年代中學(xué)數(shù)學(xué)的建議》．這份文件明確地指出，“問題解決是８０年代學(xué)校數(shù)學(xué)的核心”（第一條），“數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)圍繞問題解決來組織”，“數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)創(chuàng)造一種使問題解決得以蓬勃發(fā)展的課堂環(huán)境”，“在問題解決方面的成績?nèi)绾�，將是衡量�?shù)學(xué)教育成敗的有效標(biāo)準(zhǔn)”．由此在世界各國掀起了以數(shù)學(xué)問題解決為主題的一系列數(shù)學(xué)教育改革和研究的熱潮．應(yīng)該說，２０年來的改革和研究，成果令人鼓舞．人們經(jīng)常例舉的、把“問題解決”放到重要地位的報告（或文件、教材、文獻(xiàn)）主要有：（美）《普及科學(xué)——美國２０６１計劃（數(shù)學(xué)報告）》（１９８９），（英）《Ｃｏｃｋｅｒｏｆｔ報告》（１９８２），（美）《ＥｖｅｒｙＣｏｕｎｔｓ》（１９８９），《面向２１世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)教育》（嚴(yán)士健主偏，江蘇教育出版社，１９９４）、《２１世紀(jì)中國數(shù)學(xué)教育展望（Ⅰ）、（Ⅱ）》（２１ＣＭＥ課題組，北京師范大學(xué)出版社，１９９２，１９９５）；繼１９８０年第四屆國際數(shù)學(xué)教育大會之后的第五、六、七、八屆，都把問題解決列為一個專題；美國《中小學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評估標(biāo)準(zhǔn)》（１９８９）、英國《國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（１９８９）、日本《小學(xué)算術(shù)、中學(xué)數(shù)學(xué)指導(dǎo)要領(lǐng)》（１９８９）等各國數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)性文件以及“芝加哥大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計”（ＵＣＳＭＰ）等中學(xué)數(shù)學(xué)教材，無一不把培養(yǎng)問題解決能力作為重要的目的．
在國際數(shù)學(xué)問題解決潮流傳入我國之后，我國數(shù)學(xué)教育工作者紛紛對此積極倡導(dǎo)和探索．張乃達(dá)先生在文［９］中，從我國的實際出發(fā)，指出“數(shù)學(xué)教育應(yīng)該以解題為中心”，“解題教學(xué)正是達(dá)到教學(xué)目的的最好手段”；張奠宙先生在總結(jié)我國數(shù)學(xué)教育歷史經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，認(rèn)為“以問題解決為主導(dǎo)”是改革我國數(shù)學(xué)教育的突破口［１０］；張國杰先生也提出問題解決將對數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、對改善數(shù)學(xué)差生、對中考高考試題的改革等顯示出它應(yīng)有的威力［１１］．
２．２研究范圍及其主要內(nèi)容
綜觀國際數(shù)學(xué)問題解決與教學(xué)的研究和實踐，其研究范圍和內(nèi)容概括起來主要包括四個方面：（１）問題系統(tǒng)研究；（２）問題解決系統(tǒng)研究；（３）問題（解決）教學(xué)系統(tǒng)研究；（４）問題教學(xué)的理論基礎(chǔ)和研究方法研究．（詳見文［１２］）
２．３研究中的幾個誤區(qū)
（１）對“問題”、“數(shù)學(xué)問題”的理解有偏差．顯而易見，“問題”與“例題”、“習(xí)題”是不同的，那么“問題解決（教學(xué)）”包不包含“例題教學(xué)”、“習(xí)題教學(xué)”？實際上人們在大量研究中沒有加以區(qū)分，顯得比較混亂．
（２）對“數(shù)學(xué)問題”的分類比較混亂．為研究方便，對“數(shù)學(xué)問題”進(jìn)行適當(dāng)分類十分必要．然而由于分類標(biāo)準(zhǔn)難于確立，致使許多分類并不符合分類規(guī)則．比如，就有人對“常規(guī)”與“非常規(guī)”、“開放性題”提出質(zhì)疑［１３］．
（３）正是由于人們對“數(shù)學(xué)問題”的含義及分類認(rèn)識不確定，也就必然導(dǎo)致對“問題解決”的理解存在偏差［１４］．按照認(rèn)知心理學(xué)的觀點［１５］，問題解決既包括創(chuàng)造性問題解決，也包括常規(guī)性問題解決，顯然這是兩種不同的形式，而人們在研究中也沒有加以區(qū)分．
（４）“重視解題一直是我國中學(xué)數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)，僅據(jù)１９９１年我國有代表性的三種中學(xué)數(shù)學(xué)雜志的統(tǒng)計，全年發(fā)表的６６５篇文章中，屬于數(shù)學(xué)試題和解題研究的文章有５４６篇之多，占文章總數(shù)的８２．１％，每年公開發(fā)表的有關(guān)解題研究的文章，據(jù)不完全統(tǒng)計，其數(shù)量在５０００篇以上”［１６］．然而，如果我們認(rèn)真審視一下這些研究，它對提高學(xué)生的解題能力、對促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)改革，究竟有多大的作用和影響，結(jié)果將是十分令人失望的．
３．關(guān)于數(shù)學(xué)問題系統(tǒng)的研究
３．１對數(shù)學(xué)問題的界定
關(guān)于“數(shù)學(xué)問題”的界定，文［１７］將其各種定義概括為四種類型：（１）數(shù)學(xué)問題是一種需要行動的情況（代表人物：波利亞、貝爾等）；（２）數(shù)學(xué)問題是一種題系統(tǒng)（奧加涅相，戴再平等）；（３）數(shù)學(xué)問題是一種情境（曹才翰等）；（４）數(shù)學(xué)問題是一種集合（斯托利亞爾等）．文［１７］的作者還提出了自己的觀點．通常人們采用的數(shù)學(xué)問題的定義是：對人具有智力挑戰(zhàn)特征的，沒有現(xiàn)成方法、程序或算法可以解決的問題［１８］．
另外，人們?yōu)榱巳娴乜坍嫛皵?shù)學(xué)問題”，通常用它的特點（或條件）來做補充．較為普遍的提法是［１９］：接受性、障礙性和探究性．其他的提法可參見［１７］、［２０］．
３．２關(guān)于數(shù)學(xué)問題的分類
如果從教學(xué)的目標(biāo)和要求這個角度，任子朝先生把數(shù)學(xué)問題分為五類［２１］：（１）識別練習(xí)問題；（２）算法練習(xí)問題；（３）應(yīng)用問題；（４）開拓—探究問題；（５）問題情景．
如果從題的構(gòu)成（通常分為三要素：初始狀態(tài)Ａ、解題過程Ｂ、最終狀態(tài)Ｃ）來看，可以把數(shù)學(xué)題分為三種類型（七種形式）［２２］：標(biāo)準(zhǔn)題（ＡＢＣ）、封閉型變式題（ＡＢｚ，ＡｙＣ，ｘＢＣ）以及開放型變式題（Ａｙｚ，ｘＢｚ，ｘｙＣ）．其中ｘ、ｙ、ｚ是對應(yīng)于Ａ、Ｂ、Ｃ的未知成分．
通常人們將數(shù)學(xué)問題分為兩大類：數(shù)學(xué)自身的問題和數(shù)學(xué)應(yīng)用題，而數(shù)學(xué)自身的問題又包括常規(guī)問題和非常規(guī)問題．
３．３“好問題”的特征
“在數(shù)學(xué)的任何一個分支里都有好問題，并且好問題到處可以找到”，“沒有‘好問題’我們就創(chuàng)造不出數(shù)學(xué)”．但何謂“好問題”，可能確實難以下一定義，“不過一個好問題總應(yīng)當(dāng)具有一些特征”，比如，“（１）問題的解答中包含著明顯的數(shù)學(xué)概念和技能；（２）問題能夠推廣或擴充到各種情形；（３）問題有多種解法”．［２３］另外許多文獻(xiàn)（如［１９］、［２４］）中都涉及到“好問題”的七個特征．
３．４對習(xí)題的研究
習(xí)題作為教科書的一個重要組成部分，人們也在研究，國內(nèi)最有代表性的成果是文［２５］；而且還在探索習(xí)題的改革，提出要不要在教材中編入開放題？開放題有哪些類型和特點？怎樣編制開放題？又如何安排習(xí)題才有利于促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展？參見文［２６］、［２７］．
３．５對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的研究
來自工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中、有實際背景的數(shù)學(xué)問題，在國外一直受到青睞．近年來也成為我國中學(xué)關(guān)注的熱點之一．由張奠宙先生主持編寫、華東師大出版社出版的《中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用叢書》（已出版三本），在全國反響較大．《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》等刊物每年也要登載一定數(shù)量的數(shù)學(xué)應(yīng)用題及其研究成果，比如，文［２８］把數(shù)學(xué)應(yīng)用題區(qū)分為四個不同的層次；文［２９］從數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度提出了數(shù)學(xué)應(yīng)用的兩個層次．
４．關(guān)于問題解決系統(tǒng)的研究
４．１對問題解決的理解
在數(shù)學(xué)教育中，通常對問題解決的解釋有五種［２１］：（１）是一種教學(xué)目的；（２）是一個過程；（３）是一種數(shù)學(xué)活動；（４）是一種數(shù)學(xué)能力；（５）是一種教學(xué)形式．然而心理學(xué)中對此有這樣三種不同的觀點：（１）是指向某些目標(biāo)的一系列智力運算；（２）是一種特殊類型的學(xué)習(xí)；（３）作為學(xué)習(xí)的反面．還有人從哲學(xué)的角度提出了問題解決的質(zhì)和本質(zhì)的概念［３０］．
４．２問題解決的心理模式
問題解決的心理模式，說法頗多．較早提出的是美國杜威的五步模式，還有英國華萊士的四階段模式、美國紐維爾和西蒙的信息加工模式等心理學(xué)研究成果；在數(shù)學(xué)教育界流行最廣的是波利亞的四階段模式；在波氏模式的基礎(chǔ)上，人們又提出了許多類似的模式．如美國印第安那大學(xué)ＭＰＳＰ構(gòu)造的六步模式；我國專家提出的模式理論，可參見文［３１］、［３２］、［３３］．
４．３問題解決策略舉例
問題解決的策略，文［２４］概括為如下七個方面：（１）目標(biāo)策略；（２）知覺策略；（３）模式識別策略；（４）問題轉(zhuǎn)化策略；（５）特殊化策略；（６）逆向策略；（７）整體策略．文［１９］中也提出了十條策略．文［３４］還對辯證思維策略進(jìn)行了較為深入
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的探討．
４．４數(shù)學(xué)問題解決能力的構(gòu)成
分析從數(shù)學(xué)問題解決的過程出發(fā)，文［３５］提出數(shù)學(xué)問題解決能力主要包括：（１）對問題情境進(jìn)行分析和綜合，從而提出問題的能力；（２）把問題數(shù)學(xué)化的能力；（３）對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行變換化歸的能力；（４）靈活運用各種數(shù)學(xué)思想方法的能力；（５）進(jìn)行數(shù)學(xué)計算和數(shù)學(xué)證明的能力；（６）對數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行檢驗和評價的能力．
４．５影響問題解決的因素
分析影響問題解決的因素很多，文［３６］認(rèn)為主要有三個方面：（１）問題情境因素（如問題的類型、難度、陳述方式等）；（２）學(xué)習(xí)者個人的特征（如知識經(jīng)驗基儲個性品質(zhì)等）；（３）問題解決中的認(rèn)知策略（如多角度思考問題，抓住問題的要害等）．另可參見文［３７］．
５．關(guān)于問題解決教學(xué)系統(tǒng)的研究
５．１對問題解決教學(xué)的認(rèn)識
對問題解決教學(xué)主要有三種不同的理解：（１）作為數(shù)學(xué)教學(xué)的一種形式，與概念教學(xué)、命題教學(xué)相對應(yīng)，如文［３８］；（２）作為數(shù)學(xué)教學(xué)的唯一形式，即所用教學(xué)內(nèi)容都以問題形式出現(xiàn)，通過解決問題實現(xiàn)教學(xué)目的；（３）作為一種過渡形式，如文［３９］．
５．２對問題解決教學(xué)功能的認(rèn)識
無論對問題解決教學(xué)做怎樣的理解，它都應(yīng)該發(fā)揮多種功能．比如：（１）教學(xué)功能；（２）培養(yǎng)功能；（３）發(fā)展功能；（４）控制功能［４０］．
５．３數(shù)學(xué)課程中的問題解決
作為一種過渡形式，英國在高中設(shè)立了問題解決課程，其目的在于讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的意義和價值，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造自己的數(shù)學(xué)知識的能力，并樹立起對自身數(shù)學(xué)能力的信心．其主要內(nèi)容包括［４１］：（１）如何開展數(shù)學(xué)探究；（２）如何組織數(shù)學(xué)問題；（３）數(shù)學(xué)模型化；（４）數(shù)學(xué)交流；（５）個案研究；（６）數(shù)學(xué)問題．
５．４問題解決教學(xué)的模式和方法
美國貝爾在文［４２］中，以解題的模式為基礎(chǔ)，構(gòu)建了問題解決教學(xué)的五步模式：（１）以一般形式提出問題；（２）把問題重述為可解的形式；（３）提出假設(shè)和解決問題的過程；（４）檢驗假設(shè)和運用解決問題的方法；（５）檢驗問題的解和分析解決的方法．前蘇聯(lián)馬赫穆托夫的問題教學(xué)理論中也包括了一套十分完整的實施方法［２］．我國袁小明先生在文［４３］中，針對我國的實際，提出了具有“‘以教材為中心’選編問題；通過對教法的改革開拓問題的教育價值；注意解題的歸納與思維的訓(xùn)練”三個特征的“中國式問題解決教學(xué)模式”．
５．５問題解決教學(xué)的原則和教學(xué)建議
問題解決教學(xué)應(yīng)該遵循的原則，可列舉許多，比如貝爾在文［４２］中就提出了１４條，如鼓勵學(xué)生反面思考（第２條），鼓勵學(xué)生提問題、提問題、再提問題（第５條），創(chuàng)造一個解題的、輕松的、無壓力的氣氛（第９條）；從認(rèn)知心理學(xué)的角度，問題解決教學(xué)應(yīng)該充分注重教認(rèn)知過程、教問題結(jié)構(gòu)的形成、教模式再認(rèn)、教問題解決的程序、教知識結(jié)構(gòu)的形成、教能力傾向，等等［３２］；文［２４］、［４４］也提出了若干條問題解決教學(xué)的建議．
６．有待研究的若干問題
６．１在我國現(xiàn)行的教材體系和教學(xué)要求之下，關(guān)于數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)的定位問題是一個首要前提．只有首先解決好這個問題，方能卓有成效地研究相關(guān)問題．當(dāng)然這并不排除以改革的眼光僅從某一角度開展一些局部的探索．
６．２可以說到目前為此，我們還沒有找到培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力的行之有效、切實可行的對策，是否應(yīng)該系統(tǒng)地開展問題解決能力培養(yǎng)的實驗研究．為此，當(dāng)然還要對學(xué)生解決問題能力的結(jié)構(gòu)做靜態(tài)的和動態(tài)的分析．
６．３數(shù)學(xué)應(yīng)用題，乃至數(shù)學(xué)建模，對提高學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識和能力尤為重要；數(shù)學(xué)探索性問題，對改善學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)，乃至培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力的作用不可低估，所以都應(yīng)該大力開展探索．
６．４通過課堂提問（包括口頭提問和書面提問）設(shè)置問題情景，是我國課堂教學(xué)的一個薄弱環(huán)節(jié)，而這一環(huán)節(jié)直接影響著教學(xué)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化和教學(xué)效益的提高，應(yīng)努力盡快開展實質(zhì)性的研究．
６．５心理學(xué)界和數(shù)學(xué)界也都研究這個問題，我們應(yīng)該恰如其分、卓有成效地將他們的研究成果應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐，但決不能牽強附會、生搬硬套．
６．６筆者主張把“問題解決”作為一種教學(xué)形式，可望建立起問題解決教學(xué)的理論與實踐體系．
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