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高等數(shù)學(xué)與小學(xué)數(shù)學(xué)的相天性
一般人認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)相差甚遠(yuǎn),事實(shí)上它們之間不僅在內(nèi)容方面,而且在思維形式方面都存在 著密切的聯(lián)系。如果站在高等數(shù)學(xué)的高度來理解小學(xué)數(shù)學(xué),會使人感到小學(xué)數(shù)學(xué)的博大和精深;如果能把小學(xué) 數(shù)學(xué)的內(nèi)容放在高等數(shù)學(xué)這一背景中理解,從某種意義上講小學(xué)數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分。如果小學(xué)數(shù) 學(xué)教師都能站在高等數(shù)學(xué)的高度來進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),那將會對小學(xué)生學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)概念起到非常積極的意 義。本文將從內(nèi)容和思維形式兩個方面來揭示小學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系。一、內(nèi)容的互補(bǔ)性
高等數(shù)學(xué)中的一些概念是小學(xué)數(shù)學(xué)中一些量的抽象,而小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容則是高等數(shù)學(xué)中抽象概念的實(shí)例。 如果站在抽象后的高度對小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行解釋,那么小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容將是有序的、完整的。例如:加、減 、乘、除是小學(xué)數(shù)學(xué)主要的教學(xué)內(nèi)容之一,在高等數(shù)學(xué)中則是映射(代數(shù)運(yùn)算)的幾個特例而已。如果沒有小 學(xué)數(shù)學(xué)這些實(shí)例,那么就不可能理解、抽象出一般的代數(shù)運(yùn)算的概念;如果在掌握了一般的代數(shù)運(yùn)算的概念的 基礎(chǔ)上講解加、減、乘、除,就會把這些概念講活講完整。一般來講,高等數(shù)學(xué)和小學(xué)數(shù)學(xué)在內(nèi)容上是從以下 四個方面進(jìn)行互補(bǔ)的。
1.個別和一般
小學(xué)數(shù)學(xué)中有平均數(shù)的計(jì)算,平均數(shù)在高等數(shù)學(xué)中就是數(shù)學(xué)期望值的特例。如果站在數(shù)學(xué)期望的高度來講 解平均數(shù),教師就會著重強(qiáng)調(diào)平均數(shù)和各個數(shù)之間差異,學(xué)生就會知道全班數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)和每個學(xué)生的分?jǐn)?shù), 雖然都是分?jǐn)?shù),但是它們的意義是完全不同的。反之,如果學(xué)生只會計(jì)算平均分?jǐn)?shù),而沒有把平均分?jǐn)?shù)和每個 學(xué)生的分?jǐn)?shù)加以區(qū)別,那么學(xué)生只是多做了一些四則運(yùn)算的習(xí)題。這樣不僅不能活躍學(xué)生的思維,而且也不利 于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。再如小學(xué)數(shù)學(xué)中求自然數(shù)的正約數(shù)的個數(shù)問題,則是高等數(shù)學(xué)中代數(shù)基本定理的應(yīng)用 ,并且求解任一正整數(shù)約數(shù)個數(shù)的計(jì)算公式,在高等數(shù)學(xué)中也有論證。
2.有限和無限
在小學(xué)數(shù)學(xué)中,一般是在有限的范圍內(nèi)討論問題,有些問題則需要利用高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行解釋。如小學(xué) 數(shù)學(xué)中數(shù)的認(rèn)識,內(nèi)容雖然簡單,但是其中數(shù)“數(shù)”及用“對等”的方法比較兩個集合之間元素個數(shù)關(guān)系問題 必須讓學(xué)生理解。這是因?yàn)閿?shù)“數(shù)”的方法是高等數(shù)學(xué)中研究可列集、不可列集的基本方法;而“對等”的方 法則是比較兩個集合(有限集、無限集)之間元素個數(shù)問題的基本方法。又如,小學(xué)數(shù)學(xué)中對于“自然數(shù)是無 限的”這一結(jié)論,只有用極限的觀點(diǎn)來進(jìn)行解釋,學(xué)生才能正確地理解這一結(jié)論。相反,如果教師沒有扎實(shí)的 高等數(shù)學(xué)根底,而是采用一些不正確的方法進(jìn)行解釋,不僅不能幫助學(xué)生準(zhǔn)確地理解“自然數(shù)是無限的”這一 結(jié)論,而且會影響學(xué)生今后對極限概念的理解。再如,在小學(xué)數(shù)學(xué)中無限循環(huán)小數(shù)和分?jǐn)?shù)之間的互化問題,這 一問題是高等數(shù)學(xué)中級數(shù)概念的應(yīng)用,教師在教學(xué)中通過“0.9”、“0.99…9”和“1”之間關(guān)系的 解釋,就會讓學(xué)生再一次體會極限的概念。
3.靜止和運(yùn)動
小學(xué)數(shù)學(xué)中的很多概念如果只強(qiáng)調(diào)結(jié)果,則是靜止的。如2+3這一表達(dá)式,只討論其和為多少是靜止的 。如果分析這個表達(dá)形式,則是運(yùn)動的。這是因?yàn)椋喝簦玻剑常保常剑保,……那么這個表達(dá)式變?yōu)椋?3-1+1+2,……;若2、3分別表示2號房間和3號房間里人數(shù)之和,那么這個表達(dá)式的意義又不同了 。通過這一次次的變化,學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念的理解更趨完整,這一次次的變化正是代數(shù)思想的雛型。而代數(shù)思 想是研究數(shù)學(xué)的最根本的思想之一。
4.推算和預(yù)測
小學(xué)數(shù)學(xué)中有一類問題是已知現(xiàn)在的值,求原來的值。例如:現(xiàn)對甲、乙、丙三個車間的人員進(jìn)行三次調(diào) 整。第一次丙車間不動,甲、乙兩個車間中的一個車間調(diào)出8人給另一車間;第二次乙車間不動,甲、丙兩車 間中的一個車間調(diào)出8人給另一車間;第三次甲車間不動,乙、丙兩車間中的一個車間調(diào)出7人給另一車間。 三次調(diào)整后甲車間有7人,乙車間有12人,丙車間有4人。問各車間原來有多少人。
此題若按調(diào)整先后順序來推算,將很繁瑣,而用列表進(jìn)行推算則十分簡單。
人 數(shù) 甲車間 乙車間 丙車間
第三次調(diào)整后 7 12 4
第二次調(diào)整后 7 5 11
第一次調(diào)整后 15 5 3
原來 7 13 3
求解這一類問題的方法是用列表(或作圖)進(jìn)行的,一般稱這種方法為倒退法。而高等數(shù)學(xué)中更多的是已 知過去和現(xiàn)在的值,求未來,這一類問題稱為預(yù)測,也是通過列表(或作圖)利用統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行求解的。
二、思維形式的相通性
常用的思維方法有分析和綜合、比較和分類、歸納和演繹、系統(tǒng)等方法。研究和學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)必須以科學(xué) 的思維方法作指導(dǎo),這已達(dá)成共識,而很多人則把小學(xué)數(shù)學(xué)看成是以培養(yǎng)技巧為主。從小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容來看, 如果不強(qiáng)調(diào)思維的培養(yǎng),只是一味地訓(xùn)練運(yùn)算技巧,那么小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)將會變得非?菰锓ξ丁H绻谛W(xué) 數(shù)學(xué)中強(qiáng)化科學(xué)思維的培養(yǎng),那么將會產(chǎn)生事半功倍的效果,同時也會提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。下面分別敘述四 種常用的思維方法在小學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。
1.分析和綜合
分析,是將被研究對象的整體分為各個部分、方面、因素和層次,并分別加以考察,從而認(rèn)識事物本質(zhì)的 思維方法。綜合,是將已有的關(guān)于研究對象的各個部分、方面、因素和層次的認(rèn)識聯(lián)結(jié)起來,形成對研究對象 整體性的新認(rèn)識的思維方法。
分析和綜合是數(shù)學(xué)中常用的思維方法,“曹沖稱象”這則故事正是分析和綜合方法應(yīng)用的實(shí)例。七歲的小 曹沖以“稱石頭代稱象”,運(yùn)用的就是一種把整體分成若干較小而簡單的問題,逐個地加以解決,從而使原問 題得以解決的方法。小學(xué)數(shù)學(xué)中運(yùn)用分析和綜合的方法求解的實(shí)例也很多。
例如:某一項(xiàng)建筑工程,由甲、乙兩隊(duì)承包,12/5天可以完成,需支付1800元;由乙、丙兩隊(duì)承 包,15/4天可以完成,需支付1500元;由甲、丙兩隊(duì)承包,20/7天可以完成,需支付1600元 。在保證“一個星期內(nèi)完成這項(xiàng)工程”的前提下,選擇哪個隊(duì)單獨(dú)承包費(fèi)用最少?
解答這個問題必須在“天數(shù)”和“錢數(shù)”上想辦法。由于同時兼顧二者難以下手,故采取把整體分成個體 分別求解。
從天數(shù)考慮,甲、乙、丙三隊(duì)每天共做:
(5/12+4/15+7/20)÷2=31/60
甲隊(duì)每天做:31/60-4/15=1/4
乙隊(duì)每天做:31/60-7/20=1/6
丙隊(duì)每天做:31/60-5/12=1/10
即:單獨(dú)承包這項(xiàng)工程,甲、乙、丙隊(duì)分別需要4天、6天、10天。
從錢數(shù)考慮,甲、乙、丙三隊(duì)合做一天共需支付工資:
(750+400+560)÷2=855(元)
甲隊(duì)每天所需:855-400=455(元)
乙隊(duì)每天所需:855-560=295(元)
丙隊(duì)每天所需:855-750=105(元)
綜合列表如下:
單獨(dú)承包需要天數(shù) 單獨(dú)承包每天工資 完成工程工資
甲 4 455元 1820元
乙 6 295元 1770元
丙 10 105元 1050元
根據(jù)題意可知,在一個星期內(nèi)完成這項(xiàng)工程,選擇乙隊(duì)最理想。
2.比較和分類
比較,是從具有同一性的事物間尋找其差異性,或者從具有差異性的事物間尋找其同一性的思維方法。分 類,是通過比較建立集合的思維方法。
在高等數(shù)學(xué)中可以利用同態(tài)、同構(gòu)的方法把整數(shù)與多項(xiàng)式、矩陣與線性變換、多面體和平面圖等建立聯(lián)系 。這就是比較、分類的方法。而小學(xué)數(shù)學(xué)中在學(xué)生掌握了自然數(shù)的四則運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上,也是通過比較的方 法使學(xué)生掌握小數(shù)的四則運(yùn)算的。
3.歸納和演繹
歸納,是從已知個別的或特殊的知識出發(fā),概括出一般性或普遍性結(jié)論的思維方法。演繹,是從已知一般 性的或普遍性的知識出發(fā),推斷出個別或特殊的結(jié)論的思維方法。
這一方法在小學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是最為廣泛的,這里就不一一例舉了。
4.系統(tǒng)的方法
系統(tǒng)的方法,就是把研究對象作為整體,從整體的部分與部分、整體與環(huán)境的相互聯(lián)系、相互作用中綜合 地考察對象的思維方法,即整體思考的思維方法。
高等數(shù)學(xué)中的集合、向量空間、群等都是系統(tǒng)方法的應(yīng)用。在小學(xué)數(shù)學(xué)中,如果利用這一思想方法不僅可 以發(fā)展學(xué)生的思維,而且在解題時,可以化繁為簡,由此及彼。
例如:獵人甲帶著他的獵狗到120千米外的獵人乙家去做客,當(dāng)甲出發(fā)時,乙也正好走出家門迎接甲。 甲每小時走10千米,乙每小時走20千米,獵狗每小時跑30千米。當(dāng)獵狗先與乙相遇后,又返回來迎接甲 ,與甲相遇后,再轉(zhuǎn)頭去迎接乙。這樣,獵狗在甲、乙之間往返奔跑。試問:當(dāng)甲乙相遇時,獵狗共跑了多少 路程?
本題可以從問題的整體出發(fā)考慮,因?yàn)楂C狗從出發(fā)起到甲、乙相遇止,它就以每小時30千米的速度整整 跑了120÷(10+20)=4(小時),所以一共跑了30×4=120(千米)。
綜合所述,高等數(shù)學(xué)和小學(xué)數(shù)學(xué)之間確實(shí)存在著密切的聯(lián)系。如果在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中能科學(xué)地認(rèn)識 高等數(shù)學(xué)與小學(xué)數(shù)學(xué)在內(nèi)容上的互補(bǔ)性,能有意識地運(yùn)用高等數(shù)學(xué)與小學(xué)數(shù)學(xué)在思維形式上的相通性,準(zhǔn)確地 把握每個知識點(diǎn)的內(nèi)涵和外延,融會貫通,并且積極發(fā)展學(xué)生的思維,那么將會對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)水平的提高起 到一定的推動作用。
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