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數(shù)學(xué)教學(xué)中教師該做些什么?——對一節(jié)研究性教學(xué)課例的思考
拜讀了王芝平、郝澎老師的研究性教學(xué)課例，筆者為之振奮和感慨：我在教學(xué)中不也經(jīng)歷過這樣的研究式教學(xué)嗎？這樣的研究式教學(xué)是令人快樂的啊!遺憾的是在現(xiàn)今的課堂上實在太少了！如果師生在數(shù)學(xué)課堂中都能置身于數(shù)學(xué)探究之中，那么我們的數(shù)學(xué)教學(xué)就能演繹成一幕幕“數(shù)學(xué)研究”的活�。覀兊臄�(shù)學(xué)教學(xué)就可以甩掉“枯燥乏味”的帽子，進入一個教師樂教、學(xué)生樂學(xué)的數(shù)學(xué)樂園！? 欣喜之余，筆者愿結(jié)合此課例和自己的實踐就教師在研究性教學(xué)中如何發(fā)揮自己的積極作用談幾點體會和認識．
1 教師是數(shù)學(xué)課程的開發(fā)者和創(chuàng)造者
以往在教師的頭腦中，教學(xué)內(nèi)容和進度是由國家的教學(xué)大綱和教學(xué)計劃規(guī)定的，教師的任務(wù)只是按照教科書、教參去教，承擔(dān)的是“傳遞”任務(wù)．新一輪課程改革認為，課程不等同于教材，而是教師和學(xué)生共同探求新知識的過程；課程不只來源于教材，而且來源于教師、學(xué)生和環(huán)境，是在四者之間的相互作用和相互影響中生成和發(fā)展的；課程實施的意義不只是傳授知識或培養(yǎng)能力，而是培養(yǎng)一個在知識、能力、情感態(tài)度和價值觀諸方面全面、和諧發(fā)展的人．因此，教師是課程的開發(fā)者和創(chuàng)造者，教學(xué)不只是“教教材”，而是“用教材教”，整個教學(xué)的過程既是課程實施的過程，也是課程不斷開發(fā)和生成的過程．
從課例中可見，王老師十分成功地實踐了“教師是課程的開發(fā)者和創(chuàng)造者”．
首先，王老師運用自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和教學(xué)經(jīng)驗對教材進行了深入的挖掘，將教材第101頁的2個習(xí)題整合為“拋物線焦點弦的有關(guān)性質(zhì)”的研究課題．這樣，通過教師與教材的相互作用，提供到課堂上與學(xué)生交流的課程內(nèi)容就已經(jīng)不再是教材靜態(tài)的、單一的內(nèi)容了，而是內(nèi)容更為豐富，思想更為鮮活，內(nèi)涵更為深刻的課程內(nèi)容了．
其次，王老師充分發(fā)揮了學(xué)生3和學(xué)生8所犯“錯誤”、所歷“曲折”這種特殊的課程資源所具有的獨特的教育意義．
具體地說，對學(xué)生3的不當(dāng)類比，王老師并沒有簡單地否定或糾正，而首先是讓學(xué)生說出他個人的思維方式．這樣，師生了解到了學(xué)生發(fā)生錯誤的實際思維過程，從而就為進行有針對性地有效糾錯提供了必要的基礎(chǔ)．事實上．類比思維是極其可貴的，這樣的“錯誤”從思維方式上來說是有其合理之處的，如果我們簡單地予以否定，那么學(xué)生要么莫名其妙，不能真正理解、認識到自己的錯誤，要么會懷疑“類比”并且不敢再行“類比”了．類似地，對于學(xué)生8的錯解，王老師沒有向?qū)W生明確地表明自己的觀點（“能證明或否定它嗎？”），而是通過設(shè)問給了學(xué)生一個思考、探究的機會．
進一步地，王老師讓學(xué)生上講臺演示，“給了他充分表達自己想法的機會和探索的時間”，然后再讓大家進行討論．這樣，王老師通過提供研討的時空，把學(xué)生對“問題”的種種思考和想法都充分地開發(fā)出來了．同樣，對于學(xué)生8的錯解，王老師通過問句“能證明或否定它嗎？”打開學(xué)生思維的窗戶，給了學(xué)生一個廣闊的思維空間，使他們充分地展開探究活動．從而把學(xué)生對問題的思考和想法全部開發(fā)出來了．
特別地，在探究學(xué)生3的命題的整個過程之際，從“肯定猜想”——“沒有大膽的猜想．就不會有偉大的發(fā)現(xiàn)”，到“質(zhì)疑猜想”（包括組織討論）——“猜想到的結(jié)論一定是正確的嗎？”．再到“證明（反駁）猜想”——特例檢驗、圖形直觀，學(xué)生經(jīng)歷了科學(xué)研究的一般過程，從而受到了科學(xué)的思維方法論教育．其次，教師對錯誤、失敗以及出錯學(xué)生的尊重之舉于無形之中便對學(xué)生進行了一次很好的情感態(tài)度方式乃至人生觀的教育．顯然，此二者對學(xué)生的意義已超越了具體問題的獲解，具有深遠的“發(fā)展”意義．因此可以說，它們是王老師對學(xué)生所犯“錯誤”、所歷“曲折”這種特殊的課程資源最重要的課程開發(fā)．
2 教師是數(shù)學(xué)活動的組織者、指導(dǎo)者和推進者
課例中一個值得引人深思的現(xiàn)象是，王老師在本節(jié)課的17處講話中．有13處有問號，另有6處有感嘆號．這反映或說明了什么？
在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂上，教師生怕學(xué)生看不懂教材或不能很好地理解教師講授的內(nèi)容，于是不厭其煩地反復(fù)講，追求講深講透．當(dāng)代建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認為，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生從自己已有的知識和經(jīng)驗出發(fā)．并憑借自己已有的知識和經(jīng)驗對新的問題情境、新的知識進行同化或順應(yīng)的自主建構(gòu)過程．特別是這種建構(gòu)是發(fā)生在每一個學(xué)生的頭腦里的，是他人無法替代的，如果沒有對新情境、新知識的自主建構(gòu)活動，那么新情境、新知識就無法與已有的知識和經(jīng)驗建立實質(zhì)性的聯(lián)系，從而“學(xué)習(xí)”就不可能真正地發(fā)生．因此，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂中教師不厭其煩的反復(fù)講解從實質(zhì)上來說并無助于學(xué)生對新情境、新知識的認知，無助于學(xué)生學(xué)會探究問題．解決問題．
那么，在課堂中教師又該如何處理講和不講呢？進一步地，教師在課堂中究竟該發(fā)揮什么樣的作用呢？事實上，王老師在這一課例中一系列詞句和感嘆句給了我們很好的注解，即教師在課堂中應(yīng)積極地發(fā)揮學(xué)生數(shù)學(xué)活動的組織者、推進者和指導(dǎo)者的作用．
具體地說．王老師在充分挖掘教材和精心組織教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，一上課即出示問題情境讓學(xué)生進行思考、探索（“我們能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論嗎?”)；在“眾生”得出4個結(jié)論之后即組織學(xué)生探究、證明（“能證明這些結(jié)論嗎？”）；在學(xué)生證明它們之后即組織學(xué)生深入研究“通徑中的這些結(jié)論，在拋物線的一般的焦點弦中會怎樣呢？”；在學(xué)生3得出錯誤結(jié)論之后通過追問、質(zhì)疑、設(shè)疑、鼓勵等連續(xù)4個問句組織學(xué)生包括學(xué)生3本人對學(xué)生3的解答進行反思、辨析；隨后又通過設(shè)問“你能證明或否定它嗎？”引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)生8的解答進行辨析、探究；在證明了通徑的焦點弦的性質(zhì)后，通過設(shè)問“那么，通徑是否是拋物線的焦點弦中唯一最短的呢？”，及時地組織學(xué)生探究其唯一性；最后，通過設(shè)問“我們還能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論嗎？”，鼓勵學(xué)生展開思維探索新的結(jié)論，通過設(shè)問“我們還有哪些收獲呢？”鼓勵和提醒學(xué)生從其他方面（思維、情感態(tài)度、價值觀）進行歸納總結(jié)．在課例結(jié)束之際，王老師還不失時機和熱情地鼓勵、組織學(xué)生進行課外研究活動．從而我們清晰地看到，正是通過王老師一系列的問句，探究活動被有條不紊、循序漸進地組織和推進；而學(xué)生不斷地進入思考和深入思考的境地．
特別是每當(dāng)學(xué)生在階段性的研究活動中取得了成果之際．王老師都能及時地予以充分地肯定或表揚（感嘆）．事實上．教師的這種肯定或表揚對處于數(shù)學(xué)探究活動中的學(xué)生來說是十分寶貴的，那是教師對他們的無價獎賞，也是師生情感的一種溝通與交流，是促使他們鼓足干勁，再接再厲，進入下一階段的數(shù)學(xué)探究活動的興奮劑．可見王老師深知學(xué)生的心理需要．從更深入的角度來說，事實上王老師在不知不覺中把自己對學(xué)生智慧的欣賞態(tài)度、對學(xué)生由衷的熱愛之情轉(zhuǎn)化成了推動學(xué)生的探究活動深入發(fā)展的課程資源了．
當(dāng)然，王老師沒有忘記，教師在學(xué)生的探究活動中應(yīng)有的指導(dǎo)作用．比如，對于學(xué)生3的猜想，通過王老師的質(zhì)疑讓學(xué)生明白猜想是需要證明或反駁的；在師生對學(xué)生3的思考討論完畢之余，王老師的小結(jié)讓學(xué)生認識到“在科學(xué)發(fā)現(xiàn)中，錯誤和失敗不僅是在所難免的，也是我們所需要的，很多情況下，真理來自錯誤，成功源自失敗”；王老師還指導(dǎo)學(xué)生注意從學(xué)生3失�。ㄥe誤猜想）的可取（合理）之處著手探究問題的解決，事實上這即是真實的科學(xué)研究的一般方法和歷程；在學(xué)生10解答之余王老師及時地小結(jié)解題思想方法“解析幾何問題一般離不開代數(shù)運算”、“見繁即變，見簡即用，不膠一法，乃為通術(shù)”；在學(xué)生12完成證明之后，王老師即從數(shù)學(xué)哲學(xué)和數(shù)學(xué)方法論上進行了小結(jié)；“邏輯的嚴謹性是數(shù)學(xué)的主要特征．由觀察、猜想獲得的結(jié)論，必須通過嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)演繹論證，才能上升為數(shù)學(xué)定理”；最后，王老師從數(shù)學(xué)及科學(xué)研究的高度對本節(jié)課的數(shù)學(xué)內(nèi)容和師生經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動進行了闡釋．所有這些都使得本節(jié)課教師的教學(xué)和學(xué)生的探究活動從具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容中脫胎出來，上升到一般的科學(xué)研究層面，具有了思維方法論的教育意義．而這正是一般的數(shù)學(xué)教學(xué)所缺乏的！
不過，王老師對學(xué)生11另一種解答的評價“真是得來全不費功夫!”似值商榷．事實上這一評價容易使一些學(xué)生對數(shù)學(xué)生發(fā)一種“神秘”感，也無助于學(xué)生了解方法的來源及其發(fā)生的思維過程，從而就難以對它產(chǎn)生真正的“理解”．其實，學(xué)生11的解法并不是不可捉摸、憑空而來的．從“直線的表達式”這一知識結(jié)構(gòu)出發(fā)便可十分自然地獲得．因此．教師不妨反問學(xué)生11“你是如何得到的”，從而使學(xué)生從知識結(jié)構(gòu)上深入地認識這一解法并獲得相應(yīng)的理解．
�。场〗處熞M可能地“放手”
應(yīng)該說，在這一節(jié)課中，王老師讓學(xué)生充分地進入了數(shù)學(xué)探究活動之中，突出了學(xué)生在課堂中的主體地位．特別是王老師敢于讓學(xué)生經(jīng)歷錯誤，善于指導(dǎo)學(xué)生從錯誤中走出來，避免了弗賴登塔爾所說的“教學(xué)法的顛倒”，體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)教學(xué)即數(shù)學(xué)研究”的教學(xué)思想，是十分值得贊賞的．
但是，筆者在此又愿提出如下意見與大家商討，即在這一節(jié)課中，學(xué)生探究活動的研究性、自主性和廣泛性是否可以進一步改善？
具體地說，由拋物線通徑的性質(zhì)到拋物線一般的焦點弦的性質(zhì)無疑體現(xiàn)了“從特殊到一般”的思想方法，但是這一轉(zhuǎn)折在課例中卻是教師本人給出的，從而是否真正發(fā)揮了應(yīng)有的教育意義就值得懷疑．即如果沒有教師的推廣，學(xué)生能否自主地生發(fā)并由此而深刻地體驗“由特殊到一般”的研究思想？
其次，在學(xué)生6回答完畢之后，教師提出的“那么學(xué)生3的猜想中有合理的地方嗎？”也給人一種“生硬”的感覺．即如果沒有教師這種突兀的指引，學(xué)生能否采取這樣一種策略呢？
事實上，以上兩個地方正是探究活動暨思維教育的重要環(huán)節(jié)，因而我們就不得不為師生感到擔(dān)心：是否錯過了思維教育或磨礪的重要機會？
筆者以為，對于前一問題，我們是否可以這樣處理，即在提出“圓錐曲線的焦點弦問題是解析幾何中一個非常重要的問題．今天，我們就來共同研究拋物線焦點弦的有關(guān)性質(zhì)”這一問題之后，教師并不講授通徑的概念，而是放手讓學(xué)生自行去探究一陣，包括鼓勵和指導(dǎo)學(xué)生幾個人一組地“共同”探究．
可以說，以上的改進方案就給予了學(xué)生更具真實性和挑戰(zhàn)性的問題：沒有了“通徑”這一具體條件，問題更為開放；沒有“通徑”這一特殊情形的提示，對一般情形的研究也更為真實．從而，“問題”給予學(xué)生的探究空間就更為廣闊，引發(fā)的探究性活動就更具自主性．同時，由于給予了學(xué)生自主探究的時間，特別是通過小組共同研究，學(xué)生更易被廣泛地調(diào)動起來，他們的思維也更能在思想的交流、碰撞和啟發(fā)中得到激活，并從不同的角度廣泛和深入地展開，從而為接下來全班性的師生共同研討打下必要的基礎(chǔ)．
事實上，學(xué)生通過自覺或盲目的探究更易發(fā)現(xiàn)并從整體上感知“拋物線的焦點弦的長在它垂直于橫軸時最短，而當(dāng)它的傾斜角由90?°?逐漸減小到0?°?時，拋物線的焦點弦就逐漸變成拋物線的對稱軸，它的長度將由2p趨于無窮大”．而且，由于此種情況下此結(jié)論往往首先是從圖形(的變化）上看出來的，因而就不會像課例中那樣受已有結(jié)論“｜ＡＢ｜＝２ｐ”的干擾了．特殊地，由此數(shù)形結(jié)合思想及解析幾何所蘊含的“運動觀”就能更廣泛地得到體驗和認識．
特別地，由此也更有利于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)觀，體會和認識“特殊到一般”的方法論，增進發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，形成創(chuàng)新的意識和科研的欲望，獲得成功的體驗和成就后的滿足．即,通過以上，學(xué)生可以清晰地看到，“通徑”的概念是數(shù)學(xué)上必要和合理的“創(chuàng)造”，而“特殊”在科學(xué)研究中具有重要的研究價值，“特殊到一般”是科學(xué)研究的重要方法論，學(xué)習(xí)不等于被動接受，他們是可以有所創(chuàng)造的！
對于后一問題，筆者以為，此時完全可以放手讓學(xué)生自行（包括獨立思考和合作討論）去嘗試證明（開放），而沒有必要把學(xué)生的思維突然指引到學(xué)生3的解答上去（收斂）．不要怕學(xué)生找不到合理或高效的思路，學(xué)生在由盲目到自覺、由失敗到成功的曲折歷程（體驗）中更能理解和認識“錯誤之中有合理的地方”、“要善于從失敗之中汲取有益的成分獲得有益的啟示”，這比單純地由教師給出這一道理更為有效——這也是一種啟發(fā)式或灌輸式．
事實上，以上的討論已提醒我們，思維方法的教育一如知識的教授，也是不可灌輸而只能讓學(xué)生從自己已有的知識和經(jīng)驗出發(fā)，在“經(jīng)歷”問題解決的過程中自主建構(gòu)的；在問題解決的過程中，只有方向是他（們）自己選擇的，子問題是他（們）自己提出的，信息是他（們）自己收集處理的，方法是他（們）自己思考（包括相互交流、相互啟發(fā)）獲得的，才能真正地、有效地培養(yǎng)學(xué)生勇于創(chuàng)新的意識、獨立思考的精神、問題解決的能力特別是提出問題的能力，以及合作、交流的行為方式．因此，我們在試圖進行思維方法教育時，就需要進行必要的放手，特別是在某些重要環(huán)節(jié)，我們又必須盡可能地放手，否則易使設(shè)計之中的思維方法教育成為實際上的“知識（經(jīng)驗）灌輸”．
一般地說，在此課例中，問題基本上是教師提出來的，而學(xué)生基本上是被教師從一個問題引領(lǐng)到另一問題，基本上只是在嘗試解決教師所提問題而沒有“提出問題”的行為．特別是在一些探究的關(guān)鍵環(huán)節(jié)上，學(xué)生尚未多加思考時教師便已主動地“牽引”（提問）學(xué)生前行，實是遺憾．
事實上，以上就涉及了一種更為普遍和值得探討的教學(xué)現(xiàn)象，即在許多數(shù)學(xué)課堂上，我們往往看到問題一提出來教師即讓學(xué)生口答，問題最終在教師和幾位學(xué)生的“問——答”之中解決了．當(dāng)然，有時也有一些學(xué)生能跟上來，能聽懂他們之間的對話并參與其中（齊答)．但事實上．由于每個學(xué)生具有的知識和經(jīng)驗不盡相同，他們對問題的感知、理解、探究、解答的方式、方法、進程也是不盡相同的，特別是在速度上往往相差很大．從而在這樣的教學(xué)當(dāng)中，我們就往往可以看到這樣一種現(xiàn)象，即當(dāng)部分（往往是少部分）對問題的感知、理解、探究、解答走在前面的學(xué)生說出他們的思考之際，另一部分（往往是大部分）學(xué)生便喪失了經(jīng)歷對問題的感知、理解、探究、解答的機會，因為發(fā)言者已使他們的認識“一步到位”了．試想，這種“得來全不費功夫”的問題解決對他們來說到底具有多大的意義呢？即便許多學(xué)生能“聽懂”發(fā)言者的解答或他與教師之間的對話!更何況在許多課堂中．許多學(xué)生因此便只能當(dāng)“看客”了．“事非經(jīng)過不知難”．不經(jīng)歷問題解決活動的實際探索過程，特別是不經(jīng)歷其中“發(fā)生錯誤、產(chǎn)生障礙、克服困難、由失敗走向成功”的過程，誰能真正學(xué)會思維，學(xué)會解決問題？
筆者以為，從以上討論可見，此課例在此也存在著這一問題．又比如，從發(fā)表的課例實錄來看，在學(xué)生3的猜想受到質(zhì)疑之際，教學(xué)活動主要是教師與學(xué)生3、4、5、6之間的對話．此時，教師給予了學(xué)生3“充分表達自己想法的機會和探索的時間”，即沒有給予其他學(xué)生足夠的獨立思考或相互討論的時空．那么，除學(xué)生6之外，還有幾人已發(fā)現(xiàn)拋物線的焦點弦的這一性質(zhì)？同樣地，對于拋物線的焦點弦的性質(zhì)的證明，教師也沒有給予學(xué)生獨立思考或相互討論的時空，那么除學(xué)生9之外，還有幾人已想到了設(shè)直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立加以證明？既然舍得花“一分鐘”時間讓學(xué)生動手演算，那么是否可以再花“一分鐘”時間讓學(xué)生動腦思考再組織他們交流、討論呢？
總的來說，瑕不掩玉，從這節(jié)課例我們不難看到，數(shù)學(xué)研究性教學(xué)所展示的數(shù)學(xué)其內(nèi)容是那樣的豐富多彩，其思維是那樣的鮮活生動，整個探究活動是那樣的充滿智慧和挑戰(zhàn)，教育意義是那樣的豐富完整．因此，以研究的方式從事數(shù)學(xué)教學(xué)就可以擺脫傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)?教學(xué)?枯燥無味、有知識教授缺乏能力培養(yǎng)、忽視情?感態(tài)度?價值觀教育等弊端與不足，使數(shù)學(xué)教學(xué)煥發(fā)青春活力．
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