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淺談數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)
數(shù)學(xué)課程問(wèn)題一直是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的中心問(wèn)題，也是數(shù)學(xué)教育科學(xué)研究的中心問(wèn)題之一。從1958年以來(lái)筆者參加了多次數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)、教材編寫(xiě)、實(shí)驗(yàn)研究，從三十余年的實(shí)踐中形成了關(guān)于數(shù)學(xué)課程發(fā)展規(guī)律的一些認(rèn)識(shí)。影響、制約、決定數(shù)學(xué)課程發(fā)展的因素主要是三個(gè)方面：社會(huì)、政治、經(jīng)濟(jì)方面的需求，數(shù)學(xué)發(fā)展和教育發(fā)展的需求。數(shù)學(xué)課程的發(fā)展決定于這三個(gè)方面需求的和諧統(tǒng)一，本文基于《中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《實(shí)驗(yàn)教材》)的實(shí)驗(yàn)著重探討這三者如何和諧統(tǒng)一推動(dòng)數(shù)學(xué)課程的發(fā)展。
一、我國(guó)社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)課程的要求
促進(jìn)數(shù)學(xué)課程發(fā)展的眾多動(dòng)力中，沒(méi)有比社會(huì)發(fā)展這一動(dòng)力更大的了，社會(huì)發(fā)展的需要主要包括：社會(huì)生產(chǎn)力發(fā)展的需要，經(jīng)濟(jì)和科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要和政治方面的要求。 我國(guó)社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)課程提出了以下要求。
（一）目的性
教育必須為社會(huì)主義經(jīng)濟(jì)建服務(wù)。這就要求數(shù)學(xué)課程要有明確的目的性，即要為社會(huì)主義經(jīng)濟(jì)建設(shè)培養(yǎng)各級(jí)人才奠定基礎(chǔ)，為提高廣大勞動(dòng)者的素質(zhì)做出貢獻(xiàn)。當(dāng)今社會(huì)正由工業(yè)社會(huì)向信息社會(huì)過(guò)渡，在信息社會(huì)里多數(shù)人將從事信息管理和生產(chǎn)工作；社會(huì)財(cái)富增加要更多地依靠知識(shí)；知識(shí)更新、技術(shù)進(jìn)步周期和人的職業(yè)壽命都在日益縮短，要適應(yīng)日新月異的社會(huì)，必須把勞動(dòng)者的素質(zhì)、才能提到極重要的位置，而且要使他們具備終身學(xué)習(xí)的能力。
（二）實(shí)用性
數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容應(yīng)具有應(yīng)用的廣泛性，可以運(yùn)用于解決社會(huì)生產(chǎn)、社會(huì)生活以及其他學(xué)科中的大量實(shí)際問(wèn)題；運(yùn)用于訓(xùn)練人的思維。應(yīng)該精選現(xiàn)代社會(huì)生和生活中廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)作為數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容。另外，還要考慮其他學(xué)科對(duì)數(shù)學(xué)的要求。數(shù)學(xué)課程還應(yīng)滿(mǎn)足現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，加進(jìn)其中廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)，如計(jì)算機(jī)初步知識(shí)、統(tǒng)計(jì)初步知識(shí)離散概率空間、二項(xiàng)分布等概率初步知識(shí)。
數(shù)學(xué)不僅是解決實(shí)際問(wèn)題的工具，而且也廣泛用來(lái)訓(xùn)練人的思維，培養(yǎng)有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的社會(huì)成員，要使學(xué)生懂得數(shù)學(xué)的價(jià)值，對(duì)自己的數(shù)學(xué)能力有信心，有解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)交流，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法。
（三）思想性和教育性
我們培養(yǎng)的人應(yīng)該有理想、有道德、有文化、有紀(jì)律、熱愛(ài)社會(huì)主義祖國(guó)和社會(huì)主義事業(yè)，具有國(guó)家興旺發(fā)達(dá)而艱苦奮斗的精神；應(yīng)當(dāng)不斷追求新知、實(shí)事求是、獨(dú)立思考、勇于創(chuàng)新，具有辯證唯物主義觀(guān)點(diǎn)。這就要求數(shù)學(xué)課程適當(dāng)介紹中國(guó)數(shù)學(xué)史，以激發(fā)學(xué)生的民族自豪感。用辯證唯物主義觀(guān)點(diǎn)來(lái)闡述課程內(nèi)容，有意識(shí)地體現(xiàn)數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐又反過(guò)來(lái)作用于實(shí)踐的辯證唯物主義觀(guān)點(diǎn)。體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)、變化、相互聯(lián)系的觀(guān)點(diǎn)。
《實(shí)驗(yàn)教材》用“精簡(jiǎn)實(shí)用”的選材標(biāo)準(zhǔn)來(lái)滿(mǎn)足這些要求。
二、數(shù)學(xué)的發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)課程的要求
（一）中學(xué)數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)是代數(shù)、幾何、分析和概率這四科的基礎(chǔ)部分恰當(dāng)配合的整體
數(shù)學(xué)研究對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式�；A(chǔ)數(shù)學(xué)的對(duì)象是數(shù)、空間、函數(shù)，相應(yīng)的是代數(shù)、幾何、分析等學(xué)科，它們是各成體系但又密切聯(lián)系的�，F(xiàn)代數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了許多綜合性數(shù)學(xué)分支，都是在它們的基礎(chǔ)上產(chǎn)生并發(fā)展起來(lái)的，研究的思想方法也是它們的思想方法的綜合運(yùn)用。代數(shù)、幾何、分析在相鄰學(xué)科和解決各種實(shí)際問(wèn)題中都有廣泛應(yīng)用，所以中學(xué)數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)是它們恰當(dāng)配合的整體。曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)的把中學(xué)課程代數(shù)結(jié)構(gòu)化（如“新數(shù)”）的設(shè)計(jì)方案�！耙院瘮�(shù)為綱”使中學(xué)數(shù)學(xué)課程分析化的設(shè)計(jì)方案都不成功，正是沒(méi)有滿(mǎn)足這一要求。
（二）適當(dāng)增加應(yīng)用數(shù)學(xué)的內(nèi)容
應(yīng)用數(shù)學(xué)近年來(lái)蓬勃發(fā)展，出現(xiàn)了許多新的分支和領(lǐng)域，應(yīng)用范圍也在日益擴(kuò)大，這種形勢(shì)也要求在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中有所反映。從“新數(shù)運(yùn)動(dòng)”開(kāi)始，各國(guó)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中陸續(xù)增加了概率統(tǒng)計(jì)和計(jì)算機(jī)的初步知識(shí)。這一方面說(shuō)明概率統(tǒng)計(jì)和計(jì)算機(jī)知識(shí)在社會(huì)生產(chǎn)和社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用，另一方面也說(shuō)明數(shù)學(xué)的發(fā)展擴(kuò)大了它的基礎(chǔ)，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)課程提出了新的要求。
由于計(jì)算機(jī)科學(xué)研究的需要，“離散數(shù)學(xué)”越來(lái)越顯得重要。因此，中學(xué)數(shù)學(xué)課程中應(yīng)當(dāng)增加離散數(shù)學(xué)的比重。
（三）系統(tǒng)性
基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，包括代數(shù)、幾何、分析到19世紀(jì)末都相繼奠定了嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)。到本世紀(jì)30年代法國(guó)布爾巴基學(xué)派用公理化方法，使整個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化。任何一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)都可以歸結(jié)為代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)這三種母結(jié)構(gòu)的復(fù)合。經(jīng)過(guò)用公理化方法的整理，使數(shù)學(xué)成為一個(gè)邏輯嚴(yán)密、系統(tǒng)的整體結(jié)構(gòu)。因此，作為符合數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)要求的中學(xué)數(shù)學(xué)課程就必須具有一定的系統(tǒng)性和邏輯嚴(yán)密性。
（四）突出數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法
現(xiàn)代數(shù)學(xué)進(jìn)行著不同領(lǐng)域的思想、方法的相互滲透。許多曾經(jīng)認(rèn)為沒(méi)有任何共同之處的數(shù)學(xué)分支，現(xiàn)在已建立在共同的統(tǒng)一的思想基礎(chǔ)上了。
數(shù)學(xué)思想和方法把數(shù)學(xué)科學(xué)聯(lián)結(jié)成一個(gè)統(tǒng)一的有結(jié)構(gòu)的整體。所以，我們應(yīng)該體現(xiàn)突出數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。
《實(shí)驗(yàn)教材》以“反璞歸真”的指導(dǎo)思想來(lái)滿(mǎn)足數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的要求。
三、教育、心理學(xué)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)課程的要求
教育、心理學(xué)的發(fā)展，對(duì)教學(xué)規(guī)律和學(xué)生的心理規(guī)律有了更深入的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)要符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律。認(rèn)知發(fā)展，要經(jīng)歷多種水平，多種階段。認(rèn)知的發(fā)展呈現(xiàn)一定的規(guī)律�；谶@些規(guī)律，要求數(shù)學(xué)課程具有：
（一）可接受性
教學(xué)內(nèi)容、方法都要適合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平。獲得新的數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，主要依賴(lài)于數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的適當(dāng)概念，通過(guò)新舊知識(shí)的相互作用，使新舊意義同化，從而形成更為高度同化的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程，它包括輸入、同化、操作三個(gè)階段。因此，作為數(shù)學(xué)課程內(nèi)容要同學(xué)生已有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有密切聯(lián)系。其抽象性與概括性不能過(guò)低或過(guò)高，要處于同級(jí)發(fā)展水平。這樣才能使數(shù)學(xué)課程內(nèi)容被學(xué)生理解，被他們接受，才能產(chǎn)生新舊知識(shí)有意義的同化作用，改造和分化出新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
（二）直觀(guān)性
皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段的理論認(rèn)為，中學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平已由具體運(yùn)算進(jìn)入了抽象運(yùn)算階段，但是即使他們?cè)谡w上認(rèn)知水平已經(jīng)達(dá)到了抽象運(yùn)算的水平，在每個(gè)新數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中仍然要經(jīng)歷從具體到抽象的轉(zhuǎn)化，他們?cè)趯W(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)概念時(shí)仍采用具體或直觀(guān)的方式去探索新概念。因此，數(shù)學(xué)課程應(yīng)向?qū)W生提供豐富的直觀(guān)背景材料。不拘泥于抽象的形式，著重于向?qū)W
生提示抽象概念的來(lái)龍去脈和其本質(zhì)。也就是要“反璞歸真”。
（三）啟發(fā)性
蘇聯(lián)心理學(xué)家維果斯基認(rèn)為兒童心理機(jī)能“最近發(fā)展區(qū)”的水平。表現(xiàn)為發(fā)展程序尚未成熟，正處于形成狀態(tài)。兒童還不能獨(dú)立地解決一定的靠智力解決的任務(wù)，但只要有一定的幫助和自己的努力，就有可能完成任務(wù)。數(shù)學(xué)課程的啟發(fā)性就在于激發(fā)、誘導(dǎo)那些正待成熟的心理機(jī)能的發(fā)展，不斷地使“最近發(fā)展區(qū)”的矛盾得到轉(zhuǎn)化，而進(jìn)入更高一級(jí)的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平。
要使數(shù)學(xué)課程真正具有啟發(fā)性，需要克服兩種偏向：第一，內(nèi)容過(guò)于簡(jiǎn)單，缺乏思考余地。沒(méi)有挑戰(zhàn)性，不能激發(fā)學(xué)生思維，甚至不能滿(mǎn)足學(xué)生學(xué)習(xí)愿望。第二，內(nèi)容過(guò)于復(fù)雜、抽象。超過(guò)了學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中“最近發(fā)展區(qū)”的水平，學(xué)生將會(huì)由于不能理解它，產(chǎn)生畏懼心理，最后厭惡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。
布魯納曾指出，向成長(zhǎng)中的兒童提出難題，激勵(lì)他們向下一階段發(fā)展，這樣的努力是值得的。在這種思想的指導(dǎo)下，他的數(shù)學(xué)課程采用螺旋式上升的原則，這是課程內(nèi)容啟發(fā)性的體現(xiàn)。
《實(shí)驗(yàn)教材》用“順理成章、深入淺出”的指導(dǎo)思想來(lái)體現(xiàn)以上諸要求。
四、三方面需求的和諧統(tǒng)一
上面分別考查了三個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)課程提出的要求，這些要求有時(shí)互為前題，互相補(bǔ)充，而有時(shí)卻是彼此矛盾的。這導(dǎo)致了數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和艱巨性。如何才能使這三方面的要求和諧統(tǒng)一呢？從《實(shí)驗(yàn)教材》11年的實(shí)驗(yàn)中形成了16字指導(dǎo)數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)的思想，比較恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)一了以上三方面的需求。這16字的指導(dǎo)思想是“精簡(jiǎn)實(shí)用、反璞歸真、順理成章、深入淺出”。
“精簡(jiǎn)實(shí)用”是個(gè)基本的指導(dǎo)思想，它恰當(dāng)?shù)乇憩F(xiàn)了理論和實(shí)際的正確關(guān)系。由實(shí)際到理論，就是由繁精簡(jiǎn)，把實(shí)際中多樣的事物、現(xiàn)象，經(jīng)過(guò)分析、綜合，歸納出簡(jiǎn)單而又具有普遍性的道理，這就是理論。而只有精而簡(jiǎn)的理論才能用來(lái)“以簡(jiǎn)馭繁”。所以“精簡(jiǎn)實(shí)用”在科學(xué)上的意義就是要尋求真正具有普遍性、簡(jiǎn)明扼要的理論。要做到精簡(jiǎn)，必須抓住重點(diǎn)。教材中普遍實(shí)用的最基礎(chǔ)部分，那些具有普遍意義的通性、通法就是重點(diǎn)。中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容應(yīng)是代數(shù)、幾何、分析和概率這四科的基礎(chǔ)部分恰當(dāng)配合的整體，這樣做既可滿(mǎn)足社會(huì)的需要、數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的要求，又可滿(mǎn)足可接受性的要求。其中普遍實(shí)用的最基礎(chǔ)部分是代數(shù)中的數(shù)系，最普遍有用的是數(shù)系的運(yùn)算律（“數(shù)系通性”）；解代數(shù)方程；多項(xiàng)式運(yùn)算；待定系數(shù)法。幾何中的重要內(nèi)容是教導(dǎo)學(xué)生研習(xí)演繹法，要點(diǎn)在于讓學(xué)生逐步體會(huì)空間基本性質(zhì)的本質(zhì)與用法。平行四邊形定理、相似三角形定理、勾股定理可以說(shuō)是歐氏平面幾何的三大支柱，它們也就是把空間結(jié)構(gòu)全面代數(shù)化的理論基礎(chǔ)。用向量把幾何學(xué)全面代數(shù)化，講向量身體、解析幾何及其原理，這些就是幾何課的重點(diǎn)。分析的重要內(nèi)容除函數(shù)、極限、連續(xù)等分析學(xué)的基本概念之外，變化率是要緊的概念。分析中最基本的方法是逼近法。
“反璞歸真”就是著重于教學(xué)生以基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，而不拘泥于抽象的形式。初等代數(shù)最基本的思想、最重要的本質(zhì)就是那些非常簡(jiǎn)單的數(shù)的運(yùn)算律，它們是整個(gè)代數(shù)學(xué)的根本所在。把它形式化，也就是多項(xiàng)式的運(yùn)算和理論。傳統(tǒng)的代數(shù)教學(xué)從多項(xiàng)式的形式理論開(kāi)始，學(xué)生不解其義，感到枯燥�！秾�(shí)驗(yàn)教材》反璞歸真，先講代數(shù)的基本原理就是靈活運(yùn)用運(yùn)算律，首先用以解決一次方程的實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生自然地覺(jué)得應(yīng)該有一個(gè)多項(xiàng)式理論，然后再講多項(xiàng)式，這樣學(xué)生易于理解多項(xiàng)式的來(lái)源與本質(zhì)。“這就是反璞歸真”的一個(gè)實(shí)例。
基本的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，突出其教學(xué)是把知識(shí)教學(xué)與能力訓(xùn)練統(tǒng)一起來(lái)的重要一環(huán)。把知識(shí)看作一個(gè)過(guò)程，弄清它的來(lái)龍去脈，掌握思想脈絡(luò)，學(xué)生的數(shù)學(xué)才能才發(fā)展起來(lái)，要學(xué)生“會(huì)學(xué)”數(shù)學(xué)，就必須讓學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)思想和方法，會(huì)“數(shù)學(xué)地”提出問(wèn)題，思考問(wèn)題、解決問(wèn)題。
《實(shí)驗(yàn)教材》一開(kāi)始就突出了用符號(hào)（字母）表示數(shù)的基本思想和方法。集合的思考方法，在幾何和代數(shù)中都十分重視。經(jīng)常訓(xùn)練學(xué)生從考慮具體的數(shù)學(xué)對(duì)象到考慮對(duì)象的集合，進(jìn)而考慮分類(lèi)等問(wèn)題。
函數(shù)的思考方法，考慮對(duì)應(yīng)，考慮運(yùn)動(dòng)的變化、相依關(guān)系，由研究狀態(tài)過(guò)渡到研究過(guò)程。分解和組合的方法。對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析與綜合、轉(zhuǎn)化、推廣與限定（一般化與特殊化）、類(lèi)比、遞推、歸納等基本的數(shù)學(xué)思想與方法都分別得到強(qiáng)調(diào)。
“順理成章”就是要從歷史發(fā)展程序和認(rèn)識(shí)規(guī)律出發(fā)，“順理成間”地設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)課程。數(shù)學(xué)是一種演繹體系，有時(shí)甚至本末倒置。這正是數(shù)學(xué)本身的要求和學(xué)生心理發(fā)展的要求相矛盾的所在。正確處理這個(gè)矛盾，使這兩方面的要求和諧統(tǒng)一，課程設(shè)計(jì)就既不能違背邏輯次序。更要符合認(rèn)識(shí)程序。因此，要參照數(shù)學(xué)發(fā)展歷史，用數(shù)學(xué)概念的逐步進(jìn)化演變過(guò)程作為明鏡，用基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的層次與脈絡(luò)作為依據(jù)來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)課程。數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展經(jīng)歷過(guò)若干重要轉(zhuǎn)折。學(xué)生的認(rèn)識(shí)過(guò)程和數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展過(guò)程（人類(lèi)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的過(guò)程）有一致性。數(shù)學(xué)教材的設(shè)計(jì)要著力于采取措施引導(dǎo)學(xué)生合乎規(guī)律地實(shí)現(xiàn)那些重大轉(zhuǎn)折，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)順理成章地由一個(gè)高度發(fā)展到另一個(gè)新的高度。在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，主要經(jīng)歷過(guò)五個(gè)大的轉(zhuǎn)折。
由算術(shù)到代數(shù)是一個(gè)重大的轉(zhuǎn)折。實(shí)現(xiàn)這個(gè)轉(zhuǎn)折，重要的是要向?qū)W生講清代數(shù)的基本精神是靈活運(yùn)用運(yùn)算律謀求問(wèn)題的統(tǒng)一解法。由實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何是第二個(gè)重大轉(zhuǎn)折。要對(duì)空間的基本概念與基本性質(zhì)加以系統(tǒng)的觀(guān)察、分析與實(shí)驗(yàn)，建立“空間通性”的一個(gè)明確體系，達(dá)到“探源、奠基與啟蒙”三個(gè)目的，然后引進(jìn)集合術(shù)語(yǔ)并以集合作工具，講清一些基本邏輯關(guān)系、推理格式，再轉(zhuǎn)入歐幾里得推理幾何。第三個(gè)轉(zhuǎn)折是從定性幾何到定量幾何，即從綜合幾何到解析幾何。要對(duì)幾何問(wèn)題謀求統(tǒng)一解法，出路在代數(shù)化，首先要把一個(gè)基本幾何量代數(shù)化，就得到向量的概念，然后運(yùn)用歐氏空間特有的平移、相似與勾股定理等基本性質(zhì)引起向量的加法、倍積與內(nèi)積這三種向量運(yùn)算。這樣就把窨的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為向量和向量運(yùn)算。這樣就把空間的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為向量和向量運(yùn)算這種代數(shù)體系，因而空間的基本性質(zhì)也就轉(zhuǎn)化成向量運(yùn)算的運(yùn)算律。換句話(huà)說(shuō)，向量的運(yùn)算律也就是代數(shù)化的幾何公理。這樣就實(shí)現(xiàn)定性幾何到定量幾何的轉(zhuǎn)折。向量是這個(gè)轉(zhuǎn)折的樞紐。第四個(gè)轉(zhuǎn)折是從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)，這在概念和方法論方面都有相當(dāng)大幅度的飛躍，需要早作準(zhǔn)備。初中二年級(jí)已引入三角函數(shù)的初步概念，初三正式研究各種函數(shù)，到高一、高二的代數(shù)與解析幾何中，就逐步講座到連續(xù)性、實(shí)數(shù)完備性、切線(xiàn)等概念。數(shù)列、逼近的思想也早有滲透，到高三進(jìn)一步突出逼近法研究極限、連續(xù)、微分、積分等變量數(shù)學(xué)問(wèn)題。第五個(gè)轉(zhuǎn)折是由確定性數(shù)學(xué)到隨機(jī)性數(shù)學(xué)。在代數(shù)之后引起概率論初步。
上述數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)，既遵循歷史發(fā)展的規(guī)律，又突出了幾個(gè)轉(zhuǎn)折關(guān)頭，縮短了認(rèn)識(shí)過(guò)程。有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想發(fā)展的脈絡(luò)，提高數(shù)學(xué)教學(xué)的思想性。
“深入淺出”就是要學(xué)到應(yīng)有的深度，才能淺出。許多事物和現(xiàn)象表面上各不相連，但是把它們提高到適當(dāng)?shù)母叨葋?lái)看，這些事物和現(xiàn)象就會(huì)有一種統(tǒng)一的理論串連其間。因此，
如果沒(méi)有掌握到這種樞紐性的理論，就無(wú)法回頭用理論來(lái)統(tǒng)一一系列繁復(fù)多樣的實(shí)際。所以數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)要用學(xué)生易于接受的形式引導(dǎo)學(xué)生去掌握樞紐性的理論�！罢碱I(lǐng)制高點(diǎn)”，才能居高臨下，一目了然。把數(shù)學(xué)課程搞得淺薄，砍掉具有樞紐地位的基礎(chǔ)理論，把數(shù)學(xué)課程變成一本支離破碎的流水帳，一來(lái)難懂，二來(lái)無(wú)用，所以深入淺出的要點(diǎn)在于教好那些具有樞紐地位的基礎(chǔ)理論。
《實(shí)驗(yàn)教材》的實(shí)驗(yàn)證明，16監(jiān)察院指導(dǎo)思想恰當(dāng)?shù)靥幚砹死碚摵蛯?shí)際的關(guān)系，數(shù)學(xué)科學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)系，數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)與數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的關(guān)系，數(shù)學(xué)課程完整性與發(fā)展性的關(guān)系等，充分滿(mǎn)足了三方面的要求，五個(gè)轉(zhuǎn)折都順利地實(shí)現(xiàn)了�！秾�(shí)驗(yàn)教材》內(nèi)容多、要求高、負(fù)擔(dān)重，有待進(jìn)一步精簡(jiǎn)。
《實(shí)驗(yàn)教材》的實(shí)驗(yàn)研究取得了效果和經(jīng)驗(yàn)。但是數(shù)學(xué)課程發(fā)展的規(guī)律、指導(dǎo)發(fā)展的理論尚待探索和逐步建立，尚需使用歷史分析的方法，比較研究和實(shí)驗(yàn)研究的多種方法，研究古、今、中、外的數(shù)學(xué)課程，從中探索出規(guī)律，建立數(shù)學(xué)課程發(fā)展的系統(tǒng)理論，以指導(dǎo)今后的數(shù)學(xué)課程改革和設(shè)計(jì)的實(shí)踐。
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