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CAI與中學(xué)數(shù)學(xué)教育
教育，教化培育，以現(xiàn)有的經(jīng)驗(yàn)、學(xué)識(shí)推敲于人，為其解釋各種現(xiàn)象、問(wèn)題或行為，其根本，是以人的一種相對(duì)成熟或理性的思維來(lái)認(rèn)知對(duì)待，以下是小編為大家整理的CAI與中學(xué)數(shù)學(xué)教育，希望能夠幫助到大家。
CAI與中學(xué)數(shù)學(xué)教育 篇1
摘要：進(jìn)入二十一世紀(jì)，人們深刻感受到信息社會(huì)對(duì)我們的沖擊！社會(huì)在發(fā)展，時(shí)代在前進(jìn)，教育的內(nèi)容、方式也必須跟著改變。計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)作為一種新型的教育技術(shù)，已經(jīng)在我國(guó)部分中小學(xué)的教學(xué)中實(shí)施，并在不斷推廣，作為學(xué)校的現(xiàn)代化教育工程一項(xiàng)不可缺少的內(nèi)容，正日益受到人們的關(guān)注和重視。作為中學(xué)重要學(xué)科的數(shù)學(xué)，與CAI有著必然的聯(lián)系，CAI的優(yōu)勢(shì)、CAI應(yīng)如何輔、輔在何處，這一直是人們討論的問(wèn)題，本文從一些側(cè)面進(jìn)行了討論，提出了一些想法。
一、背景：數(shù)學(xué)教育的實(shí)質(zhì)與CAI的發(fā)展
我們正面臨深刻的變革。歷史上，技術(shù)從來(lái)沒(méi)有象今天這樣能施展它的魔力，如此迅速而廣泛地改變著社會(huì)。以計(jì)算機(jī)和通訊為代表的信息技術(shù)似乎縮短了“未來(lái)”與“現(xiàn)實(shí)”的距離，進(jìn)入二十一世紀(jì)，人們深刻感受到信息社會(huì)對(duì)我們的沖擊！社會(huì)在發(fā)展，時(shí)代在前進(jìn)，教育的內(nèi)容、方式也必須跟著改變。計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)（CAI——Computer Assisted Instruction）作為一種新型的教育技術(shù)，已經(jīng)在我國(guó)部分中小學(xué)的教學(xué)中實(shí)施，并在不斷推廣，作為學(xué)校的現(xiàn)代化教育工程一項(xiàng)不可缺少的內(nèi)容，正日益受到人們的關(guān)注和重視。作為中學(xué)重要學(xué)科的數(shù)學(xué)，與CAI有著必然的聯(lián)系，CAI的優(yōu)勢(shì)、CAI應(yīng)如何輔、輔在何處，這一直是人們討論的問(wèn)題，同時(shí)也是本文的背景。
長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)科學(xué)作為一種嚴(yán)謹(jǐn)系統(tǒng)的演繹科學(xué)，以具有高度抽象的思維活動(dòng)，而被稱之為科學(xué)的王冠，披上一層神秘的面紗。受這一理念的影響，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)形成了“教師講授、模仿練習(xí)、強(qiáng)化記憶、測(cè)驗(yàn)講評(píng)”的模式，學(xué)生只能被動(dòng)地聽(tīng)教師講授現(xiàn)成的數(shù)學(xué)，最后就形成了“掐頭去尾燒中段”的現(xiàn)象，數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程被淡化，探究數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的進(jìn)程被終止。與此同時(shí)，由于學(xué)生聽(tīng)到的是別人數(shù)學(xué)思維的結(jié)果，而很少有經(jīng)過(guò)自己數(shù)學(xué)活動(dòng)獲得的親身感受，于是數(shù)學(xué)的抽象和嚴(yán)謹(jǐn)成了他們學(xué)習(xí)的最大障礙。
著名數(shù)學(xué)教育家喬治波利亞指出：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這個(gè)方面來(lái)看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但是另一方面，在創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)更像是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)。”由此看來(lái)，數(shù)學(xué)科學(xué)不光有嚴(yán)謹(jǐn)推理的一面，還應(yīng)有猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、歸納驗(yàn)證的一面，這一認(rèn)識(shí)恰好是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)模式所忽略的。CAI從本世紀(jì)中旬誕生以來(lái)，以普萊西的機(jī)器教學(xué)理論、斯金納的程序教學(xué)理論和當(dāng)代認(rèn)知學(xué)習(xí)理論為主要理論，以“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”為主要手段，借助計(jì)算機(jī)，改變學(xué)生與學(xué)習(xí)對(duì)象的關(guān)系，使學(xué)習(xí)由被動(dòng)的接受轉(zhuǎn)變?yōu)榉e極進(jìn)取的獲得，使認(rèn)知從知識(shí)形成到知識(shí)的發(fā)展都展示在學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程中，促進(jìn)認(rèn)知的全面完成。與此同時(shí)，改變教師的教學(xué)角色，使教師從大量的知識(shí)傳授中解放出來(lái)，教師將會(huì)有更多的精力投入和轉(zhuǎn)移到對(duì)學(xué)生發(fā)展上的考慮，對(duì)于學(xué)生的感情世界、興趣愛(ài)好、人格成長(zhǎng)，可以給予更多的關(guān)注和影響，促使教師的作用升華到更高境界。CAI這一現(xiàn)代的信息傳輸工具，降低了認(rèn)知的難度，增加了學(xué)生“直接知識(shí)”的存儲(chǔ)量，提高了知識(shí)鞏固的效果及靈活運(yùn)用知識(shí)的能力。同時(shí)它可以給學(xué)生的學(xué)習(xí)創(chuàng)造良好的環(huán)境，允許學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)際情況自主學(xué)習(xí)，從根本上解決傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的“滿堂灌”和“齊步走”等弊端。它還可以使學(xué)生“參與”到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，全面提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)成績(jī)。
1958年美國(guó)IBM公司研制成功世界上第一個(gè)計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)系統(tǒng)，開(kāi)始了對(duì)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)的研究。先后經(jīng)歷了大型CAI項(xiàng)目，利用微型計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的效果，利用多媒體技術(shù)和遠(yuǎn)程通訊、互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)輔助教學(xué)的效果等一系列實(shí)驗(yàn)研究。從學(xué)生的學(xué)業(yè)成績(jī)、學(xué)習(xí)的保持和速度、學(xué)習(xí)的態(tài)度、解決問(wèn)題的能力等多視角研究、實(shí)驗(yàn)、對(duì)比，形成了不同的流派和不同的觀點(diǎn)，最終是肯定了CAI對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)是有益的，是有促進(jìn)的。在國(guó)內(nèi)，1980年華東師大現(xiàn)代教育研究所CAI研究中心成立，拉開(kāi)了我國(guó)CAI研究的序幕，短短十幾年的時(shí)間，從分散的、作坊式的、無(wú)組織的自生自滅狀態(tài)，發(fā)展到今天有各極實(shí)驗(yàn)研究課題，有實(shí)驗(yàn)學(xué)校，有軟硬件開(kāi)發(fā)機(jī)構(gòu)等規(guī)范化的、生氣勃勃的局面，取得了長(zhǎng)足的發(fā)展。特別是九十年代，一大批如《幾何畫板》、《MATHCAD》、《OFFICE》、《AUTHORWARE》、《WINDOWS》、《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室》等軟件平臺(tái)的引入和開(kāi)發(fā)，使得其邁上了一個(gè)新的臺(tái)階。
但是，與此同時(shí)我們還必須清楚的看到，受傳統(tǒng)觀念的影響，以及地區(qū)差異、經(jīng)濟(jì)發(fā)展等各種客觀條件的影響，該項(xiàng)研究還很不盡人意，甚至不少地方還只停留在公開(kāi)課、演示課和示范課上的一種表演層次，面對(duì)新世紀(jì)對(duì)學(xué)生成才的要求，面對(duì)實(shí)施素質(zhì)教育的緊迫任務(wù)，我們有必要把這項(xiàng)研究進(jìn)行下去，以期取得突破性的成果。
二、計(jì)算機(jī)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)勢(shì)
1、CAI可創(chuàng)設(shè)生動(dòng)活潑的課堂教學(xué)氛圍，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣
CAI具有鮮艷和生動(dòng)的圖像，動(dòng)靜結(jié)合的畫面和智能性的啟發(fā)誘導(dǎo)功能，能使呈現(xiàn)的教學(xué)內(nèi)容形象生動(dòng)，富有感染力，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的注意力﹑情感﹑興趣等心理因 素保持良好狀態(tài)，認(rèn)知心理能得到充分發(fā)展。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生接觸的是抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)和呆板的圖形，僅憑教師的講解或是輔助單調(diào)的手勢(shì)，教學(xué)手段枯燥，難以啟發(fā)學(xué)生的思維積極性和激發(fā)他們的求知欲。利用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，同樣的數(shù)學(xué)運(yùn)算和幾何圖形，通過(guò)動(dòng)畫形式表現(xiàn)出來(lái)，再配上優(yōu)美的背景音樂(lè)，會(huì)使枯燥的學(xué)習(xí)變得輕松愉快，把學(xué)生的認(rèn)識(shí)過(guò)程﹑情感過(guò)程﹑意志過(guò)程統(tǒng)一于教學(xué)之中，有效地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
2、CAI可使學(xué)生通過(guò)多種感官獲取知識(shí)，增強(qiáng)理解和記憶
數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性，決定了學(xué)生對(duì)其理解﹑鞏固﹑應(yīng)用的難度。計(jì)算機(jī)的輔助數(shù)學(xué)教學(xué)，憑借形聲教材產(chǎn)生的直動(dòng)﹑生動(dòng)﹑形象﹑即時(shí)等聲像效應(yīng)，能刺激﹑感染和吸引學(xué)生，使他們?cè)跀?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中獲得較為深刻的感性認(rèn)識(shí)，從而更好理解和記憶所學(xué)內(nèi)容。據(jù)心理學(xué)研究表明，如果僅憑聽(tīng)覺(jué)，能識(shí)記知識(shí)的10%左右；僅憑視覺(jué)，能識(shí)記知識(shí)的70%左右；把視﹑聽(tīng)覺(jué)協(xié)調(diào)并用，能識(shí)記知識(shí)的90%左右。恰當(dāng)?shù)乩糜?jì)算機(jī)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)，可以為學(xué)生提供多種感官獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的環(huán)境，達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的強(qiáng)化記憶和理解。
3、CAI可提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率，增強(qiáng)學(xué)生素質(zhì)
計(jì)算機(jī)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)，以屏幕代替黑板，節(jié)省了畫圖和書寫的時(shí)間。由于屏幕語(yǔ)言簡(jiǎn)潔精練，體現(xiàn)了CAI課堂教學(xué)的規(guī)范性和科學(xué)性，而且CAI課堂教學(xué)包括“教” ﹑“學(xué)” ﹑“練”三部分，體現(xiàn)了課堂教學(xué)的整體性。由此增大了教學(xué)密度，提高了課堂教學(xué)效率。利用CAI的交互性，通過(guò)人機(jī)對(duì)話形式，改變了一味灌輸知識(shí)的被動(dòng)學(xué)習(xí)狀態(tài)，學(xué)生能發(fā)揮學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和靈活性。同時(shí)，計(jì)算機(jī)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)，有利于激發(fā)學(xué)生的非智力因素。非智力因素對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)具有導(dǎo)向﹑動(dòng)力﹑強(qiáng)化等作用，因此它是推動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力系統(tǒng)。計(jì)算機(jī)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)能創(chuàng)設(shè)情景，引發(fā)動(dòng)機(jī)；提供事實(shí)，顯示過(guò)程；強(qiáng)化刺激，加強(qiáng)注意；歸納知識(shí)，增強(qiáng)記憶；等等。一個(gè)班的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的智力因素有一定差異，教師根據(jù)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力，利用CAI 教學(xué)進(jìn)行因材施教，就會(huì)縮小學(xué)生接受數(shù)學(xué)知識(shí)的差異，使學(xué)生的整體素質(zhì)得到提高。
4、CAI教學(xué)的演示，可實(shí)出重點(diǎn)，化難為易
數(shù)學(xué)的抽象性決定了很多知識(shí)僅靠講授或在黑板上畫出呆板的圖形，很難讓學(xué)生迅速理解和記憶。而針對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，制作CAI課件，利用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，通過(guò)著色演示﹑圖形拼接演示或局部放大演示等手段，可突出講授的重點(diǎn)，讓學(xué)生清晰透徹地觀察明白，從而實(shí)現(xiàn)難解化易﹑復(fù)雜化簡(jiǎn)的教學(xué)過(guò)程。例如在講授行列式這一章時(shí)，其概念教學(xué)是難點(diǎn)，計(jì)算方法是重點(diǎn)，為突出教學(xué)的重點(diǎn)和突破教學(xué)的難點(diǎn)，通過(guò)CAI教學(xué)，給行列式不同行不同列的元素著色并加以演示，很快使學(xué)生看清楚行列中有多少個(gè)不同行不同列的元素組，可迅速理解其定義。為講解行列式計(jì)算方法的拉普斯定理，利用課件按選定的元素所在的行和列進(jìn)行分塊再拼接，可以清楚地演示出子式和余子式的關(guān)系，迅速給出其證明，使教學(xué)重點(diǎn)突出，化為難易。
5、CAI營(yíng)造的空間氛圍，有利于學(xué)生建立數(shù)學(xué)空間概念
傳統(tǒng)教學(xué)手段，如掛圖﹑實(shí)物模型等，在數(shù)學(xué)教學(xué)中起到了一定的直觀教學(xué)作用。但在立體幾何的教學(xué)中，掛圖和實(shí)物模式型卻難以演示，很難讓學(xué)生建立起空間概念。如一個(gè)幾何體內(nèi)部的線面關(guān)系，靠掛圖和實(shí)物模型就難以描述清楚，而計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，通過(guò)制作相應(yīng)的課件，既能給出空間圖形，又能較好地演示空間物體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。這對(duì)學(xué)生增強(qiáng)立體感﹑建立空間概念﹑建立空間想像能力，起到了傳統(tǒng)教學(xué)手段無(wú)法實(shí)現(xiàn)的教學(xué)效果。
6、CAI可描述圖形動(dòng)態(tài)形成過(guò)程，有利于化抽象為具體
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生只知道結(jié)果，不了解結(jié)果的形成過(guò)程，就不能從根本上學(xué)懂?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)，記憶也不會(huì)深刻。借助計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，能使圖像鮮明﹑生動(dòng)，由表及里地描述其動(dòng)態(tài)的形成過(guò)程，使學(xué)生從根本上理解和記憶所學(xué)知識(shí)。如講橢圓﹑雙曲線和拋物線的概念，利用計(jì)算機(jī)可以清楚地描繪符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡的形成過(guò)程。又如講直紋面，可以演示直線動(dòng)態(tài)形成曲面的過(guò)程，把過(guò)去的理論敘述和靠頭腦想像的抽象知識(shí)，轉(zhuǎn)化為活生生的動(dòng)畫圖像，就使得難以理解和想像的知識(shí)具體化﹑形象化，使教學(xué)收到事半功倍的效果。
三、關(guān)于計(jì)算機(jī)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)的一些思考
當(dāng)前傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育面臨巨大的困難。從教學(xué)內(nèi)容看，幾十年不變，內(nèi)容陳舊；從教學(xué)方法看，大部分?jǐn)?shù)學(xué)課堂沒(méi)有擺脫以教師傳授為主的注入式，數(shù)學(xué)課難以喚起學(xué)生的積極性；從教學(xué)對(duì)象看，數(shù)學(xué)教育并沒(méi)有做到面向全體學(xué)生,真正的“因才施教”至今還難以實(shí)現(xiàn)；從教學(xué)目標(biāo)看，決大部分精力還放在應(yīng)付考試的單純解題訓(xùn)練上，數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程被淹沒(méi)了，數(shù)學(xué)與實(shí)際的生動(dòng)聯(lián)系不見(jiàn)了；從教學(xué)模式看，基本上還是教師講學(xué)生聽(tīng)的“一刀切”的班級(jí)授課，學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)的局面沒(méi)有改變，缺少必要的“個(gè)別化”教學(xué)與學(xué)生彼此之間的交流，學(xué)生的課堂參與是極其有限的；從教學(xué)評(píng)估看，大部分是憑經(jīng)驗(yàn)“摸著石頭過(guò)河”，難于及時(shí)準(zhǔn)確地了解教學(xué)信息，因而我們的教學(xué)策略難以保證有很強(qiáng)的針對(duì)性；從教學(xué)手段看，沒(méi)有擺脫“粉筆加黑板”的束縛，計(jì)算與畫圖還是傳統(tǒng)的手工方式，教師的工作基本上還屬于個(gè)體的手工業(yè)勞動(dòng)。數(shù)學(xué)不僅是學(xué)生的沉重負(fù)擔(dān)，也是教師的沉重負(fù)擔(dān)，綜上所述，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育在喘息，陳舊的內(nèi)容，陳舊的方法，陳舊的觀念，缺乏生氣的課堂，事倍功半的效果，傳統(tǒng)教學(xué)似乎使出了全身的氣力，卻仍不能滿足數(shù)學(xué)化時(shí)代的需求。
人們認(rèn)為：把計(jì)算機(jī)引入教育將帶來(lái)深刻而廣泛的的影響，它不單會(huì)影響到教學(xué)內(nèi)容的變化，而且將引發(fā)教學(xué)方法、教學(xué)模式、教學(xué)觀念等等一系列的變革。人們看中了計(jì)算機(jī)能將文字、圖形、動(dòng)畫和聲音有機(jī)地編排在一切，從而激發(fā)學(xué)生的興趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性；人們看中了計(jì)算機(jī)能給學(xué)生提供更多動(dòng)手的機(jī)會(huì)，特別是計(jì)算機(jī)的人機(jī)交互功能，為實(shí)現(xiàn)教學(xué)的“個(gè)別化”創(chuàng)設(shè)了理想的環(huán)境。對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，特別令人欣賞的是計(jì)算機(jī)的快速計(jì)算本領(lǐng)與絕妙的處理圖形的能力，人們斷定計(jì)算機(jī)將能迅速改變數(shù)學(xué)教學(xué)的面貌。然而從CAI興起至今，人們期望看到的奇跡還沒(méi)有發(fā)生，借助于計(jì)算機(jī)促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的進(jìn)程相當(dāng)艱難。
一個(gè)大問(wèn)題是教學(xué)軟件。市場(chǎng)上號(hào)稱“電腦教師”的教育軟件多半是課本搬家式的'電子書或變換方式的習(xí)題集。這類教育軟件使人們對(duì)CAI 產(chǎn)生了懷疑：“原來(lái)這就是CAI 呀!看來(lái)與其用這類軟件還不如認(rèn)真地看看書，更不如聽(tīng)有經(jīng)驗(yàn)的教師講課�！彼^“電腦教師”還是不如真正的教師，計(jì)算機(jī)還是難以進(jìn)入課堂。于是教師只好親自參與開(kāi)發(fā)軟件，由于教師遠(yuǎn)比一般的計(jì)算機(jī)工程師熟悉教學(xué)、了解學(xué)生心理，所以這類軟件可以在教學(xué)中發(fā)揮一定作用。但問(wèn)題又來(lái)了，那就是開(kāi)發(fā)效率太低，一節(jié)課用的軟件需要幾十個(gè)小時(shí)開(kāi)發(fā)，誰(shuí)都難以長(zhǎng)期堅(jiān)持下來(lái)。加之每一個(gè)軟件都體現(xiàn)了開(kāi)發(fā)者的個(gè)性，在當(dāng)前每一位教師都要在課堂上展現(xiàn)自己個(gè)性的情況下，教學(xué)軟件難以推廣。于是各地都在開(kāi)發(fā)大都只在自己的教學(xué)中應(yīng)用的屬于自己的軟件。面臨以上困難，多數(shù)教師不愿做吃力不討好的事，還是鐘情于粉筆與黑板。同時(shí)，低水平的重復(fù)開(kāi)發(fā)又引來(lái)對(duì)CAI的種種非議：用大量的人力物力搞CAI是否值得？在現(xiàn)時(shí)條件下CAI到底能給教學(xué)改革注入多大的活力？
在借助于CAI促進(jìn)各學(xué)科的教學(xué)改革中，數(shù)學(xué)大概是最困難的學(xué)科，引起的爭(zhēng)論也最大，首先是怎樣激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣？借助于多媒體技術(shù)，英語(yǔ)、生物，地理等學(xué)科的教學(xué)軟件可以做得圖文并茂、有聲有色，但數(shù)學(xué)卻不能，因?yàn)閿?shù)學(xué)是需要進(jìn)行進(jìn)行思維訓(xùn)練的，不僅依靠課件表面的生動(dòng)難于激發(fā)學(xué)生持久的學(xué)習(xí)熱情，而且也難于達(dá)到數(shù)學(xué)教學(xué)的目的。一個(gè)尖銳的問(wèn)題是:在數(shù)學(xué)教學(xué)中引入CAI 是有助于學(xué)生的思考呢，還是相反？有些人擔(dān)心過(guò)分依賴計(jì)算機(jī)將導(dǎo)致學(xué)生相應(yīng)能力的萎縮。這種擔(dān)心并不是杞人憂天，一些西方國(guó)家孩子當(dāng)前數(shù)學(xué)能力的下降似乎與濫用計(jì)算機(jī)技術(shù)有關(guān)。事實(shí)上，現(xiàn)代數(shù)學(xué)技術(shù)的發(fā)展不僅使數(shù)字計(jì)算變得輕而易舉，而且一個(gè)復(fù)雜的方程求解、一個(gè)方程曲線或函數(shù)圖象的繪制，一個(gè)積分或矩陣的運(yùn)算，都只需輕輕一按鍵盤，一切結(jié)果頃刻會(huì)在電腦屏幕上顯示出來(lái)。這種“描述”數(shù)學(xué)結(jié)論式的數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)教育是巨大的挑戰(zhàn)。它有助于概念的理解嗎？有助于問(wèn)題的求解嗎？有助于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高嗎？甚至數(shù)學(xué)教育的必要與目的性都受到懷疑，學(xué)生會(huì)問(wèn)：有了計(jì)算機(jī)還學(xué)數(shù)學(xué)干什么？教師會(huì)問(wèn)：有了計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)還教什么？數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)究竟是什么？但是計(jì)算機(jī)的洶涌浪潮卻勢(shì)不可擋，誰(shuí)也欄不住的。當(dāng)計(jì)算機(jī)進(jìn)入千家萬(wàn)戶之后，連學(xué)生玩電腦游戲軟件我們都看不住，誰(shuí)又能禁止他利用數(shù)學(xué)軟件完成數(shù)學(xué)作業(yè)呢？看來(lái)，既不能對(duì)計(jì)算機(jī)持反對(duì)態(tài)度，也不能對(duì)它持無(wú)可奈何的消極態(tài)度，積極的對(duì)策是更新觀念，認(rèn)真研究一下有了計(jì)算機(jī)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)模式應(yīng)該有哪些變化，研究數(shù)學(xué)CAI的理論和原則，考慮在現(xiàn)代教育技術(shù)支持下什么是理想的數(shù)學(xué)教育。
討論什么是理想的數(shù)學(xué)CAI，首先要討論什么是理想的數(shù)學(xué)教學(xué)，要討論計(jì)算機(jī)以外的因素。這就必須考慮數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，考慮不同學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理特征，還要考慮數(shù)學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展的未來(lái)社會(huì)對(duì)人的數(shù)學(xué)素質(zhì)的需求，然后再回過(guò)來(lái)討論CAI軟件的設(shè)計(jì)思想與使用原則。這當(dāng)然是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，很難在一篇文章中討論清楚。但我們以為至少以下原則是肯定的：
1、啟發(fā)性
啟發(fā)性是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂，因?yàn)闅w根結(jié)底數(shù)學(xué)是人類一種高度的精神活動(dòng)。美國(guó)著名數(shù)學(xué)家柯朗 （R Courant）在《數(shù)學(xué)是什么》一書中指出，“數(shù)學(xué)，作為人類思維的表達(dá)形式，反映了人們積極進(jìn)取的意志，縝密周詳?shù)耐评硪约皩?duì)完美境界的追求。它的基本要求是：邏輯和直觀，分析和構(gòu)造，一般性與個(gè)別性。雖然不同傳統(tǒng)可以強(qiáng)調(diào)不同的側(cè)面，然而這些互相對(duì)立的力量的相互作用以及它們綜合起來(lái)的努力才構(gòu)成數(shù)學(xué)科學(xué)的生命、用途和繁高價(jià)值�！币蚨鴶�(shù)學(xué)教學(xué)決不能只告訴學(xué)生現(xiàn)成的數(shù)學(xué)結(jié)論，或讓他們死記公式定理法則。歷史上，數(shù)學(xué)的每一步前進(jìn)都是以數(shù)學(xué)家付出的艱難探索為代價(jià)的，有些成果甚至是上百年幾代數(shù)學(xué)家心血的積累。今天要在很短的時(shí)間里讓學(xué)生理解它們，不啟發(fā)他們運(yùn)用自己的智力認(rèn)真思考怎么能行？在這個(gè)意義上講，數(shù)學(xué)教師的責(zé)任在于再創(chuàng)造，在于提出深入淺出循循善誘的問(wèn)題、設(shè)計(jì)最佳的教學(xué)情景與活動(dòng)，讓學(xué)生通過(guò)自己的思考去獲得知識(shí)。
在傳統(tǒng)教學(xué)中啟發(fā)式談了幾十年，至今并沒(méi)有很好的解決，現(xiàn)在在數(shù)學(xué)教學(xué)中引入CAI 情況又怎樣呢？應(yīng)該說(shuō)大量死板的課本搬家式的軟件使人擔(dān)憂，如果說(shuō)多數(shù)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂缺少啟發(fā)式，那么這類軟件就根本沒(méi)有啟發(fā)式。所謂講解就是在屏幕上顯示出有關(guān)的概念、定理、公式，不談他們的來(lái)源和用場(chǎng)，不談知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和發(fā)展，更不談最值得領(lǐng)悟的數(shù)學(xué)思想和方法。所謂練習(xí)就是在屏幕上顯示出答案，有的甚至連必要的過(guò)程都沒(méi)有，對(duì)于判斷選擇題或一類簡(jiǎn)單的填空題，計(jì)算機(jī)倒是有些交互功能，但反饋信息卻談不上任何啟發(fā)性。試想：當(dāng)學(xué)生答對(duì)時(shí)屏幕顯示出“對(duì)了，你真聰明!”，當(dāng)學(xué)生答錯(cuò)時(shí)屏幕顯示“真遺憾，你沒(méi)答對(duì)，請(qǐng)?jiān)偌佑拖胂搿！比藗冞@時(shí)對(duì)CAI 會(huì)怎么看呢？是否與傳統(tǒng)教學(xué)相比，計(jì)算機(jī)更不利于表現(xiàn)啟發(fā)式的教學(xué)呢？是否對(duì)表現(xiàn)以抽象與嚴(yán)謹(jǐn)為特征的數(shù)學(xué)，不是計(jì)算機(jī)的特長(zhǎng)甚至是它的特短呢？
我們認(rèn)為對(duì)數(shù)學(xué)CAI持如此悲觀的看法是不必要的。實(shí)踐表明，計(jì)算機(jī)在這方面不是無(wú)能為力而是大有潛力的。近年來(lái)我們?cè)诮虒W(xué)中引入《數(shù)列的極限》、《周期函數(shù)與周期函數(shù)的周期》、《正方體的截面》等教學(xué)軟件，都較之傳統(tǒng)教學(xué)更富于啟發(fā)性。過(guò)去對(duì)這些傳統(tǒng)教學(xué)的難點(diǎn)，教師常感到力不從心，而現(xiàn)在通過(guò)精心設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)CAI，教學(xué)更多成為學(xué)生自己思考探索的過(guò)程，計(jì)算機(jī)縮短了抽象嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)與學(xué)生認(rèn)知水平之間的距離。于是新的課題出現(xiàn)了。過(guò)去探討如何在粉筆加黑板的班級(jí)教學(xué)條件下設(shè)計(jì)啟發(fā)式的數(shù)學(xué)教學(xué)，現(xiàn)在則需要考慮如何在計(jì)算機(jī)技術(shù)的支持下設(shè)計(jì)出比傳統(tǒng)教學(xué)更富于啟發(fā)性的教學(xué)、
2、針對(duì)性
有的放矢的教學(xué)對(duì)所有學(xué)科都是重要的，但對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要性就尤其突出。由于數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)部聯(lián)系密切，環(huán)環(huán)相扣，系統(tǒng)性強(qiáng)，某一學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)的障礙，往往造成下一階段學(xué)習(xí)的困難，因而學(xué)生一旦在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上掉隊(duì)往往很難補(bǔ)上。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)認(rèn)為：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并非一個(gè)被動(dòng)的接收過(guò)程，而是學(xué)習(xí)者以自己原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)過(guò)程。如此說(shuō)來(lái)數(shù)學(xué)教學(xué)必須考慮每一個(gè)學(xué)習(xí)者原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，只有這樣才談得上教學(xué)的針對(duì)性，也才談得上有意義的教學(xué)。
在傳統(tǒng)教學(xué)中教學(xué)的針對(duì)性解決得如何呢？實(shí)踐表明，當(dāng)前在以教師為中心的班級(jí)授課的條件下，這個(gè)問(wèn)題是難于解決的。由于教師在課堂上只能用統(tǒng)一的節(jié)奏，同樣的策略，面對(duì)全班學(xué)生，更多地只能考慮共性，難于照顧個(gè)性。而每個(gè)學(xué)生原有的基礎(chǔ)知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)不同、思維有快有慢，教師在課堂上不可能做到針對(duì)每一個(gè)學(xué)生。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中引入CAI 情況有了一些變化。在我們的實(shí)踐中，學(xué)生一人一機(jī)或兩人一機(jī)利用教學(xué)軟件學(xué)習(xí)，他們可以利用鍵盤或鼠標(biāo)控制學(xué)習(xí)節(jié)奏，還能通過(guò)菜單選擇他們需要的內(nèi)容或幫助信息，這在一定程度上增強(qiáng)了教學(xué)的針對(duì)性。然而利用數(shù)學(xué)CAI 軟件學(xué)習(xí)，教學(xué)針對(duì)性的問(wèn)題并沒(méi)有完全解決，并且在許多情況下電腦還不如教師。有經(jīng)驗(yàn)的教師的最大的特長(zhǎng)是能夠隨機(jī)應(yīng)變因勢(shì)利導(dǎo)，他可以提出恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題及時(shí)了解學(xué)生的掌握程度，在得到學(xué)生的反饋信息之后，他們能馬上變換教學(xué)策略，幾句話講到點(diǎn)子上，使學(xué)生茅塞頓開(kāi)。教學(xué)軟件要有針對(duì)性，就要求設(shè)計(jì)者必須設(shè)身處地地設(shè)想電腦在和學(xué)生面對(duì)面地交談，學(xué)生看到電腦的每一屏他可能怎么想，下一步屏幕上又該顯示怎樣的具有啟發(fā)性的文字或圖象，這對(duì)軟件設(shè)計(jì)的要求是很高的。所謂智能化的軟件應(yīng)該是能對(duì)不同的學(xué)生適時(shí)改變教學(xué)策略的軟件，這樣的軟件或許可稱得上是“電腦教師”了，遺憾的是當(dāng)前市場(chǎng)上的“電腦教師”名不符實(shí)，至今還沒(méi)有看到真正智能性的軟件。其實(shí)要求教學(xué)軟件具有和教師一樣的靈活的智能性，本身就不現(xiàn)實(shí)�？梢钥隙�，設(shè)計(jì)智能化的“電腦教師”要比設(shè)計(jì)與國(guó)際象棋大師對(duì)弈的“深蘭”不知要困難多少個(gè)數(shù)量級(jí)。我們以為正確的思路是并非讓計(jì)算機(jī)代替教師，而是充當(dāng)教師的得力助手，這樣計(jì)算機(jī)就大有可為了。例如能否考慮幾種主要的學(xué)生類型，根據(jù)他們的不同學(xué)習(xí)心理設(shè)計(jì)針對(duì)性較強(qiáng)的教學(xué)軟件；能否考慮把數(shù)學(xué)CAI與傳統(tǒng)教學(xué)結(jié)合起來(lái)做到優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)；能否考慮利用網(wǎng)絡(luò)技術(shù)加強(qiáng)學(xué)與教的及時(shí)交互等等。
3、學(xué)生的主動(dòng)參與程度
學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的概念理解與問(wèn)題求解，哪一樣也離不開(kāi)學(xué)生的主動(dòng)參與。然而在以教師為中心的傳統(tǒng)課堂上，學(xué)生的參與是有限的。在數(shù)學(xué)研究中，數(shù)學(xué)家在“做”數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生在聽(tīng)數(shù)學(xué)，這兩者有本值的區(qū)別。美國(guó)的數(shù)學(xué)家對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)提出了疑問(wèn)：“我們現(xiàn)在所教授的是我們正在做的那種數(shù)學(xué)嗎？”討論這個(gè)問(wèn)題是有積極意義的。它不僅涉及到傳統(tǒng)的傳授數(shù)學(xué)知識(shí)的方式是否有效，是否能調(diào)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性與積極性，還涉及到數(shù)學(xué)教學(xué)能否有助于建立學(xué)生正確的數(shù)學(xué)觀并增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。我們認(rèn)為現(xiàn)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)評(píng)價(jià)的一個(gè)誤區(qū)是：衡量數(shù)學(xué)課的質(zhì)量更多看中的是教師的表演，而不是學(xué)生自身的參與。
把CAI 引入數(shù)學(xué)課以后情況發(fā)生變化了嗎？從目前的情況看，基本上沒(méi)有變。大多數(shù)課堂上，計(jì)算機(jī)的作用只相當(dāng)與一個(gè)放相機(jī)輔助教師講解演示，計(jì)算機(jī)所特有的交互性沒(méi)有發(fā)揮作用。學(xué)生還是看著大屏幕聽(tīng)教師講，教師為中心的傳統(tǒng)教學(xué)模式?jīng)]有改變。值得注意的是現(xiàn)在各地正在投入大量的人力物力開(kāi)發(fā)這類軟件。比課本搬家式的軟件略有進(jìn)步的只是增加了一些動(dòng)畫，有的還插進(jìn)教師講課的片斷，細(xì)想起來(lái)這類軟件完全可以用錄相片替代的。
看來(lái)數(shù)學(xué)教學(xué)軟件的設(shè)計(jì)必須要考慮教學(xué)模式，計(jì)算機(jī)僅僅是幫助教師講解演示呢，還是可以用來(lái)支持?jǐn)?shù)學(xué)教學(xué)的個(gè)別化，或利于促進(jìn)小組討論式的協(xié)作學(xué)習(xí)？近年來(lái)我們進(jìn)行了這方面的探索，開(kāi)發(fā)了一些這樣的軟件，如“反三角函數(shù)的概念與性質(zhì)”，“異面直線的概念”，“異面直線的角和距離”等等。學(xué)生可以利用軟件一人一機(jī)或兩人一機(jī)，邊看屏幕、邊敲鍵盤、還可以對(duì)照屏幕演算推導(dǎo)、閱讀課本、相互討論、向教師質(zhì)疑。實(shí)踐表明學(xué)生的主動(dòng)性極大地增強(qiáng)了，這在一定程度上實(shí)現(xiàn)了由聽(tīng)數(shù)學(xué)到做數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變。但還有許多問(wèn)題沒(méi)有解決。例如怎樣看待學(xué)生的參與。是否學(xué)生的參與只限于在計(jì)算機(jī)上作題，事實(shí)上學(xué)生在計(jì)算機(jī)上完成選擇題與填空題是方便的，而完成解答題就很困難，姑且不談證明題的思路設(shè)計(jì)，就是數(shù)學(xué)表達(dá)式的輸入就存在嚴(yán)重的障礙。計(jì)算機(jī)并不利于學(xué)生的筆頭及口頭表達(dá)與相互交流，而這些利用傳統(tǒng)教學(xué)的紙和黑板倒更方便，例如，課堂的集體討論更容易創(chuàng)設(shè)口頭交流的活躍氣氛。那么學(xué)生的哪些活動(dòng)適宜在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行，哪些宜于離開(kāi)計(jì)算機(jī)？支持學(xué)生積極參與的軟件又如何設(shè)計(jì)，如何使用？數(shù)學(xué)CAI與傳統(tǒng)教學(xué)如何配合？再一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題是開(kāi)發(fā)教學(xué)軟件的效率，能否利用現(xiàn)成的工具投入很少的時(shí)間同樣能組織學(xué)生積極參與的數(shù)學(xué)活動(dòng)呢？只有這樣廣大教師才能夠接受計(jì)算機(jī)，數(shù)學(xué)CAI也才能真正促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的改革。我們認(rèn)為估價(jià)計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)教改的作用，不應(yīng)局限于一節(jié)課、一個(gè)課件，而應(yīng)從整體出發(fā)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。最近把“幾何畫板”及“mathcad”引入教學(xué)的實(shí)驗(yàn)給了我們很大的鼓舞，我們堅(jiān)信計(jì)算機(jī)能帶來(lái)數(shù)學(xué)教學(xué)模式的深刻變革，學(xué)生能夠從被動(dòng)接收的學(xué)習(xí)方式變成主動(dòng)的發(fā)現(xiàn)和探索知識(shí)。
綜上所述，計(jì)算機(jī)能給數(shù)學(xué)教改注入強(qiáng)勁的活力，但計(jì)算機(jī)技術(shù)不是關(guān)鍵的因素，起決定作用的還是教師，是信息時(shí)代數(shù)學(xué)教師的教育觀念。實(shí)踐呼喚理論，過(guò)去多年傳統(tǒng)教學(xué)形成的的數(shù)學(xué)教學(xué)法，數(shù)學(xué)教育觀顯然不能圓滿地解答現(xiàn)在涌現(xiàn)的許多新問(wèn)題了，時(shí)代需要我們探索和發(fā)展數(shù)學(xué)教育的新理論。
四、對(duì)當(dāng)前數(shù)學(xué)教改幾個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題的意見(jiàn)
以下我們將探討，在提供現(xiàn)代教育技術(shù)支持的條件下，當(dāng)前數(shù)學(xué)教改的幾個(gè)具體問(wèn)題。它們是：(1)計(jì)算機(jī)對(duì)幾何教改的影響。(2)計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)概念教學(xué)。(3)計(jì)算機(jī)與問(wèn)題求解。(4)計(jì)算機(jī)對(duì)教學(xué)模式的影響。
1、計(jì)算機(jī)對(duì)幾何教改的影響
幾何多年來(lái)是教學(xué)的難點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)教改的熱點(diǎn)，核心是對(duì)歐幾里得幾何如何改造。這個(gè)問(wèn)題牽動(dòng)了許多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家�！靶隆睌�(shù)運(yùn)動(dòng)中，作為布爾巴基學(xué)派領(lǐng)袖的法國(guó)數(shù)學(xué)家丟東涅(J. A. Dieudonne)曾提出“歐幾里得”滾蛋的口號(hào)。而另一位著名數(shù)學(xué)家R. 托姆(R.Thom)則認(rèn)為歐氏幾何是把二維、三維空間的過(guò)程轉(zhuǎn)述為書面語(yǔ)言的第一個(gè)例子；幾何思維是人類理性活動(dòng)的正常發(fā)展中不可省略的階段。經(jīng)過(guò)十多年，“新”數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)失敗了，它留給世人一連串深刻的思考和教訓(xùn)，其中重要的一條是：對(duì)歐幾里得幾何這份寶貴的歷史遺產(chǎn)的改造要持慎重態(tài)度。
當(dāng)前這場(chǎng)爭(zhēng)論仍在繼續(xù)。例如，在計(jì)算機(jī)飛速發(fā)展的今天，計(jì)算機(jī)不僅能快速的進(jìn)行計(jì)算，還能進(jìn)行機(jī)器證明。于是一些數(shù)學(xué)家包括最著名的數(shù)學(xué)家提出：幾何教改的方向就是幾何的代數(shù)化、幾何證明的機(jī)械化。另一些數(shù)學(xué)家其中也包括最著名的數(shù)學(xué)家則對(duì)此表示了擔(dān)心。英國(guó)數(shù)學(xué)家M. 阿蒂亞(M. Atiyah)認(rèn)為幾何直觀是增進(jìn)數(shù)學(xué)理解力的有效途徑.，歐氏幾何在學(xué)校的衰落是件不幸的事。我國(guó)數(shù)學(xué)家丁石孫教授認(rèn)為�！坝上ＥD人開(kāi)創(chuàng)的幾何永遠(yuǎn)是教育中訓(xùn)練思維的最好工具”。于是，“幾何教改向何處去？”真成了難題。。一方面歐氏幾何是珍貴遺產(chǎn)，另一方面又成為一個(gè)沉重的負(fù)擔(dān)。要妥善地改造幾何，就需要認(rèn)真考慮幾何的特點(diǎn)，幾何在數(shù)學(xué)教育中的作用，學(xué)生學(xué)習(xí)幾何感到困難的原因，特別是有了計(jì)算機(jī)幾何教改可能有怎樣的新思路。
M. 阿蒂亞(M. Atiyah)在“什么是幾何”一文中是這樣談?wù)搸缀蔚模骸皫缀卧谙ＥD人手中成為數(shù)學(xué)的第一個(gè)分支并趨于成熟，這件事絕非偶然。究其基本原因，幾何乃是最少抽象性的數(shù)學(xué)形式，它在日常生活中有直接的應(yīng)用；而且不需花費(fèi)太多的智力就能理解它�！薄皫缀问菙�(shù)學(xué)中這樣的一個(gè)部分，其中視覺(jué)思維占主導(dǎo)地位。”在幾何中直觀和抽象是兩個(gè)不同的側(cè)面，而這兩個(gè)側(cè)面聯(lián)系的又如此緊密。盡管幾何中沒(méi)有大小的點(diǎn)、沒(méi)有寬窄的線、沒(méi)有厚薄的面是十分抽象的“理想”世界的“理想”事物，但借助與視覺(jué)思維和生活經(jīng)驗(yàn)并不妨礙人們理解它。在幾何中人們抽象出的數(shù)學(xué)概念是相當(dāng)多的，如平行線、相交線、垂直線、角、余角、補(bǔ)角、三角形、全等形、相似形、……，可以說(shuō)人們?cè)趲缀沃谐橄蟪龅母拍畋却鷶?shù)多得多，然而這些概念的抽象都是以直觀的圖形為背景。變得不難理解，這是與代數(shù)的最大區(qū)別�；蛟S正是由于這個(gè)原因，希臘人才從幾何開(kāi)始把注意力集中于對(duì)事物基本屬性的準(zhǔn)確把握，感受到數(shù)學(xué)抽象的巨大威力。數(shù)學(xué)也才從幾何開(kāi)始上升為一門系統(tǒng)的科學(xué)。
除開(kāi)圖形的直觀性之外，系統(tǒng)化的演繹推理是幾何的另一特征。歐幾里得總結(jié)了前人的成果，從不多的幾條精心選擇的公理出發(fā)，推導(dǎo)出來(lái)一系列定理 (竟達(dá)近500條)。人們第一次從幾何中看到邏輯的力量，人們理性思維的力量。通過(guò)概念的抽象化，再結(jié)合演繹推理，數(shù)學(xué)作為人類高度精神活動(dòng)的實(shí)質(zhì)被凸現(xiàn)出來(lái)了，從此數(shù)學(xué)成為一種哲學(xué)，影響了人類幾千年的發(fā)展。
在分析了幾何的特點(diǎn)之后，幾何在數(shù)學(xué)教育中的作用就清楚了。數(shù)學(xué)不是作為一種教條讓學(xué)生死記硬背就行了，數(shù)學(xué)也不是作為一項(xiàng)技能讓學(xué)生反復(fù)練習(xí)就可以了。歸根結(jié)底，數(shù)學(xué)教育應(yīng)該提高人的思維能力，如此說(shuō)來(lái)幾何怎么能夠大刀闊斧的砍掉呢？幾何不應(yīng)被看做是過(guò)時(shí)的老古董，只是由于它難學(xué)就采取槍斃的做法。事實(shí)上，幾何是一種思維方式，這種思維方式的訓(xùn)練 對(duì)于智力發(fā)展可能受到高技術(shù)負(fù)面影響的新的一代是必不可少的。
讓學(xué)生在幾何教學(xué)中受到良好的思維訓(xùn)練，就要減少他們學(xué)習(xí)的困難，并激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。這是否有可能呢？我們認(rèn)為有必要反思我們的教學(xué)。
上面談到，“幾何乃是最少抽象性的數(shù)學(xué)形式，它在日常生活中有直接的應(yīng)用；而且不需花費(fèi)太多的智力就能理解它。”為什么不少學(xué)生感到幾何難學(xué)呢？恐怕原因之一是從直觀到抽象這個(gè)環(huán)節(jié)出了問(wèn)題。幾何又是用一大套定義、公理、定理精心編織的體系，而這些定義、公理、定理是用嚴(yán)謹(jǐn)抽象的語(yǔ)言表達(dá)的。多年來(lái)幾何教學(xué)讓學(xué)生背定義、背定理，而缺乏足夠的幾何圖形作為抽象概念的基礎(chǔ)。不少學(xué)生對(duì)所背的內(nèi)容并不理解，他們當(dāng)然感到枯燥困難。不少學(xué)生被迫記憶的是沒(méi)有意義的單詞組合。有些被歪曲地誤解了，有些則似是而非。如對(duì)垂直關(guān)系許多學(xué)生只認(rèn)識(shí)水平位置與豎直向下的直線，等腰三角形的頂角必須處于‘上面’的位置，直角三角形、圓周角也被學(xué)生頑固地放到特定位置。這表明學(xué)生并沒(méi)有全面正確的抽象出概念，他們沒(méi)有抓住事物最本質(zhì)的屬性。 另一個(gè)原因是片面強(qiáng)調(diào)邏輯思維訓(xùn)練，忽視了觀察、實(shí)驗(yàn)、想象、猜測(cè)等方面能力的培養(yǎng)，于是本來(lái)生動(dòng)、機(jī)智、充滿創(chuàng)造力的整個(gè)數(shù)學(xué)思維過(guò)程不見(jiàn)了。教師經(jīng)常代替學(xué)生思維的結(jié)果導(dǎo)致學(xué)生懶于思考并懷疑自己的智力。
在分析了學(xué)生學(xué)習(xí)幾何困難的原因之后，我們指出計(jì)算機(jī)能夠幫我們一些忙，教育技術(shù)能極大地開(kāi)闊幾何教改的思路，創(chuàng)造出傳統(tǒng)教學(xué)不可能實(shí)現(xiàn)的奇跡。
首先談?wù)剟?dòng)態(tài)的圖形。利用計(jì)算機(jī)技術(shù)我們只需一兩分鐘就能畫出動(dòng)態(tài)的三角形、動(dòng)態(tài)的特殊三角形、動(dòng)態(tài)的互相垂直的直線、動(dòng)態(tài)的圓周角等等。這給幾何教學(xué)帶來(lái)了轉(zhuǎn)機(jī)。讓圖形說(shuō)話!過(guò)去許多用口頭用語(yǔ)言難以講清楚的概念，現(xiàn)在一看圖形就完全明白了。需要時(shí)只需輕輕一按鼠標(biāo)將動(dòng)態(tài)圖形定格，就能得到變式圖形，這為學(xué)生抽象出準(zhǔn)確的概念提供了豐富的素材。再談測(cè)算，過(guò)去必須用刻度尺與量角器進(jìn)行度量，現(xiàn)在利用計(jì)算機(jī)能對(duì)線段、角度。面積等我們感興趣的幾何量(包括動(dòng)態(tài)圖形的幾何量)進(jìn)行及時(shí)的度量和計(jì)算。于是許多圖形的幾何性質(zhì)，某些條件對(duì)圖形性質(zhì)的影響可以讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)了。利用鼠標(biāo)還能托動(dòng)圖形或其中的一部分平移、旋轉(zhuǎn)或縮放，這不僅便于更深刻認(rèn)識(shí)圖形，還能直觀地顯示運(yùn)動(dòng)變換等數(shù)學(xué)思想。計(jì)算機(jī)還能頃刻隱藏或顯示圖形的某一部分，這使得圖形的分解與綜合都可以在學(xué)生眼前出現(xiàn)。通過(guò)多窗口顯示能將幾個(gè)圖形加以對(duì)比或把某圖形的一部分局部放大。通過(guò)菜單能隨心所欲地切入畫面、文字、聲音，這使我們借助于計(jì)算機(jī)可以創(chuàng)設(shè)出最佳的教學(xué)情景。所有教過(guò)幾何的教師面對(duì)計(jì)算機(jī)提供的上述幫助都會(huì)興奮不已，當(dāng)幾何教改進(jìn)退兩難之時(shí)，教育技術(shù)無(wú)疑帶來(lái)了希望的曙光�？磥�(lái)歐氏幾何這一珍貴的遺產(chǎn)，不一定非成為沉重的包袱。
近來(lái)我們數(shù)學(xué)CAI課題組引入了“幾何畫板”，初步的反映表明：幾何能成為最受學(xué)生歡迎的課程之一。計(jì)算機(jī)對(duì)幾何教改的影響是深遠(yuǎn)的，它的確能改變學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)幾何的態(tài)度和方法，提高他們對(duì)幾何的認(rèn)識(shí)能力。那么在教育技術(shù)的支持下幾何教改的出路何在呢？我們的意見(jiàn)是不一定非要對(duì)歐氏幾何動(dòng)大手術(shù)。它的公理法還是有必要讓學(xué)生知道的。幾何是訓(xùn)練學(xué)生形象思維與邏輯思維能力的極好材料，但不應(yīng)把幾何課當(dāng)成純粹的思維訓(xùn)練課，而應(yīng)密切它與實(shí)際的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生用幾何。應(yīng)充分發(fā)揮計(jì)算機(jī)的優(yōu)勢(shì)用豐富的圖形減少學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的困難、激發(fā)他們學(xué)習(xí)的興趣，盡可能讓學(xué)生親自動(dòng)手“做”幾何。
順便提一下解析幾何與立體幾何。在傳統(tǒng)的解析幾何教學(xué)中，形數(shù)的結(jié)合不好表現(xiàn)，曲線作為動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡只能依靠想象，現(xiàn)在不同了。利用計(jì)算機(jī)可以測(cè)算出平面內(nèi)任一點(diǎn)的直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)，當(dāng)用鼠標(biāo)托動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)的變化能及時(shí)顯示，可以通過(guò)動(dòng)畫生動(dòng)地表現(xiàn)曲線作為動(dòng)點(diǎn)的軌跡的形成過(guò)程，這無(wú)異將極大改善解析幾何的教學(xué)現(xiàn)狀。至于立體幾何，傳統(tǒng)教學(xué)的最大困難是培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力。幾年來(lái)我們的實(shí)踐表明，計(jì)算機(jī)同樣可以發(fā)揮它的積極作用。截面問(wèn)題，折疊問(wèn)題、側(cè)面展開(kāi)、從不同的角度觀察圖形，空間圖形的分解與組合……這些傳統(tǒng)教學(xué)的困難，現(xiàn)在通過(guò)計(jì)算機(jī)得到了圓滿的解決�？傊�(jì)算機(jī)對(duì)幾何教改有著深藏的巨大潛力，在教育技術(shù)的支持下，21世紀(jì)的幾何教學(xué)似乎將有一個(gè)巨大的變革。
2、計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)概念教學(xué)
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念教學(xué)是重要的，也是困難的。經(jīng)驗(yàn)表明，讓學(xué)生理解某一數(shù)學(xué)概念有時(shí)要比教他們學(xué)會(huì)一個(gè)具體的解題技巧不知困難多少倍。有些內(nèi)容，例如函數(shù)概念、數(shù)列極限的“ -N”定義，一直是數(shù)學(xué)教學(xué)中傳統(tǒng)的難點(diǎn)。學(xué)生學(xué)過(guò)函數(shù)概念之后多數(shù)并不理解符號(hào)“f”的意義，學(xué)生學(xué)過(guò)極限定義之后有種聽(tīng)天書之感。這促使我們探討概念教學(xué)的改革及計(jì)算機(jī)在其中所能發(fā)揮的作用。
應(yīng)該看到，造成概念教學(xué)困難的原因是多方面的。首先是對(duì)它的重視程度不夠。當(dāng)前在應(yīng)試教育的體制下，對(duì)解題教學(xué)的重視遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)概念教學(xué)，用于解題訓(xùn)練的時(shí)間與精力遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于對(duì)數(shù)學(xué)概念形成過(guò)程的剖析。實(shí)際上，后者涉及到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，本應(yīng)給予更多的研究。
數(shù)學(xué)概念離不開(kāi)抽象思維及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言表述，而抽象與嚴(yán)謹(jǐn)正是學(xué)生疏遠(yuǎn)數(shù)學(xué)的原因。計(jì)算機(jī)的可視化技術(shù)能對(duì)幾何教學(xué)提供生動(dòng)直觀的圖形，這容易為人們認(rèn)可，然而這又使人們認(rèn)為計(jì)算機(jī)所能表現(xiàn)的僅僅是“描述”式的數(shù)學(xué)，對(duì)于表現(xiàn)需要深層思考的數(shù)學(xué)概念，計(jì)算機(jī)恐怕是無(wú)能為力的。近年來(lái)我們的實(shí)踐消除了這種懷疑，教學(xué)軟件“數(shù)列的極限”在連續(xù)三屆學(xué)生使用的效果表明，計(jì)算機(jī)可以縮短數(shù)學(xué)與學(xué)生的距離，有助于學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念。計(jì)算機(jī)輔助數(shù)學(xué)概念教學(xué)的效果是傳統(tǒng)教學(xué)不可比擬的。究其原因，并非計(jì)算機(jī)本身具有這種教學(xué)才能，而是在計(jì)算機(jī)的支持下教師可以進(jìn)行比原來(lái)更有效的教學(xué)設(shè)計(jì)。
對(duì)概念教學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)，必須對(duì)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程進(jìn)行歷史的和學(xué)習(xí)心理的考察。數(shù)學(xué)概念的抽象其實(shí)是相當(dāng)困難的，有些甚至經(jīng)歷成百上千年的漫長(zhǎng)過(guò)程。以函數(shù)為例，盡管從伽里略的著作里已經(jīng)看到樸素的函數(shù)思想，盡管1673年“函數(shù)”概念就由萊布尼茨首次提出，但今天學(xué)生們?cè)诮炭茣袑W(xué)到的定義卻是經(jīng)過(guò)包括達(dá)朗貝爾、歐拉、柯西、狄里黑里(Dirichlet)等幾代數(shù)學(xué)家不斷演化的結(jié)果。函數(shù)概念的內(nèi)涵經(jīng)過(guò)了幾代人的努力才被凸現(xiàn)出來(lái)! 以極限概念為例，也包含著人類長(zhǎng)期對(duì)“無(wú)限”過(guò)程的艱苦思考。在古代，人們?cè)缫延辛岁P(guān)于極限的樸素思想，但極限定義的嚴(yán)格的形式化的語(yǔ)言表述卻直到19世紀(jì)才最后形成，那是給分析注入嚴(yán)密性的產(chǎn)物�，F(xiàn)在想來(lái)，學(xué)生在從教師或課本中接受這些數(shù)學(xué)概念時(shí)感到迷惑不解是太正常了!原因是思維的成果不經(jīng)自己頭腦的消化是不可能吸收的。學(xué)生固然無(wú)需完全重復(fù)先前人們抽象這些概念的思維過(guò)程，但重新經(jīng)歷其中某些重要的過(guò)程卻必不可少，當(dāng)前學(xué)生缺乏的恰恰是必要的抽象概念的思維過(guò)程。
對(duì)概念學(xué)習(xí)進(jìn)行心理分析是教學(xué)設(shè)計(jì)的另一個(gè)根據(jù)。著名心理學(xué)家皮亞杰提出：“如果認(rèn)識(shí)了一個(gè)概念的心理學(xué)基礎(chǔ)，這就意味著從認(rèn)識(shí)論上理解了這個(gè)概念”。從這個(gè)意義上講，數(shù)學(xué)概念的抽象需要堅(jiān)實(shí)的實(shí)驗(yàn)。與物理、化學(xué)、生物等學(xué)科不同，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的對(duì)象不是物質(zhì)材料而是思想材料。在自然界中本沒(méi)有數(shù)、代數(shù)式、方程、函數(shù)、極限等物質(zhì)，只是由于有了人及人的活動(dòng)，這些作為人對(duì)自然界的概括與認(rèn)識(shí)，才成為數(shù)學(xué)研究的對(duì)象。教育心理學(xué)認(rèn)為數(shù)學(xué)知識(shí)是建立在人對(duì)自身活動(dòng)，運(yùn)算過(guò)程的反省抽象的基礎(chǔ)上。因此數(shù)學(xué)概念的象起源于學(xué)習(xí)與研究者的活動(dòng)與運(yùn)算，而數(shù)學(xué)的形式化是運(yùn)算思維的必然結(jié)果。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，他的數(shù)學(xué)概念是在個(gè)別活動(dòng)中構(gòu)造出來(lái)的。是他在活動(dòng)中根據(jù)自身的經(jīng)驗(yàn)對(duì)知識(shí)的重組。皮亞杰把這種過(guò)程稱為“建構(gòu)”。經(jīng)過(guò)以上分析，我們或許可以找出傳統(tǒng)的概念教學(xué)的缺陷，并找到利于計(jì)算機(jī)輔助概念教學(xué)的策略。
傳統(tǒng)教學(xué)在講授概念時(shí)一個(gè)難以克服的困難是缺乏學(xué)生足夠的活動(dòng)與實(shí)驗(yàn)，教師往往用自己的演講代替了學(xué)生自身的“建構(gòu)”過(guò)程。在課堂上提供的思維材料十分貧乏。利用計(jì)算機(jī)恰恰可以彌補(bǔ)這個(gè)缺陷，計(jì)算機(jī)能夠提供理想的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，能夠滿足學(xué)生個(gè)別活動(dòng)與小組討論的要求，也便于創(chuàng)設(shè)富于啟發(fā)性的教學(xué)情景。所以計(jì)算機(jī)在改進(jìn)數(shù)學(xué)概念教學(xué)方面有著巨大的潛力。
下面以數(shù)列的極限概念為例談?wù)勎覀兊慕虒W(xué)設(shè)計(jì)。
首先我們從“一尺之棰，日取其半”談起，問(wèn)如此組成的數(shù)列隨時(shí)間的推移將怎樣變化？屏幕上此時(shí)生動(dòng)地顯示出一尺之棰按日取其半的規(guī)律隨時(shí)間變化的情況。這比課堂上原來(lái)只是口頭講授更能激發(fā)學(xué)生的思考。隨后我們先后在屏幕上給出了數(shù)列前幾項(xiàng)的數(shù)值、在數(shù)軸上以及在直角坐標(biāo)系中表示數(shù)列前幾項(xiàng)的點(diǎn)動(dòng)態(tài)地趨向極限的圖示。學(xué)生從以上創(chuàng)設(shè)的情景中完全能夠理解此無(wú)窮數(shù)列變化的趨勢(shì)是無(wú)限制地接近一個(gè)常數(shù)。這時(shí)我們?cè)谄聊簧弦员砀�、�?shù)軸、直角坐標(biāo)系為背景，給出了關(guān)于數(shù)列極限概念的說(shuō)明：“粗略地說(shuō)：如果一個(gè)無(wú)窮數(shù)列 變到后來(lái)無(wú)限制地接近某一個(gè)常數(shù)A，就說(shuō)這個(gè)數(shù)列的極限是常數(shù)A”。下面我們給出幾個(gè)具體的無(wú)窮數(shù)列，讓學(xué)生猜出它的極限。屏幕不單給出數(shù)列的前幾項(xiàng)的數(shù)值，用數(shù)軸和直角坐標(biāo)系給出表示數(shù)列前幾項(xiàng)的點(diǎn)，而且為學(xué)生提供了實(shí)驗(yàn)的環(huán)境。學(xué)生可以鍵入任意大的n的數(shù)值，計(jì)算機(jī)則馬上顯示相應(yīng)的數(shù)列 的數(shù)值。過(guò)去教師的講解現(xiàn)在變成學(xué)生的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，實(shí)踐表明每個(gè)學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)都能猜出該數(shù)列的極限，這為數(shù)列極限的形式化定義打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。我們還設(shè)計(jì)了一個(gè)選擇題 還是 ？學(xué)生可以通過(guò)按鍵自由選擇，對(duì)每種選擇答案我們都在屏幕上給了詳盡的分析解答。以上的所有教學(xué)設(shè)計(jì)基于這樣一個(gè)指導(dǎo)思想：讓學(xué)生通過(guò)參與實(shí)驗(yàn)與運(yùn)算而不是聽(tīng)教師講授自己領(lǐng)悟數(shù)列極限的概念，從感知到了解再過(guò)渡到形式化的定義。
對(duì)極限的形式化定義我們精心設(shè)計(jì)了逐次精確化的過(guò)程。數(shù)列極限的“ -N”定義，或許是中學(xué)階段學(xué)生最難接受的定義了。學(xué)生第一次遇到語(yǔ)句如此長(zhǎng)的數(shù)學(xué)定義，加上其中包括那么多的數(shù)學(xué)符號(hào) ： 、A、n、N、 ，要讓學(xué)生理解它，必須從學(xué)生可接收的粗略的描述極限的語(yǔ)言出發(fā)過(guò)渡到十分形式化的“ -N”定義。為此，我們?cè)陔娔X屏幕上設(shè)計(jì)了如下的情景。在“如果一個(gè)無(wú)窮數(shù)列 變到后來(lái)無(wú)限制地接近某一個(gè)常數(shù)A，就說(shuō)這個(gè)數(shù)列的極限是常數(shù)A”這句話的下面動(dòng)畫式地依次顯示：(1) 接近某一個(gè)常數(shù)A；(2) 無(wú)限制地接近某一個(gè)常數(shù)A；(3) 變到后來(lái)無(wú)限制地接近某一個(gè)常數(shù)A。接著又在這三句話的后面依次顯示：(1) 是一個(gè)很小的正數(shù)；(2) 能夠要多小有多小，即對(duì)無(wú)論多小的正數(shù) 不等式 < 能夠成立；(3)對(duì)于預(yù)先給定的無(wú)論多小的正數(shù) ，只需取足夠遠(yuǎn)的項(xiàng)n，那么它以后所有的項(xiàng)都滿足 < .稍后以此為背景我們開(kāi)出一個(gè)窗口顯示出數(shù)列極限的“ -n”定義。在此之后我們還通過(guò)具體例子用圖表顯示 的值；用模擬的放大鏡在數(shù)軸上顯示表示數(shù)列的點(diǎn)動(dòng)態(tài)地趨向其極限的情況；為幫助學(xué)生理解 -n 為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了自由探試的環(huán)境：讓學(xué)生自由地鍵入 ，屏幕則顯示相應(yīng)的一個(gè)n及后面的五項(xiàng)的值和這些項(xiàng)與極限的誤差。通過(guò)反復(fù)實(shí)驗(yàn)，原來(lái)難懂的極限的“ -n”定義，現(xiàn)在變得十分容易理解了。
這個(gè)軟件的使用效果給我們的啟發(fā)是深刻的。它說(shuō)明計(jì)算機(jī)能夠改善數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，可以利于計(jì)算機(jī)進(jìn)行比傳統(tǒng)教學(xué)更加優(yōu)化的教學(xué)設(shè)計(jì)，而教學(xué)軟件設(shè)計(jì)的關(guān)鍵卻不是計(jì)算機(jī)本身而是教師的教學(xué)觀。先進(jìn)的教學(xué)理論、豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與計(jì)算機(jī)技術(shù)的結(jié)合能夠產(chǎn)生最佳的教學(xué)效果。當(dāng)然開(kāi)發(fā)這類軟件是很費(fèi)氣力的，不可能所有的教師都有條件自己開(kāi)發(fā)教學(xué)軟件。事實(shí)上可以借助于如“mathcad”、“mathematica”這類現(xiàn)成的軟件組織學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，這對(duì)幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念肯定是有意義的。
3、計(jì)算機(jī)與問(wèn)題求解
1997年，一場(chǎng)人機(jī)大戰(zhàn)引起世人的矚目，這就是由IBM公司設(shè)計(jì)的超級(jí)電腦“深藍(lán)”和稱霸國(guó)際棋壇十二載的世界棋王卡斯帕羅夫的對(duì)弈。較量的結(jié)果，“深藍(lán)”以二勝一負(fù)三平的總成績(jī)贏得了勝利�，F(xiàn)在這場(chǎng)人機(jī)智慧大戰(zhàn)已偃旗息鼓，但卻給世人留下了一系列深刻的啟示。圍繞這場(chǎng)比賽的熱烈討論仍在繼續(xù)。“計(jì)算機(jī)在和人類的智慧挑戰(zhàn)”，這將對(duì)世界的未來(lái)將產(chǎn)生何種影響？
其實(shí)“深藍(lán)”作為下棋的專家，它的智慧與經(jīng)驗(yàn)是人賦予的，是人使電腦有了人工智能，因此“深藍(lán)”的勝利實(shí)際上是人腦的勝利。由此我們自然可以問(wèn)：能否把人類解題的經(jīng)驗(yàn)和智慧賦予電腦，使它成為解題專家呢？進(jìn)一步，能否再加上教師豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，使它成為教學(xué)專家呢？
對(duì)前一個(gè)問(wèn)題，近年來(lái)的研究成果表明，已經(jīng)可以利用計(jì)算機(jī)證明任何一個(gè)幾何題，也可以用計(jì)算機(jī)解任何一個(gè)一元一次方程的應(yīng)用題。讓計(jì)算機(jī)能解天下任何問(wèn)題是不可能的，讓計(jì)算機(jī)能解某一類問(wèn)題，成為解這一類問(wèn)題的專家如今卻已經(jīng)成為現(xiàn)實(shí)。這本身對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)有很大的意義，因?yàn)閿?shù)學(xué)教學(xué)不可能教學(xué)生解天下所有問(wèn)題的方法，那種方法是不存在的。數(shù)學(xué)教學(xué)也不關(guān)心只對(duì)極特殊問(wèn)題有效的奇著妙法,那種方法意義不大。數(shù)學(xué)教學(xué)最關(guān)心的是那些最有廣泛性的具有典型意義的常規(guī)常法，認(rèn)為這無(wú)論對(duì)學(xué)生當(dāng)前的教育意義，還是對(duì)他們的未來(lái)發(fā)展都是重要的。令人振奮的是現(xiàn)在已經(jīng)可以把解某一類問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)和智慧賦予計(jì)算機(jī)。
對(duì)后一個(gè)問(wèn)題，現(xiàn)在提出來(lái)似乎還為時(shí)過(guò)早。是否可以改個(gè)提法，那就是充分發(fā)揮計(jì)算機(jī)在解題教學(xué)中的積極作用。今天，讓計(jì)算機(jī)成為這方面的教學(xué)專家雖不現(xiàn)實(shí)，然而讓計(jì)算機(jī)充當(dāng)教師的助手，在數(shù)學(xué)教學(xué)及家庭輔導(dǎo)中發(fā)揮一定的作用，卻是迫切需要研究的問(wèn)題。一方面，我們課堂的解題教學(xué)并不總是很成功的；另一方面，電腦雖然已經(jīng)進(jìn)入家庭，卻沒(méi)有充分發(fā)揮其教育功能。計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)和傳統(tǒng)教學(xué)之間本來(lái)有很多是可以相互借鑒的�？偨Y(jié)解題的思維規(guī)律，整理多年來(lái)教師群體在解題教學(xué)的豐富經(jīng)驗(yàn)，對(duì)兩者都是必要的。
為什么我們說(shuō)傳統(tǒng)的解題教學(xué)并不總是成功的呢？一個(gè)重要問(wèn)題就是解題的思維過(guò)程顯示地不夠充分。對(duì)每一個(gè)學(xué)習(xí)個(gè)體，又不可能實(shí)現(xiàn)及時(shí)的教學(xué)反饋。例如選擇題，這或許是傳統(tǒng)教學(xué)中最不成功的。選擇題題型覆蓋面廣，考試能采取機(jī)器閱卷，不僅公平而且效率高，因而被廣泛使用。但在教學(xué)中，它的最大問(wèn)題是解這種題不要求過(guò)程，一次練習(xí)下來(lái)或千篇一律的答案（由于作弊〕而失去練習(xí)的意義，或五花八門的答案既不便于統(tǒng)計(jì)也不便于講評(píng)。所以當(dāng)前的教學(xué)中，師生在這方面往往作無(wú)用功，得不到預(yù)期的效果。實(shí)踐表明，計(jì)算機(jī)最容易在這里發(fā)揮優(yōu)勢(shì)。遠(yuǎn)不需復(fù)雜的編程，就可以把教師對(duì)每個(gè)學(xué)生的不同選擇答案需要作出的教學(xué)反饋裝在計(jì)算機(jī)里，選擇過(guò)程的不同思維過(guò)程盡可以在這里得到展現(xiàn)，還可以對(duì)個(gè)體或全班及時(shí)作出統(tǒng)計(jì)和評(píng)估。其實(shí)，計(jì)算機(jī)干這種事是很在行的。于是計(jì)算機(jī)成了教師歡迎的得力助手，能代替教師不少重復(fù)性勞動(dòng)。在我們的教學(xué)中，這種形式的計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)受到各種程度學(xué)生的歡迎，他們從教學(xué)的個(gè)別化中能及時(shí)得到詳盡的幫助，過(guò)去 對(duì)選擇題往往“只知其然而不知其所以然”，現(xiàn)在則從各種似是而非或似非而是的答案的選擇過(guò)程中加深了對(duì)問(wèn)題的理解。
對(duì)于解答題，傳統(tǒng)教學(xué)存在的一個(gè)弊病是對(duì)“解題術(shù)”給予的重視太多，而對(duì)問(wèn)題求解的思維過(guò)程重視得不夠，不是作為生動(dòng)活潑的思維訓(xùn)練去教，而是作為對(duì)教師總結(jié)出的“現(xiàn)成的”套路去強(qiáng)化訓(xùn)練。在課堂上，玻利亞的問(wèn)題解決方式并不多見(jiàn)。由于課堂時(shí)間不允許，加上學(xué)生的程度各異，特別是對(duì)審題，設(shè)計(jì)解題思路，反思幾個(gè)環(huán)節(jié)，給予的重視不足。現(xiàn)在我們利用計(jì)算機(jī)把玻利亞的問(wèn)題解決方式溶入其中，學(xué)生可通過(guò)菜單從提示，分析，解答，回顧幾個(gè)不同的層次得到幫助，解題的思維過(guò)程展現(xiàn)的更清晰了。過(guò)去課堂上教師只能用一個(gè)聲調(diào)對(duì)全體同學(xué)講題，現(xiàn)在教師可以同時(shí)對(duì)程度各異的同學(xué)以不同的方式進(jìn)行啟發(fā)。教師的講授更多為學(xué)生自己的活動(dòng)所替代，教師只在必要時(shí)才提供幫助。當(dāng)然，計(jì)算機(jī)總不能象真正的教師那樣靈活，那樣富于創(chuàng)造性，能夠隨機(jī)應(yīng)變因勢(shì)利導(dǎo)，又高度負(fù)責(zé)充滿熱情，然而把教師的經(jīng)驗(yàn)與智慧溶入電腦總是有很大意義的。因?yàn)楸M管教師在從事創(chuàng)造性的勞動(dòng)，但總有相當(dāng)一部分是重復(fù)性的工作，而這一部分可以考慮交給計(jì)算機(jī)。計(jì)算機(jī)永遠(yuǎn)不會(huì)成為有高度事業(yè)心和責(zé)任感的教師，但溶入教師豐富經(jīng)驗(yàn)的計(jì)算機(jī)肯定能充當(dāng)教師的不知疲倦的助手。
傳統(tǒng)教學(xué)另一個(gè)最大缺陷是對(duì)應(yīng)用題及開(kāi)放探索性問(wèn)題的忽視，連續(xù)幾年高考都暴露出這一部分是學(xué)生掌握最差的內(nèi)容。我們指出，計(jì)算機(jī)對(duì)改善這種狀況也能起一定的作用。例如應(yīng)用題，由于數(shù)據(jù)不整齊，計(jì)算量較大，傳統(tǒng)課堂難于處理�，F(xiàn)在有了mathcad及mathematica這類數(shù)學(xué)軟件，數(shù)學(xué)教學(xué)有可能把主要注意力集中在如何把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，至于冗長(zhǎng)的數(shù)值計(jì)算與符號(hào)演算可在計(jì)算機(jī)上快速完成。這對(duì)處理應(yīng)用題是極大的幫助。
關(guān)于開(kāi)放探索性問(wèn)題，需要提供一個(gè)便于學(xué)生探試的環(huán)境，有時(shí)又需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)富于啟發(fā)性的問(wèn)題情景。有了計(jì)算機(jī)情況就和傳統(tǒng)教學(xué)大不一樣了。提出同一個(gè)問(wèn)題：“順次連接四邊形各邊中點(diǎn)圍成什么圖形？”在計(jì)算機(jī)屏幕上顯示的效果就比過(guò)去靈活的多。在“幾何畫板”的支持下，可以在屏幕上給出一個(gè)動(dòng)態(tài)的四邊形，它在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中忽而是凸四邊形，忽而是凹四邊形；四邊中點(diǎn)連線組成的四邊形也是不斷變化的，可能是一般的平行四邊形，也可能是特殊的平行四邊形。在這種情景下我們可以給學(xué)生更多的思考空間，因?yàn)閱?wèn)題可以是非常開(kāi)放的，我們可以引導(dǎo)學(xué)生探究怎樣的條件將導(dǎo)致何種結(jié)論。又如正方體的截面問(wèn)題，在屏幕上我們問(wèn)：“設(shè)想一把無(wú)比鋒利的刀，猛地朝一個(gè)正方體形的物體砍下去，截面是什么圖形？”給學(xué)生留出猜測(cè)的時(shí)間之后，計(jì)算機(jī)可以用不同的速度對(duì)此給出動(dòng)態(tài)模擬的圖景，顯示出不同形狀的截面，并由此引發(fā)出一系列能激發(fā)學(xué)生興趣的有關(guān)截面的問(wèn)題。
從以上敘述人們不難看到，計(jì)算機(jī)能給數(shù)學(xué)教學(xué)注入旺盛的活力，它正在以下一些方面改變著解題教學(xué)的現(xiàn)狀。(1)突出學(xué)生在解題過(guò)程中的主體地位；(2)能對(duì)不同程度的學(xué)生提供不同程度的問(wèn)題；(3)可以對(duì)所有學(xué)生同時(shí)提供各自需要的幫助；(4)為解決來(lái)自實(shí)際的問(wèn)題掃清了冗長(zhǎng)繁雜計(jì)算的障礙；(5)可以創(chuàng)設(shè)更具吸引力的數(shù)學(xué)問(wèn)題情景；(6)提供了理想的探試問(wèn)題求解的環(huán)境；(7)把教師群體的智慧與經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為一種可重復(fù)使用的教學(xué)資源；(8)把教師從低效的重復(fù)性勞動(dòng)中解脫出來(lái)，而吸引他們從事更富于創(chuàng)造性的教學(xué)工作。展望未來(lái)，我們深信隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展能給問(wèn)題解決以更多網(wǎng)上交流的機(jī)會(huì)，“教學(xué)專家”將發(fā)揮更大的作用；隨著“人工智能”技術(shù)的發(fā)展，電腦將更加“聰明”，問(wèn)題求解過(guò)程的人機(jī)交互將更加靈活；隨著虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)問(wèn)題將更加密切與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，數(shù)學(xué)問(wèn)題將更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。誰(shuí)都承認(rèn)問(wèn)題求解依賴于數(shù)學(xué)思維，但對(duì)人腦在進(jìn)行數(shù)學(xué)思維時(shí)的活動(dòng)機(jī)制現(xiàn)在還停留在猜想階段。隨著“人工智能”的深入研究，需要對(duì)數(shù)學(xué)解題思維過(guò)程的經(jīng)驗(yàn)與規(guī)律進(jìn)行總結(jié)，這反過(guò)來(lái)將促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的改革。
4、計(jì)算機(jī)對(duì)教學(xué)模式的影響
配置了具有數(shù)學(xué)功能的教學(xué)軟件之后，計(jì)算機(jī)便可以通過(guò)輸出設(shè)備將數(shù)學(xué)內(nèi)容按一定的結(jié)構(gòu)，用文字、圖像、聲音、動(dòng)畫等形式呈現(xiàn)出來(lái)，它的優(yōu)點(diǎn)是明顯的：
�。�1）學(xué)生的眼、耳、手、腦等感覺(jué)器官調(diào)動(dòng)起來(lái)，使學(xué)習(xí)內(nèi)容變得生動(dòng)有趣，容易記憶、理解和掌握。
�。�2）可以通過(guò)動(dòng)畫模擬、局部放大、過(guò)程演示等手段，將抽象問(wèn)題具體化，更好地展現(xiàn)復(fù)雜的數(shù)學(xué)思維過(guò)程。例如函φy=Asin(ωx+φ)的圖像及其與y=sinx圖像的聯(lián)系，異面直線之間的距離及所成角等，通過(guò)動(dòng)態(tài)的展示，變得形象生動(dòng)，更易接受，也增加了教學(xué)的可信度。
�。�3）提高了效率，使教學(xué)過(guò)程及其內(nèi)涵得到優(yōu)化，由于計(jì)算機(jī)輔助手段的運(yùn)用，一些圖表的制作更加精確、迅速，教學(xué)容量也得以加大，同時(shí)也減輕了教師的勞動(dòng)強(qiáng)度，可以在有限時(shí)間內(nèi)取得最大的效益。
但是，我們計(jì)算機(jī)輔助手段對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的影響更主要的（也應(yīng)該）表現(xiàn)為學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)“做”數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)的環(huán)境和氛圍，從而教師可以將更多功能探索、分析、思考的任務(wù)交給學(xué)生去完成。抽象、嚴(yán)謹(jǐn)是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一，但僅僅讓學(xué)生了解這一點(diǎn)，數(shù)學(xué)的面孔就顯得異常嚴(yán)肅，使人敬而遠(yuǎn)之，對(duì)中學(xué)生而言尤其是如此，而計(jì)算機(jī)的多媒體手段可以幫助我們吸引學(xué)生參與探討，共同展示數(shù)學(xué)問(wèn)題形成、發(fā)展、解決的全過(guò)程，很大程度上彌補(bǔ)了傳統(tǒng)教學(xué)手段的不足，請(qǐng)看下面這個(gè)問(wèn)題：
已知圓D:x２+y２-2x+4y=0，問(wèn)是否存在斜率為１的直線l，使l被圖D截得弦AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，若存在，寫出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由。
這是一個(gè)探索性問(wèn)題，在課堂教學(xué)過(guò)程中，我們將這一問(wèn)題的分析和解決分為三個(gè)階段。
首先，我們直線l方程為y=a+b，讓學(xué)生輸入不同的b，在計(jì)算機(jī)上觀察直線的變化以及以它與圓D的相交弦為直徑的圓的變動(dòng)情況。通過(guò)觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在直線上移或下移的過(guò)程中，有兩個(gè)圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，從而做出判斷：?jiǎn)栴}的解存，具有兩解。接著，幫助學(xué)生挖掘題設(shè)條件的本質(zhì)屬性。從而顯示屏幕上我們連結(jié)ＯＡ．ＯＢ， y。
學(xué)生恍然大悟：條件的實(shí)質(zhì)即ＯＡ⊥ＯＢ，若設(shè)Ａ(x1,y1),Ｂ(x2,y2)，則應(yīng)有x1x2+y1y1=0，然后將這一等式利用韋達(dá)定理 A 1轉(zhuǎn)化為關(guān)于b的方程，這樣便可以得到問(wèn)題的解了。最后，我們又提出了進(jìn)一步的問(wèn)題對(duì)于l不同的斜率，問(wèn)題解的情況又 O 1 2 3 x如何？這時(shí)通過(guò)學(xué)生的操作，讓屏幕上的Ｒt△ＡＯＢ繞著點(diǎn)Ｏ B -1 D轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)。在這動(dòng)態(tài)過(guò)程中，學(xué)生看到斜邊ＡＢ所在直線的斜 -2率也在連續(xù)變化，可以取到一切實(shí)數(shù)，即對(duì)于斜率取任何不同的 -3實(shí)數(shù)，問(wèn)題的解總是存在的，且有兩解。
上述例子表明，計(jì)算機(jī)的應(yīng)用擴(kuò)展了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容和范圍，學(xué)生也切切實(shí)實(shí)像一個(gè)小數(shù)學(xué)那樣參與到問(wèn)題的探索解決的過(guò)程中來(lái)，從模型的建立么演繹、歸納思維的分析；從性能的預(yù)測(cè)到規(guī)律的探索，以及算法的設(shè)計(jì)、計(jì)算實(shí)驗(yàn)的開(kāi)展和模擬仿真手段的演示等等，都可以通過(guò)這一現(xiàn)代化的工具來(lái)實(shí)現(xiàn)，尤其值得指出的是，通過(guò)數(shù)學(xué)模式的計(jì)算和模擬動(dòng)態(tài)的實(shí)驗(yàn)，為學(xué)生探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的規(guī)律提供了方便可行的新途徑，學(xué)生可以通過(guò)計(jì)算機(jī)的演示從起初的混亂狀況中觀察，捕獲有規(guī)則的結(jié)構(gòu)，這就促使并保證數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅成為數(shù)學(xué)靈感和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的源泉，而且也可以成為數(shù)學(xué)研究的有效方法。
結(jié)束語(yǔ)
在就要結(jié)束本文時(shí)，我們要強(qiáng)調(diào)指出：無(wú)論教育技術(shù)怎樣發(fā)展，數(shù)學(xué)教師都是不可替代的。不過(guò)教師在教學(xué)過(guò)程中的角色在變化，工作方式在變化。他從知識(shí)的傳授者變成學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織者與教學(xué)情景的設(shè)計(jì)師。他從個(gè)體的手工業(yè)勞動(dòng)者變成信息社會(huì)教師團(tuán)隊(duì)中的一員。大量的重復(fù)性工作將被更富創(chuàng)造性的勞動(dòng)所替代。他將更方便地利用信息技術(shù)提供的教育資源，同時(shí)他又需要在此基礎(chǔ)上進(jìn)行再創(chuàng)造。他不但需要掌握一定的現(xiàn)代教育技術(shù)，而且更需要有現(xiàn)代的教育觀念，堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)功底和精湛的教育藝術(shù)�？傊F(xiàn)代教育技術(shù)對(duì)教師提出了更高的要求。一只高素質(zhì)的數(shù)學(xué)教師隊(duì)伍是21世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)教育的最重要的需求。
最后我們感到，本文的題目“CAI與中學(xué)數(shù)學(xué)教育”似乎太大了。我們?yōu)樽约簲M了這么個(gè)大題目，許多內(nèi)容卻談不到家，有些問(wèn)題蜻蜓點(diǎn)水一帶而過(guò)，有些問(wèn)題還未涉及。如信息社會(huì)中網(wǎng)絡(luò)技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)教育的影響，信息社會(huì)中學(xué)校的數(shù)學(xué)教育、家庭教育和社會(huì)教育的關(guān)系，信息社會(huì)中數(shù)學(xué)教育網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)成，數(shù)學(xué)教育資源的開(kāi)發(fā)管理與使用等等。這的確是篇大文章。既是大文章就要由大家作，本文僅僅作為引起討論的引玉之磚吧！
歷史上產(chǎn)業(yè)革命曾把人類帶進(jìn)工業(yè)社會(huì)，今天的信息革命又要把人類引向何方呢？它對(duì)人們的生活、工作以及思維方式將產(chǎn)生怎樣的影響？在未來(lái)社會(huì)中數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育將對(duì)社會(huì)及個(gè)人的發(fā)展起怎樣的作用？如何在高技術(shù)的支持下改革數(shù)學(xué)教育，使之與現(xiàn)代社會(huì)的要求相適應(yīng)？這些都是值得認(rèn)真思考的問(wèn)題。有一件事是意味深長(zhǎng)的，那就是2000年這個(gè)歷史性時(shí)刻被確定為“國(guó)際數(shù)學(xué)年”。這表明數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育對(duì)于未來(lái)的發(fā)展是多么重要。這是一次機(jī)遇，讓我們把握住這個(gè)機(jī)遇！
CAI與中學(xué)數(shù)學(xué)教育 篇2
一、序言
隨著教育現(xiàn)代化的不斷推進(jìn)，多媒體計(jì)算機(jī)以其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)進(jìn)入課堂，沖擊著傳統(tǒng)的一張嘴、一支粉筆、一塊黑板的教學(xué)模式。開(kāi)發(fā)和利用先進(jìn)的教學(xué)媒體，改革傳統(tǒng)的教學(xué)方式，是當(dāng)前中小學(xué)數(shù)學(xué)和其它課程教學(xué)工作中的一項(xiàng)緊迫任務(wù)。
去年初，筆者加入我校省重點(diǎn)研究課題《經(jīng)濟(jì)欠發(fā)達(dá)地區(qū)中學(xué)開(kāi)展現(xiàn)代教育技術(shù)應(yīng)用的對(duì)策及實(shí)踐》的行列，在現(xiàn)代認(rèn)知理論、教學(xué)設(shè)計(jì)與傳播理論的指導(dǎo)下，并學(xué)習(xí)了當(dāng)前較熱門的多媒體軟件——幾何畫板、PowerPoint、Authuare，并自制了一定數(shù)量的課件，在校內(nèi)、校外的一些課件評(píng)比中取得一定的成績(jī)�，F(xiàn)將對(duì)經(jīng)欠發(fā)達(dá)地區(qū)開(kāi)展CAI技術(shù)輔助初中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與拙建如下：
二、CAI技術(shù)輔助中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)勢(shì)
1、有利于增加課堂容量，突破難點(diǎn)，提高課堂效率
在我們經(jīng)濟(jì)欠發(fā)達(dá)的地區(qū)，由于經(jīng)濟(jì)落后，缺少一定的教學(xué)媒體，教師在課堂上要花費(fèi)很多時(shí)間和精力來(lái)完成畫圖、繪制圖表和處理數(shù)據(jù)等工作，不僅工作量大，且難以突破難點(diǎn)，若采用CAI技術(shù)來(lái)完成這些工作，可節(jié)省教學(xué)時(shí)間，突破難點(diǎn)，增加課堂容量，提高課堂效率。
在研究二次函數(shù)y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的圖象和性質(zhì)的教學(xué)中，對(duì)于函數(shù)y＝x2、y＝x2＋1與y＝x2－1的形狀是否相同，傳統(tǒng)教學(xué)中教師只能通過(guò)用描點(diǎn)法耐心力求準(zhǔn)確地在黑板上畫出函數(shù)的圖象，再歸納性質(zhì)，這樣一要花費(fèi)很多時(shí)間，二由于圖象疊在一起時(shí)看不清，三則圖象不能隨意變化，不得比較、概括、抽象出有關(guān)性質(zhì)，固此，學(xué)生任教師怎么說(shuō)也不相信如右圖1的三個(gè)圖象是形狀相同的，總認(rèn)為y＝x2＋1的圖象較小，而y＝x2－1的圖象較大。如今在幾何畫板的支持下，用平移法便能輕松地解決問(wèn)題。
又如：如圖2，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，設(shè)梯形的周長(zhǎng)為16cm，高AH為xcm，中位線EF的長(zhǎng)為ycm，用解析式表示梯形的中位線長(zhǎng)y是高x的函數(shù)，并求自變量x的取值范圍。
學(xué)生在解象這樣平面幾何中幾何量之間的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題，一直感到困難。教師不可能，也無(wú)法準(zhǔn)確地畫出AH變化時(shí)的各個(gè)圖形，因而給學(xué)生的理解帶來(lái)一定的困難，自變量x的取值范圍也難以求解。固此筆者在初三總復(fù)習(xí)時(shí)，用Authorware與幾何畫板制作了有關(guān)類型的課件，動(dòng)態(tài)地展示了y與x的關(guān)系。實(shí)踐表明，效果很不錯(cuò)。
象上述這課件起到了縮短教學(xué)時(shí)間，化靜態(tài)為動(dòng)態(tài)，直觀、形象、清晰地展示圖象變化的規(guī)律和性質(zhì)的功效，學(xué)生能在積極參與探索知識(shí)的過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的再建構(gòu)，提高課堂效率。
2、有利于改善平面幾何的教學(xué)環(huán)境
歐代幾何流傳至今，深刻刻地影響著后來(lái)文化與科學(xué)，也成為訓(xùn)練人的思維的好材料。但是這嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)體系象一把“雙刀劍”，一方面有大約20％－30％的初中生因?yàn)閷W(xué)習(xí)的平面推理幾何，從此走上數(shù)學(xué)和科學(xué)研究之路，另一方面有不少學(xué)生在遭遇平面推理幾何之后，喪失了對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，乃至失去了對(duì)學(xué)校教育的信心。教師只能通過(guò)多講、多練等不是辦法的辦法來(lái)訓(xùn)練學(xué)生，使學(xué)生的負(fù)擔(dān)加重�，F(xiàn)有了《幾何畫板》等軟件，能改善認(rèn)知環(huán)境，使平面幾何更容易教，學(xué)生更容易學(xué)，學(xué)得活。
2．1 利用CAI技術(shù)，可創(chuàng)設(shè)“情景”，改善認(rèn)知環(huán)境
初二《幾何》課本第96頁(yè)有這樣一道題：草原上兩個(gè)居民點(diǎn)A、B在河l的同旁（如圖3），一汽車從A出發(fā)到B，途中需要到河邊加水，汽車在哪一點(diǎn)加水，可便行駛的路程最短？在圖中畫出該點(diǎn)。
利用《幾何畫板》可做這樣的事情，在l上任取一點(diǎn)C，連AC、BC，利用測(cè)量工具量出AC＋BC的值，拖動(dòng)點(diǎn)C，則AC＋BC的值忽大忽小，通過(guò)觀察在某個(gè)時(shí)刻AC＋BC的值會(huì)最小，然后再引導(dǎo)學(xué)生找出這個(gè)點(diǎn)。
又如：如圖4，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O是正方形A’B’C’O’的一個(gè)頂點(diǎn)，如果兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等，那么正方形A’B’C’D’繞點(diǎn)O無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積，總等于一個(gè)正方形面積的四分之一，想一想，為什么？
在本題中通常的處理是從特化入手，考慮圖4或圖5的特殊位置，顯重疊部分（陰影）的面積為1／4，由此，得到一個(gè)證明的思路，在圖4中證明△OAE≌△OBF。
上述處理顯然是淺薄的，始終對(duì)定值的成因沒(méi)有任何幾何實(shí)質(zhì)的揭示學(xué)生解完之后“知其然，不知其所以然”。
現(xiàn)在用《幾何畫板》創(chuàng)設(shè)一個(gè)“情景”（如圖7），那就好多了，過(guò)O作兩互相垂直的直線l1、l2，正方形ABCD被分成S1、S2、S3、S44部分，利用動(dòng)畫功能將圖形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°，則A轉(zhuǎn)到B，B轉(zhuǎn)到C，C轉(zhuǎn)到D，D轉(zhuǎn)到A，L1轉(zhuǎn)到L2，只是字母換了，整個(gè)圖形沒(méi)有變化（重合），于是S1與S2重合，S2與S3重合，S4與S1重合，自然有S1＝S2＝S3＝S4＝1／4。
正是這種CAI技術(shù)創(chuàng)設(shè)的“情景”能使學(xué)生“一眼看到底”，同時(shí)能看透了問(wèn)題的本質(zhì)，即正方形OA’B’C’的大小是非實(shí)質(zhì)的，并且題中的圖形是否為正方形是非實(shí)質(zhì)的。比如，把兩個(gè)正方形換成兩個(gè)正六邊形也有類似結(jié)論。
2．2 利用CAI技術(shù)，使幾何中的抽象問(wèn)題更為形象
在傳統(tǒng)的教學(xué)中，往往沒(méi)有較好的媒體來(lái)表達(dá)幾何中的一些抽象問(wèn)題，使教師教及學(xué)生學(xué)均十分困難。例如在講“全等三角形”時(shí)，過(guò)去只能拿兩張紙片作的三角形重合在一起，告訴學(xué)生“能夠完全重合的兩個(gè)三角形是全等三角形”，現(xiàn)在用《幾何畫板》可以方便地表現(xiàn)通過(guò)“平移”、“旋轉(zhuǎn)”、“翻折”的手段使兩個(gè)三角形重合，而且可組合在一些常見(jiàn)的全等形，使學(xué)生能在生動(dòng)變化的現(xiàn)象中形象、直觀地認(rèn)識(shí)圖形，抓住事物的內(nèi)在聯(lián)系。
2．3 利用CAI技術(shù)，把實(shí)驗(yàn)引入課堂
在學(xué)校教學(xué)中，有物理、化學(xué)等實(shí)驗(yàn)，難道就不能數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)嗎？我們知道，數(shù)學(xué)中的公理、定理均是經(jīng)過(guò)艱難曲折的實(shí)驗(yàn)而得的，然后再傳給后代。另外建構(gòu)主義認(rèn)為，雖然學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)都是前人已經(jīng)建造好了的，但對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，仍是全新的、未知的，需要每個(gè)人再現(xiàn)類似的創(chuàng)造過(guò)程來(lái)形成，即用學(xué)生自己的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)對(duì)人類已有的數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)起自己的正確理解，這應(yīng)該是學(xué)生親身參與的充滿豐富、生動(dòng)的概念或思維活動(dòng)的組織過(guò)程。所以，在數(shù)學(xué)課堂中引進(jìn)實(shí)驗(yàn)是非需必要的。它可以使學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中體驗(yàn)一個(gè)科學(xué)成果的發(fā)現(xiàn)是多么的艱辛，同時(shí)，由于是通過(guò)自己的實(shí)驗(yàn)得出，理解和記憶更深。例如在相交弦定理的教學(xué)中，在屏幕上畫出如圖9（a）的圖，學(xué)生拖動(dòng)點(diǎn)P、A、B、C、D，從而得到一組有代表性的圖形和一個(gè)恒定不變的式子：PA·PB＝PC·PD，同時(shí)通過(guò)實(shí)驗(yàn)把前后知識(shí)緊密聯(lián)系在一起，減輕學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)（如圖9）。
2．4 利用CAI技術(shù)，有利于開(kāi)發(fā)探索性問(wèn)題，啟迪創(chuàng)造思維
利用CAI技術(shù)及科學(xué)的、藝術(shù)性的教學(xué)法，教師可創(chuàng)設(shè)富于啟發(fā)性的問(wèn)題，開(kāi)發(fā)學(xué)生的探索能力。如：順次連接四邊形各邊中點(diǎn)圍成什么圖形？在《幾何畫板》的支持下，在屏幕上給出一個(gè)動(dòng)態(tài)的四邊形，從而各邊中點(diǎn)所連接的四邊形也是不斷變化的。在這種情形下我們可給學(xué)生提供探索空間，什么情況下中點(diǎn)四邊形會(huì)是短形、菱形、正方形？
又如我校黃良銑老師一堂公開(kāi)課中的一題：如圖10，Rt△ABC中，∠c＝90°，CD是高，AE是∠A的平分線交CD于G，交BC于E，過(guò)G作GF∥AB交BC于F。
求證：CE＝FB
在探討完多種證法及變式之后，教師適時(shí)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問(wèn)題，誘導(dǎo)和激發(fā)物理學(xué)的思維，引導(dǎo)學(xué)生探索：
�、賀t△ABC的形狀是否可以改變？當(dāng)改變時(shí)，EF與CE、FB的長(zhǎng)會(huì)怎樣呢？EF是否等于CE、BF呢？
�、谌纛}目中CD不是高，而是一般線段，還有CE＝BF嗎？若有，請(qǐng)證明，若沒(méi)有應(yīng)加上一個(gè)什么條件（不加任何其它線段）才能成立？
因?yàn)閱?wèn)題是非常開(kāi)放的，學(xué)生的`探索能力及創(chuàng)新思維均得到培養(yǎng)。
3、有利于分層目標(biāo)教學(xué)的落實(shí)
分層目標(biāo)教學(xué)就是把學(xué)生按基礎(chǔ)知識(shí)及認(rèn)識(shí)水平分成若干層次，分別制定目標(biāo)而進(jìn)行的教學(xué)。班級(jí)學(xué)生程度的不整齊，分層目標(biāo)教學(xué)一直是難以實(shí)現(xiàn)的美好理想�，F(xiàn)在利用CAI技術(shù)便能實(shí)現(xiàn)，如利用PowerPoint的超級(jí)鏈接功能或Authorware 的分支、函數(shù)、交互功能可實(shí)現(xiàn)班級(jí)制的分層教學(xué)，學(xué)生可根據(jù)自己的實(shí)際選擇所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容成習(xí)題，這樣不僅使學(xué)生學(xué)得愉快，還可避免差生產(chǎn)生自卑感，優(yōu)秀生產(chǎn)生優(yōu)越感，使各層次的學(xué)生有所收獲。
三、CAI輔助教學(xué)的主要模式
1、單機(jī)——大屏幕演示模式，將計(jì)算機(jī)與大屏幕投影電視連接直來(lái)，這樣既能發(fā)揮黑板、教師講解、師生情感交流等優(yōu)勢(shì)，又能通過(guò)CAI為學(xué)生創(chuàng)設(shè)情境，指導(dǎo)和幫助學(xué)生理解和解決數(shù)學(xué)中的疑難問(wèn)題，這種模式的整個(gè)教學(xué)過(guò)程完全由教師個(gè)人控制，學(xué)生不能自由選擇學(xué)習(xí)內(nèi)容。
2、主機(jī)——終端——屏幕幕演示模示
在上一模式的基礎(chǔ)上，再多連接多個(gè)低檔微機(jī)終端，授課時(shí)，教師控制主機(jī)，每2－4個(gè)學(xué)生占有一臺(tái)終端。這種模式除有前個(gè)功能外，還可根據(jù)需要，由主機(jī)向各終端發(fā)送學(xué)習(xí)材料、不同程度的習(xí)題，讓學(xué)生發(fā)揮主觀能動(dòng)性，自主選擇學(xué)習(xí)內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)分層目標(biāo)教學(xué)。
四、CAI技術(shù)輔助教學(xué)要注意的幾個(gè)問(wèn)題
1、要合理使用CAI技術(shù)
雖然CAI技術(shù)能給初中數(shù)學(xué)的教學(xué)帶來(lái)優(yōu)勢(shì)，但不能過(guò)分夸大其作用，更不能過(guò)份依賴于CAI技術(shù)，一堂課計(jì)算機(jī)一用到底。作為教學(xué)媒體各有各的優(yōu)勢(shì)，我們應(yīng)該充分認(rèn)識(shí)和了解各媒體的特征，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和需要，選擇最使用最適合于學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)媒體。
2、要加強(qiáng)知身的學(xué)習(xí)
在信息化時(shí)代里，知識(shí)更新一日千里，特別是CAI技術(shù)正沖擊著傳統(tǒng)的教學(xué)，如果墨守成規(guī)不思進(jìn)取，就將很快落后時(shí)代。在學(xué)習(xí)中不僅要學(xué)習(xí)CAI制作等技術(shù)，還要加強(qiáng)現(xiàn)代教育理論的學(xué)習(xí)，尤其是學(xué)習(xí)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論、人本主義學(xué)習(xí)理論以及基于建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論和人本主義學(xué)習(xí)理論的教學(xué)設(shè)計(jì)。掌握了這些，才有可能結(jié)合新技術(shù)的特點(diǎn)，突破舊觀念，創(chuàng)造新的符合教育教學(xué)規(guī)律的教學(xué)方法、教學(xué)模式。
3、要制作出好的課件
課件是在一定的學(xué)習(xí)理論指導(dǎo)下，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)，反映某種教學(xué)策略和教學(xué)內(nèi)容的CAI軟件，課件的基本模式有多種多樣，如練習(xí)型、指導(dǎo)型、模擬型、問(wèn)題求解型、發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)型等，課件制作中應(yīng)根據(jù)不同的課型、不同的教學(xué)策略，不同的教學(xué)內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，在制作中還應(yīng)注意要有利于充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，注意引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)系已有的知識(shí)，擴(kuò)充、構(gòu)建整個(gè)知識(shí)體系、突出學(xué)習(xí)心理的觸動(dòng)、學(xué)習(xí)方法的培養(yǎng)、思維方式的構(gòu)建、學(xué)習(xí)能力的提升，在學(xué)習(xí)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力。
五、結(jié)束語(yǔ)
雖然本人使用計(jì)算機(jī)的時(shí)間不長(zhǎng)，CAI輔助初中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐不是很多。
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