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排列、組合、二項式定理的教學設(shè)計
排列、組合、二項式定理的教學設(shè)計
教學目標
�。�1）正確理解加法原理與乘法原理的意義，分清它們的條件和結(jié)論；
�。�2）能結(jié)合樹形圖來幫助理解加法原理與乘法原理；
�。�3）正確區(qū)分加法原理與乘法原理，哪一個原理與分類有關(guān)，哪一個原理與分步有關(guān)；
�。�4）能應(yīng)用加法原理與乘法原理解決一些簡單的應(yīng)用問題，提高學生理解和運用兩個原理的能力；
�。�5）通過對加法原理與乘法原理的學習，培養(yǎng)學生周密思考、細心分析的良好習慣。
教學建議
一、知識結(jié)構(gòu)
二、重點難點分析
本節(jié)的重點是加法原理與乘法原理，難點是準確區(qū)分加法原理與乘法原理。
加法原理、乘法原理本身是容易理解的，甚至是不言自明的。這兩個原理是學習排列組合內(nèi)容的基礎(chǔ)，貫穿整個內(nèi)容之中，一方面它是推導排列數(shù)與組合數(shù)的基礎(chǔ)；另一方面它的結(jié)論與其思想在方法本身又在解題時有許多直接應(yīng)用。
兩個原理回答的，都是完成一件事的所有不同方法種數(shù)是多少的問題，其區(qū)別在于：運用加法原理的前提條件是， 做一件事有n類方案，選擇任何一類方案中的任何一種方法都可以完成此事，就是說，完成這件事的各種方法是相互獨立的；運用乘法原理的前提條件是，做一件事有n個驟，只要在每個步驟中任取一種方法，并依次完成每一步驟就能完成此事，就是說，完成這件事的各個步驟是相互依存的。簡單的說，如果完成一件事情的所有方法是屬于分類的問題，每次得到的是最后結(jié)果，要用加法原理；如果完成一件事情的方法是屬于分步的問題，每次得到的該步結(jié)果，就要用乘法原理。
三、教法建議
關(guān)于兩個計數(shù)原理的教學要分三個層次：
第一是對兩個計數(shù)原理的認識與理解．這里要求學生理解兩個計數(shù)原理的意義，并弄清兩個計數(shù)原理的區(qū)別．知道什么情況下使用加法計數(shù)原理，什么情況下使用乘法計數(shù)原理．（建議利用一課時）．
第二是對兩個計數(shù)原理的使用．可以讓學生做一下習題（建議利用兩課時）：
�、儆�0，1，2，……，9可以組成多少個8位號碼；
�、谟�0，1，2，……，9可以組成多少個8位整數(shù)；
�、塾�0，1，2，……，9可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的4位整數(shù)；
�、苡�0，1，2，……，9可以組成多少個有重復(fù)數(shù)字的4位整數(shù)；
⑤用0，1，2，……，9可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的4位奇數(shù)；
�、抻�0，1，2，……，9可以組成多少個有兩個重復(fù)數(shù)字的4位整數(shù)等等．
第三是使學生掌握兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用，這個過程應(yīng)該貫徹整個教學中，每個排列數(shù)、組合數(shù)公式及性質(zhì)的推導都要用兩個計數(shù)原理，每一道排列、組合問題都可以直接利用兩個原理求解，另外直接計算法、間接計算法都是兩個原理的一種體現(xiàn)．教師要引導學生認真地分析題意，恰當?shù)姆诸�、分步，用好、用活兩個基本計數(shù)原理．
教學設(shè)計示例
加法原理和乘法原理
教學目標
正確理解和掌握加法原理和乘法原理，并能準確地應(yīng)用它們分析和解決一些簡單的問題，從而發(fā)展學生的思維能力，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力．
教學重點和難點
重點：加法原理和乘法原理．
難點：加法原理和乘法原理的準確應(yīng)用．
�。ㄒ唬┮胄抡n
從本節(jié)課開始，我們將要學習中學代數(shù)內(nèi)容中一個獨特的部分——排列、組合、二項式定理．它們研究對象獨特，研究問題的方法不同一般．雖然份量不多，但是與舊知識的聯(lián)系很少，而且它還是我們今后學習概率論的基礎(chǔ)，統(tǒng)計學、運籌學以及生物的選種等都與它直接有關(guān)．至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排調(diào)配的問題，就離不開它．
今天我們先學習兩個基本原理．
�。ǘ┲v授新課
1．介紹兩個基本原理
先考慮下面的問題：
問題1：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船．一天中，火車有4個班次，汽車有2個班次，輪船有3個班次．那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同的走法？
因為一天中乘火車有4種走法，乘汽車有2種走法，乘輪船有3種走法，每種走法都可以完成由甲地到乙地這件事情．所以，一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有4+2+3=9種不同的走法．
這個問題可以總結(jié)為下面的一個基本原理（打出片子——加法原理）：
加法原理：做一件事，完成它可以有幾類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法．
請大家再來考慮下面的問題（打出片子——問題2）：
問題2：由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條（見下圖），從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法？
這里，從A村到B村，有3種不同的走法，按這3種走法中的每一種走法到達B村后，再從B村到C村又各有2種不同的走法，因此，從A村經(jīng)B村去C村共有3×2=6種不同的走法．
一般地，有如下基本原理（找出片子——乘法原理）：
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．
2．淺釋兩個基本原理
兩個基本原理的用途是計算做一件事完成它的所有不同的方法種數(shù)．
比較兩個基本原理，想一想，它們有什么區(qū)別？
兩個基本原理的區(qū)別在于：一個與分類有關(guān)，一個與分步有關(guān)．
看下面的分析是否正確（打出片子——題1，題2）：
題1：找1～10這10個數(shù)中的所有合數(shù)．第一類辦法是找含因數(shù)2的合數(shù)，共有4個；第二類辦法是找含因數(shù)3的合數(shù)，共有2個；第三類辦法是找含因數(shù)5的合數(shù)，共有1個．
1～10中一共有N=4＋2＋1=7個合數(shù)．
題2：在前面的問題2中，步行從A村到B村的北路需要8時，中路需要4時，南路需要6時，B村到C村的北路需要5時，南路需要3時，要求步行從A村到C村的總時數(shù)不超過12時，共有多少種不同的走法？
第一步從A村到B村有3種走法，第二步從B村到C村有2種走法，共有N=3×2=6種不同走法．
題2中的合數(shù)是4，6，8，9，10這五個，其中6既含有因數(shù)2，也含有因數(shù)3；10既含有因數(shù)2，也含有因數(shù)5．題中的分析是錯誤的．
從A村到C村總時數(shù)不超過12時的走法共有5種．題2中從A村走北路到B村后再到C村，只有南路這一種走法．
�。ù藭r給出題1和題2的目的是為了引導學生找出應(yīng)用兩個基本原理的注意事項，這樣安排，不但可以使學生對兩個基本原理的理解更深刻，而且還可以培養(yǎng)學生的學習能力）
進行分類時，要求各類辦法彼此之間是相互排斥的，不論哪一類辦法中的哪一種方法，都能單獨完成這件事．只有滿足這個條件，才能直接用加法原理，否則不可以．
如果完成一件事需要分成幾個步驟，各步驟都不可缺少，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，而各步要求相互獨立，即相對于前一步的每一種方法，下一步都有m種不同的方法，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，就可以直接應(yīng)用乘法原理．
也就是說：類類互斥，步步獨立．
（在學生對問題的分析不是很清楚時，教師及時地歸納小結(jié)，能使學生在應(yīng)用兩個基本原理時，思路進一步清晰和明確，不再簡單地認為什么樣的分類都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互聯(lián)系就用乘法．從而深入理解兩個基本原理中分類、分步的真正含義和實質(zhì)）
�。ㄈ⿷�(yīng)用舉例
現(xiàn)在我們已經(jīng)有了兩個基本原理，我們可以用它們來解決一些簡單問題了．
例1 書架上放有3本不同的數(shù)學書，5本不同的語文書，6本不同的英語書．
�。�1）若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？
�。�2）若從這些書中，取數(shù)學書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？
�。�3）若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？
�。ㄗ寣W生思考，要求依據(jù)兩個基本原理寫出這3個問題的答案及理由，教師巡視指導，并適時口述解法）
（1）從書架上任取一本書，可以有3類辦法：第一類辦法是從3本不同數(shù)學書中任取1本，有3種方法；第二類辦法是從5本不同的語文書中任取1本，有5種方法；第三類辦法是從6本不同的英語書中任取一本，有6種方法．根據(jù)加法原理，得到的取法種數(shù)是
N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．故從書架上任取一本書的不同取法有14種．
�。�2）從書架上任取數(shù)學書、語文書、英語書各1本，需要分成三個步驟完成，第一步取1本數(shù)學書，有3種方法；第二步取1本語文書，有5種方法；第三步取1本英語書，有6種方法．根據(jù)乘法原理，得到不同的取法種數(shù)是N=m1×m2×m3=3×5×6=90．故，從書架上取數(shù)學書、語文書、英語書各1本，有90種不同的方法．
�。�3）從書架上任取不同科目的書兩本，可以有3類辦法：第一類辦法是數(shù)學書、語文書各取1本，需要分兩個步驟，有3×5種方法；第二類辦法是數(shù)學書、英語書各取1本，需要分兩個步驟，有3×6種方法；第三類辦法是語文書、英語書各取1本，有5×6種方法．一共得到不同的取法種數(shù)是N=3×5＋3×6＋5×6=63．即，從書架任取不同科目的書兩本的不同取法有63種．
例2 由數(shù)字0，1，2，3，4可以組成多少個三位整數(shù)（各位上的數(shù)字允許重復(fù)）？
解：要組成一個三位數(shù)，需要分成三個步驟：第一步確定百位上的數(shù)字，從1～4這4個數(shù)字中任選一個數(shù)字，有4種選法；第二步確定十位上的數(shù)字，由于數(shù)字允許重復(fù)，共有5種選法；第三步確定個位上的數(shù)字，仍有5種選法．根據(jù)乘法原理，得到可以組成的三位整數(shù)的個數(shù)是N=4×5×5=100．
答：可以組成100個三位整數(shù)．
教師的連續(xù)發(fā)問、啟發(fā)、引導，幫助學生找到正確的解題思路和計算方法，使學生的分析問題能力有所提高．教師在第二個例題中給出板書示范，能幫助學生進一步加深對兩個基本原理實質(zhì)的理解，周密的考慮，準確的表達、規(guī)范的書寫，對于學生周密思考、準確表達、規(guī)范書寫良好習慣的形成有著積極的促進作用，也可以為學生后面應(yīng)用兩個基本原理解排列、組合綜合題打下基礎(chǔ).
（四）歸納小結(jié)
歸納什么時候用加法原理、什么時候用乘法原理：
分類時用加法原理，分步時用乘法原理．
應(yīng)用兩個基本原理時需要注意分類時要求各類辦法彼此之間相互排斥；分步時要求各步是相互獨立的．
（五）課堂練習
P222：練習1～4．
�。▽τ陬}4，教師有必要對三個多項式乘積展開后各項的構(gòu)成給以提示）
（六）布置作業(yè)
P222：練習5，6，7．
補充題：
1．在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有多少個？
�。ㄌ崾荆喊词簧蠑�(shù)字的大小可以分為9類，共有9＋8＋7＋…＋2＋1=45個個位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù)）
2．某學生填報高考志愿，有m個不同的志愿可供選擇，若只能按第一、二、三志愿依次填寫3個不同的志愿，求該生填寫志愿的方式的種數(shù)．
�。ㄌ崾荆盒枰慈齻�志愿分成三步，共有m（m-1）（m-2）種填寫方式）
3．在所有的三位數(shù)中，有且只有兩個數(shù)字相同的三位數(shù)共有多少個？
（提示：可以用下面方法來求解：（1）△△□，（2）△□△，（3）□△□，（1），（2），（3）類中每類都是9×9種，共有9×9+9×9+9×9=3×9×9=243個只有兩個數(shù)字相同的三位數(shù)）
4．某小組有10人，每人至少會英語和日語中的一門，其中8人會英語，5人會日語，（1）從中任選一個會外語的人，有多少種選法？（2）從中選出會英語與會日語的各1人，有多少種不同的選法？
提示：由于8＋5=13＞10，所以10人中必有3人既會英語又會日語
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