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物理極值問(wèn)題的求解方法2
物理極值問(wèn)題的求解方法2
三、用一元二次方程判別式求解極值問(wèn)題
在中學(xué)代數(shù)中曾學(xué)過(guò)，對(duì)于一個(gè)一元二次方程，當(dāng)它的判別式B2-4AC≥0時(shí)，此方程有實(shí)數(shù)解。若我們?cè)诮馕锢砹?xí)題時(shí)能選擇適當(dāng)?shù)奈锢砹孔鳛槲粗俊Ｊ蛊涑蔀橐粋�(gè)一元二次方程，巧妙地利用判別式可解決極值問(wèn)題。
例1.一個(gè)質(zhì)量為m的電子與一個(gè)靜止的質(zhì)量為M的原子發(fā)生正碰，碰后原子獲得一定速度，并有一定的能量E被貯存在這個(gè)原子內(nèi)部。求電子必須具有的最小初動(dòng)能是多少？
分析與解：設(shè)電子碰前的速度為υ1，碰后的速度為，靜止的原子被碰后的速度為。
由動(dòng)量守恒定律有 (1)
由能量守恒有 (2)
在以上兩個(gè)方程中，有三個(gè)未知數(shù)，υ1、、，一般的同學(xué)認(rèn)為少一個(gè)方程，難以求解。但由（1）式解出代入（2）
可得：
進(jìn)一步整理可得：(M+m)m-2m2υ1+(m-M)mυ12+2ME=0
此式是關(guān)于的一元二次方程，因電子碰后的速度必為實(shí)數(shù)，所以此方程的判別式B2-4AC≥0 即
4m4-4(M+m)m[(m-M)m+2ME]≥0
根據(jù)上式整理可得：
所以電子必須具有的最小的初動(dòng)能是
例2.如圖2-1所示，頂角為2θ的光滑圓錐，置于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m，帶電量為+q的小球，沿圓錐面在水平面作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求小球作圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑。
分析與解：小球在運(yùn)動(dòng)時(shí)將受重力mg，圓錐面對(duì)球的彈力N，及洛侖茲力f的作用，如圖2-2所示。設(shè)小球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，速率為υ。
由正交分解可得
聯(lián)立（1）、（2）試可得
上式有υ、R兩個(gè)未知量，似乎不可解，但因?yàn)槭乔髽O值問(wèn)題，可用一元二次方程判別式求解。因?yàn)棣杂袑?shí)數(shù)解，由B2-4AC≥0
即
∴小球作圓周運(yùn)動(dòng)的最小半徑為
例3.在擲鉛球的運(yùn)動(dòng)中，如果鉛球出手時(shí)距地面的高度為h，速度為υ0，求υ0與水平方向成何角度時(shí)，水平射程最遠(yuǎn)？并求此最大的水平射程Xmax。
分析與解：以出手點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，可分別列出水平方向與豎直方向的位移方程。
上式為關(guān)于tgθ的一元二次方程。若tgθ存在實(shí)數(shù)解，則判別式B2-4AC≥0
即
解出結(jié)果后，我們可聯(lián)系實(shí)際進(jìn)行如下驗(yàn)證。設(shè)出手高度h=0,
則
θ=45°。這就是我們過(guò)去曾經(jīng)知道的一個(gè)物體做斜拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)θ=45°時(shí)其射程最遠(yuǎn)。
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