下學(xué)期 4.2 弧度制

教學(xué)目標(biāo)：

　　1．明確引入弧度制的必要性，理解新單位制意義．

　　2．熟練掌握角度制與弧度制的換算．

教學(xué)重點(diǎn)：理解弧度制引入的必要性，掌握定義，能熟練地進(jìn)行角度制與弧度制的互化．

教學(xué)難點(diǎn)：弧度制定義的理解．

教學(xué)用具：投影儀．

教學(xué)過(guò)程

1．設(shè)置情境

　　在角度制下，當(dāng)把兩個(gè)帶著度、分、秒各單位的角相加、相減時(shí)，由于運(yùn)算進(jìn)率非十進(jìn)制，總給我們帶來(lái)不少困難．那么我們能否重新選擇角單位，使在該單位制下兩角的加、減運(yùn)算與常規(guī)的十進(jìn)制加減法一樣去做呢？本節(jié)課就來(lái)嘗試選擇這種新單位．

2．探索研究

（1）復(fù)習(xí)角度制

　　我們?cè)谄矫鎺缀沃醒芯拷堑亩攘�，�?dāng)時(shí)是用度做單位來(lái)度量角， 的角是如何定義的？

　　規(guī)定把周角的 作為1度的角．

　　我們把用度做單位來(lái)度量角的制度叫做角度制，在數(shù)學(xué)和其他許多科學(xué)研究中還要經(jīng)常用到另一種度量角的制度—弧度制，它是如何定義呢？

（2）弧度制定義　　　

　　我們把等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，如圖1，弧 的長(zhǎng)等于半徑 ， 所對(duì)的圓心角 就是1弧度的角，弧度制的單位符號(hào)是 ，讀作弧度．

圖1

 的弧度數(shù)       的弧度數(shù)

　　提問(wèn)：若弧是一個(gè)半圓，則其圓心角的弧度數(shù)是多少？若弧是一個(gè)整圓呢？

　　因?yàn)榘雸A的弧長(zhǎng) ，其圓心角的弧度數(shù)是 ，同理，若弧是一個(gè)整圓，其圓心角的弧度數(shù)是 ．

　　在 到 的角的弧度數(shù) 必然適合不等式 ，角的概念推廣后，弧的概念也隨之推廣，任一正角的弧度數(shù)都是一個(gè)正數(shù)．如果圓心角表示一個(gè)負(fù)角，且它以所對(duì)的弧長(zhǎng) ，則這個(gè)圓心角的弧度數(shù)是 ，由此我們給出弧度制的定義：一般地，可以得到：正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0；角 的弧度數(shù)的絕對(duì)值 ，其中 是以角 作為圓心角時(shí)所對(duì)的弧長(zhǎng)， 是圓的半徑，這種以弧度作為單位來(lái)度量角的單位制，叫做弧度制．

　　提問(wèn)：為什么可以用弧長(zhǎng)與其半徑的比值來(lái)度量角的大小呢？即這個(gè)比值是否與所取的圓的半徑大小無(wú)關(guān)呢？

　　如圖2，設(shè) 為 的角，圓弧 和 的長(zhǎng)分別為 和 ，點(diǎn) 和 到點(diǎn) 的距離（即圓半徑）分別為 和 ，由初中學(xué)過(guò)的弧長(zhǎng)公式可得： ， ，于是 ．上式表明，以角 為圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)與其半徑的比值，由 的大小來(lái)確定，與所取的半徑大小無(wú)關(guān)，僅與角的大小有關(guān)．

　　因 ，可以得到 ，那弧長(zhǎng)等于圓弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)的絕對(duì)值與半徑的積，這個(gè)公式比采用角度制時(shí)相應(yīng)公式 要簡(jiǎn)單．

（3）角度制與弧度制的換算

　　用“弧度”與“度”去度量每一個(gè)角時(shí)，除了零角以外，所得到的量數(shù)都是不同的，但它們既然是度量同一個(gè)角的結(jié)果，二者就可以相互換算．我們已經(jīng)知識(shí)若弧是一個(gè)整圓，它的圓心角是周角，其弧度數(shù)是 ，而在角度制里它是 ，因此 ，兩邊除以2．

　　得         等式兩邊同除180

　　得  

　　同理，把弧度換成角度．

                     

                     

                     

【例1】把 化成弧度．

解：∵

　　∴

【例2】把 化成度．

解：

同學(xué)們?cè)谶M(jìn)行角度制與弧度制互化時(shí)要抓住 弧度這個(gè)關(guān)鍵．

下面請(qǐng)大家寫(xiě)出一些特殊角的弧度數(shù)．

角度

 

 

   

 

弧度

   

 

   

 

按從左至右順序其答案是：0、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ．今后我們用弧度制表示角的時(shí)候，“弧度”二字或“ ”通常省略不寫(xiě)，而只寫(xiě)相應(yīng)的弧度數(shù)．例如：角 就表示 是 的角， 就表示 的角的余弦，即 ．

（4）角度制與弧度制的比較

　　引進(jìn)弧度制后，我們應(yīng)將它與角度制進(jìn)行比較，同學(xué)們應(yīng)明確：①弧度制是以“弧度”為單位度量角的制度，角度制是以“度”為單位度量角的制度；②1弧度是等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角（或該弧）的大小，而 是圓的 所對(duì)的圓心角（或該弧）的大�。虎鄄徽撌且浴盎《取边�是以“度”為單位的角的大小都是一個(gè)與半徑大小無(wú)關(guān)的定值．

【例3】計(jì)算：

（1） ；（2） ．

解：（1）∵        ∴

　　（2）∵



練習(xí)（用投影儀）

1．把下列各角化成 的形式：

　�。�1） ；（2） ；

　　（3） ．

2．求右圖3中公路彎道處弧 的長(zhǎng) （精確到 ，圖中長(zhǎng)度單位： ）．                                                   

參考答案：

1．（1）

　　（2）

　�。�3）            

2．∵

　　∴

　　　

　　答：彎道處 的長(zhǎng)約為 ．

3．練習(xí)反饋

　　（1）若三角形的三個(gè)內(nèi)角之比是2：3：4，求其三個(gè)內(nèi)角的弧度數(shù)．

　　（2）已知扇形的周長(zhǎng)為 ，面積為 ，求扇形的中心角的弧度數(shù)．

　　（3）下列終邊相同的是（　�。�．

　　A． 與

　　B． 與

　　C． 與

　　D． 與

參考答案：（1） 、 、 ；�。�2）2　　（3）B

4．總結(jié)提煉

　�。�1） 弧度；

　�。�2）“角化弧”時(shí)，將 乘以 ；“弧化角”時(shí)，將 乘以

　�。�3）弧長(zhǎng)公式：

扇形面積公式： ．（其中 為圓心角 所對(duì)的弧長(zhǎng)， 為圓心角的弧度數(shù)， 為圓半徑．）

課時(shí)作業(yè)

1．角集合 與 之間的關(guān)系為（      ）

　　A．B． C． D．不確定

2．若角 和 的終邊互為反向延長(zhǎng)線(xiàn)，則有（      ）

　　A． 　　　　B．

　　C． D．

3．中心角為 的扇形，它的弧長(zhǎng)為 ，則該扇形所在圓的半徑為_(kāi)_____________．

4．若 ，且 與 的角的終邊垂直，則 ．

5．已知直徑為 的滑輪上有一條長(zhǎng)為 的弦， 是此弦的中點(diǎn)，若滑輪以每秒5弧度的角速度旋轉(zhuǎn)，則經(jīng)過(guò)5秒鐘后點(diǎn) 轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)等于多少？

6．已知一個(gè)扇形周長(zhǎng)為 ，當(dāng)扇形的中心角為多大時(shí)，它有最大面積

參考答案：1．C  2．D   3．6； 4． 或 ； 5． ； 6．中心角 時(shí)， ．

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