數(shù)學(xué)規(guī)則的學(xué)習(xí)

一、教學(xué)規(guī)則及其掌握的含義

在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容中，存在著大量有關(guān)數(shù)的四則計算法則、運算定律與性質(zhì)、計算公式等內(nèi)容。這些內(nèi)容既是現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系和空間形式及其計算規(guī)律的概括與總結(jié)，又是有關(guān)計算過程具體實施細(xì)則的具體規(guī)定。在這里我們把這些內(nèi)容統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)規(guī)則，將學(xué)生對這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)稱之為數(shù)學(xué)規(guī)則的學(xué)習(xí)。由于數(shù)學(xué)規(guī)則反映的是幾個數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系，因此他們的學(xué)習(xí)層次和復(fù)雜程度都高于概念學(xué)習(xí)。

學(xué)生對數(shù)學(xué)規(guī)則的掌握主要體現(xiàn)在以下幾個方面。

一是理解數(shù)學(xué)規(guī)則的推導(dǎo)與總結(jié)過程，不僅懂得各個數(shù)學(xué)規(guī)則是怎樣規(guī)定的，而且還懂得為什么要這樣規(guī)定，以此明確數(shù)學(xué)規(guī)則規(guī)定的合理性和必要性；二是將總結(jié)出來的數(shù)學(xué)規(guī)則靈活運用到各種具體情境中去解決相應(yīng)的問題，對于一些基本的數(shù)學(xué)規(guī)則（如四則計算法則、運算定律和計算公式等）其運用水平應(yīng)達(dá)到比較熟練的程度；三是掌握不同數(shù)學(xué)規(guī)則之間的關(guān)系，明確它們之間的區(qū)別和聯(lián)系。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則學(xué)習(xí)的基本形式

數(shù)學(xué)規(guī)則學(xué)習(xí)和掌握的關(guān)鍵是獲得數(shù)學(xué)概念之間關(guān)系的理解，而數(shù)學(xué)概念之間關(guān)系的理解又依賴于新規(guī)則與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)知識的聯(lián)系。由于新規(guī)則和原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的關(guān)系可以分為下位關(guān)系、上位關(guān)系和并列關(guān)系三種，因此數(shù)學(xué)規(guī)則的學(xué)習(xí)也可以分為以下三種基本形式。

l．下位學(xué)習(xí)。

如果原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有在概括層次上高于所學(xué)新規(guī)則的知識，那么新規(guī)則和原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識就構(gòu)成下位關(guān)系，利用這種關(guān)系獲得數(shù)學(xué)規(guī)則的學(xué)習(xí)形式叫做下位學(xué)習(xí)。在下位學(xué)習(xí)中，新規(guī)則揭示的概念與概念之間的關(guān)系是從原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)里概括層次較高的知識中分化出來的，新規(guī)則可以直接和原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)數(shù)學(xué)知識發(fā)生聯(lián)系，并直接納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)使其變得更加充實。很明顯，在下位學(xué)習(xí)中新規(guī)則同原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互作用的方式是同化，其學(xué)習(xí)過程主要是通過分化使有關(guān)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)充實、完善，并形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。

根據(jù)所學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)系，又可以將下位學(xué)習(xí)具體劃分為派生類屬學(xué)習(xí)和相關(guān)類屬學(xué)習(xí)兩種不同形式。前者是指將要學(xué)習(xí)的新規(guī)則整合到原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有關(guān)內(nèi)容中去，新規(guī)則對原有知識只起支持或證實的作用，新規(guī)則通過新舊內(nèi)容的相互作用而獲得意義，原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)不發(fā)生質(zhì)的變化。如學(xué)生學(xué)習(xí)圓柱體的體積計算方法，由于他們在前面長方體的體積計算方法學(xué)習(xí)中已經(jīng)知道了長方體的體積等于底面積乘以高，并且掌握了其計算公式V＝sh，所以學(xué)習(xí)時就可以將它作為前面已有計算方法的一種特例，通過派生類屬學(xué)習(xí)的形式加以掌握。相關(guān)類屬學(xué)習(xí)是指將要學(xué)習(xí)的新規(guī)則整合到原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)內(nèi)容中去，新舊內(nèi)容整合的結(jié)果不但使新規(guī)則獲得意義，并且原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)被擴(kuò)充或修改，使原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生變化。如梯形面積計算公式雖然不能直接由平行四邊形面積計算公式派生出來，但是它可以通過割補(bǔ)拼合轉(zhuǎn)化成平行四邊形，從而得出其面積計算公式s＝（a＋b）h÷2。很明顯，梯形面積計算方法就可以通過相關(guān)類屬學(xué)習(xí)的形式去掌握。

2．上位學(xué)習(xí)。

通過對原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)內(nèi)容的歸納和綜合，概括成新的數(shù)學(xué)規(guī)則的學(xué)習(xí)形式叫做上位學(xué)習(xí)。如根據(jù)長方體的體積計算公式V＝abh、正方體的體積計算公式V＝a3、圓柱的體積計算公式V＝πr2概括出計算公式V＝Sh的學(xué)習(xí)過程，就屬于上位學(xué)習(xí)。上位學(xué)習(xí)所采用的思維方法主要是概括與綜合，由于它主要通過歸納和綜合原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)內(nèi)容而建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因此上位學(xué)習(xí)必須具備兩個基本條件：一是所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)規(guī)則在概括層次上一定要高于原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的已有知識；二是原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中一定要有可供歸納和概括的內(nèi)容，即頭腦里必須具有比新的數(shù)學(xué)規(guī)則層次低的相關(guān)內(nèi)容。如要概括加法交換律a＋b＝b＋a時，學(xué)生頭腦里必須有3＋5＝5＋3、25＋75＝75＋25、500＋400＝400＋500……可供概括的內(nèi)容。

上位學(xué)習(xí)，在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著非常廣泛的運用，概括運算定律和運算性質(zhì)、總結(jié)運算法則、建立概括層次較高的計算公式通常都要采用上位學(xué)習(xí)。由于小學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容在安排上反映為一種連續(xù)擴(kuò)充和深化的過程，因此某些知識體系要通過多次的上位學(xué)習(xí)過程才能獲得。如整數(shù)乘法的計算方法，乘數(shù)是一位數(shù)的乘法法則是表內(nèi)乘法的擴(kuò)充，乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法法則是乘數(shù)是一位數(shù)乘法法則的擴(kuò)充。

從學(xué)習(xí)的認(rèn)知方式來看，下位學(xué)習(xí)依靠的是同化，上位學(xué)習(xí)依靠的是順應(yīng)，它要通過改造原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)才能獲得新規(guī)則的意義，因此一般來講，上位學(xué)習(xí)比下位學(xué)習(xí)困難。

3．并列學(xué)習(xí)。

利用所學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)知識的并列關(guān)系，通過類比而掌握數(shù)學(xué)規(guī)則的學(xué)習(xí)過程叫做并列學(xué)習(xí)。并列學(xué)習(xí)所采用的思維方法主要是類比，其關(guān)鍵在于尋找新規(guī)則與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)法則、規(guī)律、性質(zhì)的聯(lián)系，在分析這種聯(lián)系的基礎(chǔ)上通過類比實現(xiàn)對新規(guī)則的理解和掌握。并列學(xué)習(xí)在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也有十分廣泛的應(yīng)用，許多數(shù)學(xué)規(guī)則學(xué)生都要通過這種學(xué)習(xí)方式去掌握，如學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和比的基本性質(zhì)，學(xué)生都要利用它們和除法商不變性質(zhì)的聯(lián)系通過類比去掌握。

我們說上位學(xué)習(xí)、下位學(xué)習(xí)和并列學(xué)習(xí)是三種不同的學(xué)習(xí)形式，這主要是為了討論的方便，事實上它們之間并不是彼此孤立的，三者之間有著密切的聯(lián)系，常常體現(xiàn)于同一數(shù)學(xué)規(guī)則的學(xué)習(xí)中，只是某些數(shù)學(xué)規(guī)則以下位學(xué)習(xí)為主，某些數(shù)學(xué)規(guī)則以上位學(xué)習(xí)或并列學(xué)習(xí)為主罷了。另外，在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中常是先上位學(xué)習(xí)后下位學(xué)習(xí)，如運算法則一般都是先用上位學(xué)習(xí)從具體計算過程概括出法則，然后通過下位學(xué)習(xí)將法則運用于具體計算。在實際學(xué)習(xí)中，要注意根據(jù)具體情況靈活運用幾種學(xué)習(xí)形式，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)規(guī)則的更好掌握。

三、小學(xué)生掌握數(shù)學(xué)規(guī)則的心理分析

縱觀小學(xué)數(shù)學(xué)教材不難發(fā)現(xiàn)，四則運算法則是小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則的主要內(nèi)容，它的學(xué)習(xí)和掌握在數(shù)學(xué)規(guī)則學(xué)習(xí)中具有十分典型的意義。下面試以運算法則為例簡要分析小學(xué)生掌握數(shù)學(xué)規(guī)則的心理過程。

運算法則是用文字表述的運算規(guī)定，它是在算理指導(dǎo)下對運算過程實施細(xì)則作出的具體規(guī)定，它所反映的是一種規(guī)范化的操作程序。心理學(xué)研究表明，小學(xué)生掌握運算法則通常要反映出以下心理過程。

1．從具體到抽象再到具體的過程。

小學(xué)生掌握運算法則通常都是以具體的計算為起點，通過一定數(shù)量習(xí)題的計算從中發(fā)現(xiàn)一些帶規(guī)律性的計算方法或具有普遍適用性的運算程序，并將他們上升為運算法則，然后用概括出來的法則指導(dǎo)計算，由此將抽象的運算規(guī)定變成具體化的計算過程。這表明小學(xué)生掌握運算法則要經(jīng)過由具體到抽象概括再到具體的心理發(fā)展過程。縱觀整個小學(xué)數(shù)學(xué)教材，有關(guān)運算法則的內(nèi)容基本上都是按照這種程序編排的。如乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法法時，教材先讓學(xué)生計算24×13、212×34、132×32、214×23等題，通過這些習(xí)題的豎式計算，學(xué)生很快從中發(fā)現(xiàn)計算的操作程序，并從這些具有普遍意義的操作程序中概括出三條運算規(guī)定：①先用乘數(shù)個位上的數(shù)去乘被乘數(shù)，得數(shù)的末位和乘數(shù)的個位對齊；②再用乘數(shù)十位上的數(shù)去乘被乘數(shù)，得數(shù)的末位和乘數(shù)的十位對齊；③然后把兩次乘得的數(shù)加起來。緊接著又用這種計算程序去進(jìn)行大量的計算，從而使乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法法則變成具體的計算過程，完成學(xué)生對運算法則認(rèn)識的第二次飛躍。

根據(jù)這一特點，我們在引導(dǎo)學(xué)生概括運算法則時要特別注意兩點：一是先要安排一定數(shù)量的習(xí)題讓學(xué)生計算，為運算法則的概括提供足夠的依據(jù)，不要讓學(xué)生僅根據(jù)個別習(xí)題的計算去概括法則，防止學(xué)生把運算法則變成缺乏感性認(rèn)識的教條。二是概括運算法則時要重視其理的指導(dǎo)，不僅讓學(xué)生知道法則是怎樣規(guī)定的，而且還懂得為什么要這樣規(guī)定，以此使學(xué)生明確運算法則規(guī)定的必要性和合理性，從而保證他們在后面的計算中自覺遵循運算法則的規(guī)定。

2．從展開的、詳盡的思維活動到壓縮的、省略的思維活動的過程。

心理學(xué)研究和教學(xué)實踐都表明：學(xué)生學(xué)習(xí)新法則的初期，他們的思維活動總是按照法則規(guī)定的運算步驟一步一步展開的，每一個運算步驟都要在他們的思維過程中詳盡地展現(xiàn)出來，如學(xué)生開始學(xué)習(xí)除數(shù)是小數(shù)的除法，計算10.44÷0.725（人教版義務(wù)教育六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第九冊第20頁例5）時，他們的思維活動按照除數(shù)是小數(shù)的除法法則規(guī)定的程序通常要經(jīng)過以下過程。

①將除數(shù)“0.725”的小數(shù)點向右移動三位變成整數(shù)“725”；

②被除數(shù)“10.44”的小數(shù)點也要向右移動三位；

③被除數(shù)“10.44小數(shù)部分的位數(shù)不夠（怎么辦）；

④在被除數(shù)的末尾添“0”補(bǔ)足，被除數(shù)變成整數(shù)“10440”；

⑤按照除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法法則計算“10440÷725”。

當(dāng)學(xué)生對運算法則有了正確的理解和比較熟練地掌握以后，在計算中就會逐步壓縮運算過程中的某些中間環(huán)節(jié)，省略和簡化其思維過程。這時計算“10.44÷0.725”一類式題，就會將其思維過程壓縮為兩大步驟：①根據(jù)除法商不變性質(zhì)將除數(shù)是小數(shù)的除法算式變成整數(shù)除法算式“10440÷725”；②根據(jù)除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法法則計算“10440÷725”。

從上面的例子和論述我們不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生學(xué)習(xí)運算法則初期展開的、詳盡的思維過程實際上是一個充分認(rèn)識、深刻理解法則的過程，開展是為了理解，以保證運算過程和結(jié)果的正確。但是，如果長期要求學(xué)生在計算中這樣詳盡地展開思維過程，對于培養(yǎng)他們的計算能力和思維能力是不利的。因此，當(dāng)學(xué)生對所學(xué)運算法則有了正確的理解以后，教師應(yīng)及時引導(dǎo)他們壓縮和簡化運算的思維活動，使其計算速度適當(dāng)加快，確保學(xué)生的思維能力和計算能力得到有效發(fā)展。

3．從明確意識法則到完全不用意識法則的過程。

心理學(xué)研究表明，小學(xué)生運用運算法則進(jìn)行筆算，開始時他們總是通過在頭腦里明確意識法則的運算規(guī)定去進(jìn)行計算的。即學(xué)生運用法則的初期，面對具體的計算任務(wù)，他們要靠在頭腦里聯(lián)想法則的運算規(guī)定才能計算，并且這種計算通常都是按法則規(guī)定的運算步驟去一步一步的展開的，甚至有時還伴有對法則運算規(guī)定的默默念頌。如一年級學(xué)生剛開始學(xué)習(xí)筆算加法，列豎式時他們要聯(lián)想“相同數(shù)位對齊”的運算規(guī)定，計算時要聯(lián)想“從個位加起”和“個位滿十向十位進(jìn)1”兩條運算規(guī)定才能完成計算任務(wù)。否則，其計算過程就會因為缺乏操作的依據(jù)而無法進(jìn)行。當(dāng)學(xué)生對運算法則掌握得比較熟練以后，計算時就完全不用意識法則了，面對具體的算式，學(xué)生無需去聯(lián)想法則的運算規(guī)定就能直接進(jìn)行計算，整個計算過程完全變成了一種自動化的演算過程。如學(xué)生對加法法則有了比較熟練的掌握以后，計算時他們根本不用去聯(lián)想三條規(guī)定，而是直接連通計算任務(wù)和計算過程得出計算結(jié)果。

學(xué)生掌握運算法則的這一心理特點給我們一個重要啟示：在四則計算教學(xué)中，一方面注意要求學(xué)生在學(xué)習(xí)初期按照法則的規(guī)定進(jìn)行計算，以保證運算過程的規(guī)范性和計算結(jié)果的正確性；另一方面，隨著學(xué)習(xí)過程的不斷深入，要注意引導(dǎo)學(xué)生逐步減

[1] [2] 下一頁

少對法則的依賴，使計算逐漸過渡不用去聯(lián)想法則的運算規(guī)定就能直接計算的水平，以此促進(jìn)學(xué)生計算能力的迅速發(fā)展。

《小學(xué)數(shù)學(xué)教育》2001年第9

上一頁  [1] [2]