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下學(xué)期 4.8 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)3
4.8 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)（第三課時(shí)）
（一）教學(xué)具準(zhǔn)備
直尺、投影儀．
（二）教學(xué)目標(biāo)
1．理解 ， 的周期性概念，會(huì)求周期．
2．初步掌握用定義證明 的周期為 的一般格式．
（三）教學(xué)過(guò)程
1．設(shè)置情境
自然界里存在著許多周而復(fù)始的現(xiàn)象，如地球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，物理學(xué)中的單擺運(yùn)動(dòng)和彈簧振動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)等．?dāng)?shù)學(xué)里從正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義可知，角 的終邊每轉(zhuǎn)一周又會(huì)與原來(lái)的位置重合，故 ， 的值也具有周而復(fù)始的變化規(guī)律．為定量描述這種周而復(fù)始的變化規(guī)律，今天，我們來(lái)學(xué)習(xí)一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念——函數(shù)的周期性（板書(shū)課題）
2．探索研究
�。�1）周期函數(shù)的定義
引導(dǎo)學(xué)生觀察下列圖表及正弦曲線
0
0
1
0
－1
0
1
0
－1
0
正弦函數(shù)值當(dāng)自變量增加或減少一定的值時(shí)，函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)．
聯(lián)想誘導(dǎo)公式 ，若令 則 ，由這個(gè)例子，我們可以歸納出周期函數(shù)的定義：
對(duì)于函數(shù) ，如果存在一個(gè)非零常數(shù) ，使得當(dāng) 取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有 ，那么函數(shù) 叫做周期函數(shù)，非零常數(shù) 叫做這個(gè)函數(shù)的周期．
如 ， ，…及 ， …都是正弦函數(shù)的周期．
注意：周期函數(shù)定義中 有兩點(diǎn)須重視，一是 是常數(shù)且不為零；二是等式必須對(duì)定義域中的每一個(gè)值時(shí)都成立．
師：請(qǐng)同學(xué)們思考下列問(wèn)題：①對(duì)于函數(shù) ， 有 能否說(shuō) 是正弦函數(shù) 的周期．
生：不能說(shuō) 是正弦函數(shù) 的周期，這個(gè)等式雖成立，但不是對(duì)定義域的每一個(gè)值都使等式 成立，所以不符合周期函數(shù)的定義．
② 是周期函數(shù)嗎？為什么
生：若是周期函數(shù)，則有非零常數(shù) ，使 ，即 ，化簡(jiǎn)得 ，∴ （不非零），或 （不是常數(shù)），故滿足非零常數(shù) 不存在，因而 不是周期函數(shù)．
思考題：若 為 的周期，則對(duì)于非零整數(shù) ， 也是 的周期．（課外思考）
（2）最小正周期的定義
師：我們知道…， ， ， ， …都是正弦函數(shù)的周期，可以證明 （ 且 ）是 的周期，其中 是 的最小正周期．
一般地，對(duì)于一個(gè)周期函數(shù) ，如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做 的最小正周期．
今后若涉及的周期，如果不加特別說(shuō)明，一般都是指函數(shù)的最小正周期．
依據(jù)定義， 和 的最小正周期為 ．
�。�3）例題分析
【例1】求下列函數(shù)的周期：
（1） ， ； �。�2） ， ；
�。�3） ， ．
分析：由周期函數(shù)的定義，即找非零常數(shù) ，使 ．
解：（1）因?yàn)橛嘞液瘮?shù)的周期是 ，所以自變量 只要并且至少要增加到 ，余弦函數(shù)的值才能重復(fù)取得，函數(shù) ， 的值也才能重復(fù)取得，從而函數(shù) ， 的周期是 ．
即 ，∴
�。�2）令 ，那么 必須并且只需 ，且函數(shù) ， 的周期是 ，就是說(shuō)，變量 只要并且至少要增加到 ，函數(shù) ， 的值才能重復(fù)取得，而 所以自變量 只要并且至少要增加到 ，函數(shù)值就能重復(fù)取得，從而函數(shù) ， 的周期是 ．
即
∴
�。�3）令 ，那么 必須并且只需 ，且函數(shù) ， 的周期是 ，由于 ，所以自變量 只要并且至少要增加到 ，函數(shù)值才能重復(fù)取得，即 是能使等式 成立的最小正數(shù)，從而函數(shù) ， 的周期是 ．
而
∴
師：從上例可以看出，這些函數(shù)的周期僅與自變量 的系數(shù)有關(guān)，其規(guī)律如何？你能否求出函數(shù) ， 及函數(shù) ， （其中 ， ， 為常數(shù)，且 ， ）的周期？
生：
∴ ．
同理可求得 的周期 ．
【例2】求證：
�。�1） 的周期為 ；
�。�2） 的周期為 ；
�。�3） 的周期為 ．
分析：依據(jù)周期函數(shù)定義 證明．
證明：（1）
∴ 的周期為 ．
（2）
∴ 的周期為 ．
�。�3）
∴ 的周期為 ．
3．演練反饋（投影）
（1）函數(shù) 的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
�。�2） 的周期是_________
（3）求 的最小正周期．
參考答案：
（1）C；（2） ∴
（3）欲求 的周期，一般是把三角函數(shù) 化成易求周期的函數(shù) 或 的形式，然后用公式 求最小正周期，而化得的一般思路是“多個(gè)化一個(gè)，高次化一次”，將所給函數(shù)化成單角單函數(shù)．
由
4．總結(jié)提煉
�。�1）三角函數(shù)所特有的性質(zhì)是周期性，周期與最小正周期是不同概念，研究三角函數(shù)的周期時(shí)，如未特別聲明，一般是指它的最小正周期．
�。�2）設(shè) ， ．若 為 的周期，則必有：① 為無(wú)限集，② ；③ 在 上恒成立．
�。�3）只有 或 型的三角函數(shù)周期才可用公式 ，不具有此形式，不能套用．如 ，就不能說(shuō)它的周期為 ．
（四）板書(shū)設(shè)計(jì)
課題
1．周期函數(shù)定義
兩點(diǎn)注意：
思考問(wèn)題①
②
2．最小正周期定義
例1
例2
的周期
的周期
練習(xí)反饋
總結(jié)提煉
思考題：設(shè) 是定義在 上的以2為周期的周期函數(shù)，且是偶函數(shù)，當(dāng) 時(shí)， ，求 上的表達(dá)式
參考答案：
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