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組合的教學(xué)設(shè)計(jì)
組合的教學(xué)設(shè)計(jì)
教學(xué)目標(biāo)
�。�1）使學(xué)生正確理解組合的意義，正確區(qū)分排列、組合問題；
�。�2）使學(xué)生掌握組合數(shù)的計(jì)算公式、組合數(shù)的性質(zhì)用組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系；
�。�3）通過學(xué)習(xí)組合知識(shí)，讓學(xué)生掌握類比的學(xué)習(xí)方法，并提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力；
�。�4）通過對排列、組合問題求解與剖析，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和思維深刻性，學(xué)生具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。
教學(xué)建議
一、知識(shí)結(jié)構(gòu)
二、重點(diǎn)難點(diǎn)分析
本小節(jié)的重點(diǎn)是組合的定義、組合數(shù)及組合數(shù)的公式，組合數(shù)的性質(zhì)。難點(diǎn)是解組合的應(yīng)用題。突破重點(diǎn)、難點(diǎn)的關(guān)鍵是對加法原理與乘法原理的掌握和應(yīng)用，并將這兩個(gè)原理的基本思想貫穿在解決組合應(yīng)用題當(dāng)中。
組合與組合數(shù)，也有上面類似的關(guān)系。從n個(gè)不同元素中任取m（m≤n）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素的一個(gè)組合。所有這些不同的組合的個(gè)數(shù)叫做組合數(shù)。從集合的角度看，從n個(gè)元素的有限集中取出m個(gè)組成的一個(gè)集合（無序集），相當(dāng)于一個(gè)組合，而這種集合的個(gè)數(shù)，就是相應(yīng)的組合數(shù)。
解排列組合應(yīng)用題時(shí)主要應(yīng)抓住是排列問題還是組合問題，其次要搞清需要分類，還是需要分步．切記：排組分清（有序排列、無序組合），加乘明確（分類為加、分步為乘）．
三、教法設(shè)計(jì)
1．對于基礎(chǔ)較好的學(xué)生，建議把排列與組合的概念進(jìn)行對比的進(jìn)行學(xué)習(xí)，這樣有利于搞請這兩組概念的區(qū)別與聯(lián)系．
2．學(xué)生與老師可以合編一些排列組合問題，如“45人中選出5人當(dāng)班干部有多少種選法？”與“45人中選出5人分別擔(dān)任班長、副班長、體委、學(xué)委、生委有多少種選法？”這是兩個(gè)相近問題，同學(xué)們會(huì)根據(jù)自己身邊的實(shí)際可以編出各種各樣的具有特色的問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生辨認(rèn)哪個(gè)是排列問題，哪個(gè)是組合問題．這樣既調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，又在編題辨題中澄清了概念．
為了理解排列與組合的概念，建議大家學(xué)會(huì)畫排列與組合的樹圖．如，從a,b,c,d 4個(gè)元素中取出3個(gè)元素的排列樹圖與組合樹圖分別為：
排列樹圖
由排列樹圖得到，從a,b,c,d 取出3個(gè)元素的所有排列有24個(gè)，它們分別是：
組合樹圖
由組合樹圖可得，從a,b,c,d中取出3個(gè)元素的組合有4個(gè)，它們是(abc),(abd),(acd),(bcd).
從以上兩組樹圖清楚的告訴我們，排列樹圖是對稱的，組合圖式不是對稱的，之所以排列樹圖具有對稱性，是因?yàn)閷τ赼,b,c,d四個(gè)字母哪一個(gè)都有在第一位的機(jī)會(huì)，哪一個(gè)都有在第二位的機(jī)會(huì)，哪一個(gè)都有在第三位的機(jī)會(huì)，而組合只考慮字母不考慮順序，為實(shí)現(xiàn)無順序的要求，我們可以限定a,b,c,d的順序是從前至后，固定了死順序等于無順序，這樣組合就有了自己的樹圖．
學(xué)會(huì)畫組合樹圖，不僅有利于理解排列與組合的概念，還有助于推導(dǎo)組合數(shù)的計(jì)算公式．
3．排列組合的應(yīng)用問題，教師應(yīng)從簡單問題問題入手，逐步到有一個(gè)附加條件的單純排列問題或組合問題，最后在設(shè)及排列與組合的綜合問題．
對于每一道題目，教師必須先讓學(xué)生獨(dú)立思考，在進(jìn)行全班討論，對于學(xué)生的每一種解法，教師要先讓學(xué)生判斷正誤，在給予點(diǎn)播．對于排列、組合應(yīng)用問題的解決我們提倡一題多解，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的分析問題解決問題的能力，在學(xué)生的多種解法基礎(chǔ)上教師要引導(dǎo)學(xué)生選擇最佳方案，總結(jié)解題規(guī)律．對于學(xué)生解題中的常見錯(cuò)誤，教師一定要講明道理，認(rèn)真分析錯(cuò)誤原因，使學(xué)生在是非的判斷得以提高．
4．兩個(gè)性質(zhì)定理教學(xué)時(shí)，對定理1，可以用下例來說明：從4個(gè)不同的元素a，b，c，d里每次取出3個(gè)元素的組合及每次取出1個(gè)元素的組合分別是
這就說明從4個(gè)不同的元素里每次取出3個(gè)元素的組合與從4個(gè)元素里每次取出1個(gè)元素的組合是—一對應(yīng)的．
對定理2，可啟發(fā)學(xué)生從下面問題的討論得出．從n個(gè)不同元素 ， ，…， 里每次取出m個(gè)不同的元素（ ），問：（1）可以組成多少個(gè)組合；（2）在這些組合里，有多少個(gè)是不含有 的；（3）在這些組合里，有多少個(gè)是含有 的；（4）從上面的結(jié)果，可以得出一個(gè)怎樣的公式．在此基礎(chǔ)上引出定理2．
對于 ，和 一樣，是一種規(guī)定．而學(xué)生常常誤以為是推算出來的，因此，教學(xué)時(shí)要講清楚．
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
教學(xué)目標(biāo)
�。�1）使學(xué)生正確理解組合的意義，正確區(qū)分排列、組合問題；
�。�2）使學(xué)生掌握組合數(shù)的計(jì)算公式；
�。�3）通過學(xué)習(xí)組合知識(shí)，讓學(xué)生掌握類比的學(xué)習(xí)方法，并提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力；
教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)是組合的定義、組合數(shù)及組合數(shù)的公式；
難點(diǎn)是解組合的應(yīng)用題．
（－）導(dǎo)入新課
�。ń處熁顒�(dòng)）提出下列思考問題，打出字幕．
�。圩帜唬菀粭l鐵路線上有6個(gè)火車站，（1）需準(zhǔn)備多少種不同的普通客車票？（2）有多少種不同票價(jià)的普通客車票？上面問題中，哪一問是排列問題？哪一問是組合問題？
�。▽W(xué)生活動(dòng)）討論并回答．
答案提示：（1）排列；（2）組合．
�。墼u述］問題（1）是從6個(gè)火車站中任選兩個(gè)，并按一定的順序排列，要求出排法的種數(shù)，屬于排列問題；（2）是從6個(gè)火車站中任選兩個(gè)并成一組，兩站無順序關(guān)系，要求出不同的組數(shù)，屬于組合問題．這節(jié)課著重研究組合問題．
設(shè)計(jì)意圖：組合與排列所研究的問題幾乎是平行的．上面設(shè)計(jì)的問題目的是從排列知識(shí)中發(fā)現(xiàn)并提出新的問題．
（二）新課講授
�。厶岢鰡栴} 創(chuàng)設(shè)情境］
�。ń處熁顒�(dòng)）指導(dǎo)學(xué)生帶著問題閱讀課文．
［字幕］1．排列的定義是什么？
2．舉例說明一個(gè)組合是什么？
3．一個(gè)組合與一個(gè)排列有何區(qū)別？
�。▽W(xué)生活動(dòng)）閱讀回答．
�。ń處熁顒�(dòng)）對照課文，逐一評析．
設(shè)計(jì)意圖：激活學(xué)生的思維，使其將所學(xué)的知識(shí)遷移過渡，并盡快適應(yīng)新的環(huán)境．
【歸納概括 建立新知】
�。ń處熁顒�(dòng)）承接上述問題的回答，展示下面知識(shí)．
�。圩帜唬菽Ｐ停簭� 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素并成一組，叫做從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的一個(gè)組合．如前面思考題：6個(gè)火車站中甲站→乙站和乙站→甲站是票價(jià)相同的車票，是從6個(gè)元素中取出2個(gè)元素的一個(gè)組合．
組合數(shù)：從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，稱之，用符號(hào) 表示，如從6個(gè)元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)為 .
［評述］區(qū)分一個(gè)排列與一個(gè)組合的關(guān)鍵是：該問題是否與順序有關(guān)，當(dāng)取出元素后，若改變一下順序，就得到一種新的取法，則是排列問題；若改變順序，仍得原來的取法，就是組合問題．
�。▽W(xué)生活動(dòng)）傾聽、思索、記錄．
�。ń處熁顒�(dòng)）提出思考問題．
�。弁队埃� 與 的關(guān)系如何？
�。◣熒顒�(dòng)）共同探討．求從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的排列數(shù) ，可分為以下兩步：
第1步，先求出從這 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的組合數(shù)為 ；
第2步，求每一個(gè)組合中 個(gè)元素的全排列數(shù)為 ．
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到（學(xué)生活動(dòng)）驗(yàn)算 ，即一條鐵路上6個(gè)火車站有15種不同的票價(jià)的普通客車票．
設(shè)計(jì)意圖：本著以認(rèn)識(shí)概念為起點(diǎn)，以問題為主線，以培養(yǎng)能力為核心的宗旨，逐步展示知識(shí)的形成過程，使學(xué)生思維層層被激活、逐漸深入到問題當(dāng)中去．
【例題示范 探求方法】
（教師活動(dòng)）打出字幕，給出示范，指導(dǎo)訓(xùn)練．
�。圩帜唬堇�1 列舉從4個(gè)元素 中任取2個(gè)元素的所有組合．
例2 計(jì)算：（1） ；（2） ．
�。▽W(xué)生活動(dòng)）板演、示范.
�。ń處熁顒�(dòng)）講評并指出用兩種方法計(jì)算例2的第2小題．
�。圩帜唬堇�3 已知 ，求 的所有值.
�。▽W(xué)生活動(dòng)）思考分析
�。埸c(diǎn)評］這是組合數(shù)公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是公式的選擇．
設(shè)計(jì)意圖：例題教學(xué)循序漸進(jìn)，讓學(xué)生鞏固知識(shí)，強(qiáng)化公式的應(yīng)用，從而培養(yǎng)學(xué)生的綜合分析能力．
【反饋練習(xí) 學(xué)會(huì)應(yīng)用】
（教師活動(dòng)）給出練習(xí)，學(xué)生解答，教師點(diǎn)評．
�。壅n堂練習(xí)］課本P99練習(xí)第2，5，6題．
�。垩a(bǔ)充練習(xí)］
［字幕］1．計(jì)算：
2．已知 ，求 .
�。▽W(xué)生活動(dòng)）板演、解答．
設(shè)計(jì)意圖：課堂教學(xué)體現(xiàn)以學(xué)生為本，讓全體學(xué)生參與訓(xùn)練，深刻揭示排列數(shù)公式的結(jié)構(gòu)、特征及應(yīng)用．
【點(diǎn)評矯正 交流提高】
（教師活動(dòng)）依照學(xué)生的板演，給予指正并總結(jié)．
補(bǔ)充練習(xí)答案：
1．解：原式：
2．解：由題設(shè)得
整理化簡得 ，
解之，得 或 （因 ，舍去），
所以 ，所求
［字幕］小結(jié)：
1．前一個(gè)公式主要用于計(jì)算具體的組合數(shù)，而后一個(gè)公式則主要用于對含有字母的式子進(jìn)行化簡和論證．
2．在解含組合數(shù)的方程或不等式時(shí)，一定要注意組合數(shù)的上、下標(biāo)的限制條件．
�。▽W(xué)生活動(dòng)）交流討論，總結(jié)記錄．
設(shè)計(jì)意圖：由“實(shí)踐——認(rèn)識(shí)——一實(shí)踐”的認(rèn)識(shí)論，教學(xué)時(shí)抓住“學(xué)習(xí)—一練習(xí)——反饋———小結(jié)”這些環(huán)節(jié)，使教學(xué)目標(biāo)得以強(qiáng)化和落實(shí)．
�。ㄈ┬〗Y(jié)
（師生活動(dòng)）共同小結(jié)．
本節(jié)主要內(nèi)容有
1．組合概念．
2．組合數(shù)計(jì)算的兩個(gè)公式．
�。ㄋ模┎贾米鳂I(yè)
1．課本作業(yè)：習(xí)題10 3第1（1）、（4），3題．
2．思考題：某學(xué)習(xí)小組有8個(gè)同學(xué)，從男生中選2人，女生中選1人參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三種學(xué)科競賽，要求每科均有1人參加，共有180種不同的選法，那么該小組中，男、女同學(xué)各有多少人？
3．研究性題：
在 的 邊上除頂點(diǎn) 外有 5個(gè)點(diǎn)，在 邊上有 4個(gè)點(diǎn)，由這些點(diǎn)（包括 ）能組成多少個(gè)四邊形？能組成多少個(gè)三角形？
�。ㄎ澹┱n后點(diǎn)評
在學(xué)習(xí)了排列知識(shí)的基礎(chǔ)上，本節(jié)課引進(jìn)了組合概念，并推導(dǎo)出組合數(shù)公式，同時(shí)調(diào)控進(jìn)行訓(xùn)練，從而培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力．
作業(yè)參考答案
2．解；設(shè)有男同學(xué) 人，則有女同學(xué) 人，依題意有 ，由此解得 或 或2．即男同學(xué)有5人或6人，女同學(xué)相應(yīng)為3人或2人．
3．能組成 （注意不能用 點(diǎn)為頂點(diǎn)）個(gè)四邊形， 個(gè)三角形
同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，那么四張不同的分配萬式可有多少種？
解 設(shè)四人分別為甲、乙、丙、丁，可從多種角度來解．
解法一 可將拿賀卡的情況，按甲分別拿乙、丙、丁制作的賀卡的情形分為三類，即：
甲拿乙制作的賀卡時(shí)，則賀卡有3種分配方法．
甲拿丙制作的賀卡時(shí)，則賀卡有3種分配方法．
甲拿丁制作的賀卡時(shí)，則賀卡有3種分配方法．
由加法原理得，賀卡分配方法有3+3+3=9種．
解法二 可從利用排列數(shù)和組合數(shù)公式角度來考慮．這時(shí)還存在正向與逆向兩種思考途徑．
正向思考，即從滿足題設(shè)條件出發(fā)，分步完成分配．先可由甲從乙、丙、丁制作的賀卡中選取1張，有 種取法，剩下的乙、丙、丁中所制作賀卡被甲取走后可在剩下的3張賀卡中選取1張，也有 種，最后剩下2人可選取的賀卡即是這2人所制作的賀卡，其取法只有互取對方制作賀卡1種取法．根據(jù)乘法原理，賀卡的分配方法有 （種）
逆向思考，即從4人取4張不同賀卡的所有取法中排除不滿足題設(shè)條件的取法．不滿足題設(shè)條件的取法為，其中只有1人取自己制作的賀卡，其中有2人取自己制作的賀卡，其中有3人取自己制作的賀卡（此時(shí)即為4人均拿自己制作的賀卡）．其取法分別為 1．故符合題設(shè)要求的取法共有 （種）。
說明（1）對一類元素不太多而利用排列或組合計(jì)算公式計(jì)算比較復(fù)雜，且容易重復(fù)遺漏計(jì)算的排列組合問題，�？刹捎弥苯臃诸惡笥眉臃ㄔ磉M(jìn)行計(jì)算，如本例采用解法一的做法．
�。�2）設(shè)集合 ，如果S中元素的一個(gè)排列 滿足 ，則稱該排列為S的一個(gè)錯(cuò)位排列．本例就屬錯(cuò)位排列問題．如將S的所有錯(cuò)位排列數(shù)記為 ，則 有如下三個(gè)計(jì)算公式（李宇襄編著《組合數(shù)學(xué)》，北京師范大學(xué)出版社出版）
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