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深究習(xí)例開拓能力
深究是一種重要的思想方法和學(xué)習(xí)方法。教師充分挖掘課本習(xí)、例題的潛能，不僅能開拓學(xué)生的解題思路，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且還能有效地 開拓學(xué)生的能力，提高教學(xué)質(zhì)量。
一、變形創(chuàng)新，培養(yǎng)思維轉(zhuǎn)換能力
思維轉(zhuǎn)換能力是指：由一種思維對(duì)象轉(zhuǎn)移到另一種思維對(duì)象，由一種思維方式過(guò)渡到另一種思維方式的能 力，也就是通常所說(shuō)的思維的靈活性。適當(dāng)?shù)匕褑?wèn)題引伸、變形，對(duì)于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)習(xí)的積極性和 主動(dòng)性，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，拓寬解題思路、培養(yǎng)思維轉(zhuǎn)換能力，有著重要意義。如：
例1，如圖1，MN是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，求證：點(diǎn)A，B與MN的距離和等于⊙O的直徑。（《幾何》第 三冊(cè)P116第8題）
（附圖 {圖}）
圖1
此題是很普通的習(xí)題，但經(jīng)過(guò)深究，不難發(fā)現(xiàn)它的內(nèi)涵之豐富。
（一）解題方法
1.連結(jié)OC，證明半徑OC是直角梯形的中位線。
2.過(guò)C作CG⊥AB，連結(jié)AC、BC，證明△ADC≌△AGC，△BEC≌△BGC得AD=AG，BE=BG
BE AD OC
3.如圖2，連結(jié)OC，延長(zhǎng)AB交MN于P，顯然sinP=──=──=── ?
PB PD OP BE+AD OC BE+AD OC───=── ，即 ───=──PB+PD OP 2OP OP
從而 BE+AD=2OC
（附圖 {圖}）
圖2
（二）變形創(chuàng)新
如果MN不是切線，而是割線，則有
例2，如圖3，AB是⊙O的直徑，MN交⊙O于E、F（E、F在AB的同側(cè)）兩點(diǎn)，AD⊥MN，BC⊥MN，垂足分別為D、 C，連結(jié)AF、AE，設(shè)AD=a，CD=b，BC=c，求證：tg∠DAF和tg∠DAE是方程：ax[2,]-bx+c=0的根
DF+DE DF+DE
證明：①證tg∠DAF+tg∠DAE=───= ────
AD a
b
②過(guò)O作OG⊥EF，證DF=CE，得tg∠DAF+tg∠DAE=── ，
a
BC
③連結(jié)BE，證 ∠CEB=∠DAE，tg∠DAE=tg∠CEB=── ，得
CE
c
tg∠DAF·tg∠DAE=tg∠DAF·tg∠CEB=──結(jié)論已明。
a
（附圖 {圖}）
圖3
二、創(chuàng)設(shè)反面，培養(yǎng)逆向思維能力
所謂逆向思維，就是與原有的思維方向完全相反的思維。逆向思維能有效地打破思維定勢(shì)，啟動(dòng)思維轉(zhuǎn)換 機(jī)制。當(dāng)我們的思維陷入某種困境時(shí)，逆向思維往往使人茅塞頓開。因此，創(chuàng)設(shè)命題的逆命題，是深究問(wèn)題的 又一重要方面。如：
例3，如圖4，Rt△ABC的兩條直角邊AC、BC的長(zhǎng)分別為3cm和4cm，以AC為直徑作圓與斜邊AB交于點(diǎn)D，求： BD的長(zhǎng)。（《幾何》第三冊(cè)P128第2題）
（附圖 {圖}）
（附圖 {圖}）
圖4
此題是很簡(jiǎn)單的解答題，但經(jīng)深究，可創(chuàng)設(shè)：
命題：如圖5，Rt△ABC中，兩條直角邊是AC、BC，以AC為直徑作圓與斜邊AB交于點(diǎn)D，過(guò)D作圓的切線，交 BC于E，求證：E是BC中點(diǎn)。
證明：連結(jié)CD、OD，證EB=ED
從而得：E是BC中點(diǎn)。
（附圖 {圖}）
圖5
逆命題：BC、AC是Rt△ABC的兩條直角邊，以AC為直徑作圓與斜邊AB交于點(diǎn)D，E是BC中點(diǎn)，求證：DE是圓的 切線。
證明：連結(jié)OD、CD、OE，證△ODE≌OCE?∠ODE=∠OCE=90°，結(jié)論得證。
充分挖掘這種習(xí)、例題的潛能，創(chuàng)設(shè)新穎課題，使學(xué)生在積極的探究中學(xué)到了知識(shí)，發(fā)展了智力，提高了 能力。
三、由此及彼，培養(yǎng)思維的廣闊性
思維的廣闊性，也稱為思維的廣度，是指思路的寬廣，富有想象力，善于從多角度、多方向、多層次去思 考問(wèn)題，認(rèn)識(shí)問(wèn)題和解決問(wèn)題。
數(shù)學(xué)習(xí)題浩如煙海，如何從“題海”中解脫出來(lái)，提高教學(xué)能力呢？這就要求我們對(duì)課本的習(xí)、例題不僅 僅滿足于具體方法，而應(yīng)該挖掘題目中的豐富內(nèi)涵，訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性、廣闊性，提高邏輯思維能力和發(fā) 展創(chuàng)造能力。如：
例4，如圖6，△ABC中，E是內(nèi)心，∠A的平分線和△ABC的外接圓相交于D，求證：DE=DB。（《幾何》第三 冊(cè)P117第12題）
證明：連結(jié)BE，證∠BED=∠DBE?DE=DB。
（附圖 {圖}）
圖6
例5，如圖7，△ABC中，∠A和∠B的平分線相交于I，AI交邊BC于D，交△ABC的外接圓于點(diǎn)E，求證；IE[2, ]=AE·DE。
證明：連結(jié)BE，證△BED∽△AEB?BE[2,]=AE·DE，再證IE=BE，即得：IE[2,]=AE·DE。
（附圖 {圖}）
圖7
例6，如圖8，△ABC中，∠A的平分線交BC于F，交△ABC的外接圓于D，連結(jié)BD，過(guò)D作△ABC的外接圓的切線 ，交AC的延長(zhǎng)線于E，如果AB:AC=3:2，BD=3?，DE+EC=6，求：BF的長(zhǎng)。
（附圖 {圖}）
圖8
解：連結(jié)CD，證BD[2,]=BF·DE，
36-2EC
再證AC= ─── ，
EC
12
后證AC= ──，從而求得：BF=4.5。
EC
如果AD不是∠A的平分線，而是△ABC外接圓的直徑，那么有
例7，如圖9，AE是△ABC外接圓的直徑，AE交BC于D，求證：tgB·
ADtgC=──
DE
證明：連結(jié)BE、CE，
AC
證tgB=tgCEA=──
CE
AB
tgC=tgBEA=──
BE
AD AB·AC AD
再證──=──── ，從而得tgB·tgC=──
DE BE·CE DE
（附圖 {圖}）
圖9
如上所述，抓住題目的特征，適當(dāng)?shù)难葑儭⒁臁⑼貙�，不僅溝通了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生思維活動(dòng) 始終處于一種由淺入深，由此及彼，由一題到一路的“動(dòng)態(tài)”進(jìn)程之中，而且充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和 主動(dòng)性，激發(fā)了他們的求知欲望和學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)一步發(fā)展了思維能力。
四、拋磚引玉，特殊試探，發(fā)展智力，提高能力
為了解題的需要，用一些特殊的數(shù)、式、圖形位置試探，從而獲得解題思路。如：
例8，如圖10，△ABC中，∠A的平分線和外接圓相交于D，BE是圓的切線，DF⊥BC，DG⊥BE，垂足分別為F， G。
(1)求證：DF=DG（《幾何》第三冊(cè)P131第6題）。
(2)設(shè)R是BD上一點(diǎn)（不包括點(diǎn)B）。
求證：S△RGB:S△RBC=1:2
(1)證明：連結(jié)BD，證∠CBD=∠EBD，即得DF=DG。
(2)分析：這是個(gè)定值的論證，且定值為1:2，如何尋求這個(gè)定值呢？一個(gè)命題在一般情況下是正確的，則 在特殊情況下也必然正確。本題動(dòng)點(diǎn)R在BD上，那么把點(diǎn)R取在點(diǎn)D處，DF⊥BC，垂足為F，不難證明BF:BC=1:2， 也容易證明BD是∠CBE的平分線，點(diǎn)R在BD上，因?yàn)辄c(diǎn)R到∠CBE兩邊的距離相等，所以△RBG與△RBC的面積比與 R在BD所取的位置無(wú)關(guān)，現(xiàn)在只要證明BG=BF。
1
證明：①證BF=── BC ，
2
②證BG=BF，
③設(shè)點(diǎn)R到BG、BC的距離分別為h[,1]、h[,2]，則h[,1]=h[,2]
所以，S△RGB:S△RBC=1:2。
（附圖 {圖}）
圖10
又如例9，如圖11，P是⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別和⊙O切于點(diǎn)A、B，PA=PB=4cm，∠APB=40°，C是弧AB上任 意一點(diǎn)，過(guò)C作⊙O的切線，分別交PA、PB于D、E。求：(1)△PDE的周長(zhǎng)，(2)∠DOE的度數(shù)。（《幾何》第三冊(cè) P133第2題）
解：連結(jié)OA、OB、OC，①證DC=DA，EC=EB，可求得△PAB的周長(zhǎng)=PA+PB=8(cm)，②證
1 1
∠DOC=─ ∠AOC，∠EOC=─∠BOC
2 2
可求得∠DOE=70°
（附圖 {圖}）
圖11
本題難度不大，但在原題基礎(chǔ)上加以變換更新，能使題目新穎，更有效地培養(yǎng)學(xué)生的智力，提高解題能力 。如：
例10，如圖12，P是⊙O外一點(diǎn)，PA、
PB分別和⊙O切于點(diǎn)A，B，PA=PB=L，∠APB=n°，C是弧AB上任意一點(diǎn) ，過(guò)C作⊙O的切線分別交PA、PB于D、E，求證：△PDE的周長(zhǎng)和∠DOE的度都為定值。
分析：定值問(wèn)題中的所求“定”而無(wú)“值”，證明方向不明，這是這類問(wèn)題最大的難處，如何突破這個(gè)難 關(guān)呢？可以這樣引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生：C是弧AB上任意一點(diǎn)，那么把點(diǎn)C取在弧AB的中點(diǎn)上，射線PCO是∠APB的對(duì)稱 軸，射線DO是∠ADC的對(duì)稱軸，由此可得△PDE的周為定值2L，∠DOE
1的定值為90°- ──n°，那么一般地就要證明：PD+DC+CE+PE=2L
2
1和∠DOC+∠EOC=90°- ─ n°成立。從求證式的結(jié)構(gòu)特征，容易想
2到，證明中必須用切線長(zhǎng)定理。
連結(jié)OA、OB、OC
∵DA、DC分別切⊙O于A、C
1
∴DC=DA，∠DOC=─ ∠AOC，
2
1
同理：CE=EB，∠EOC=─ ∠BOC
2
∴PD+DC+EC+PE=PD+DA+EB+PE=2L
1 1
∠DOC+∠EOC=── (∠AOC+∠BOC)=90°- ── n°
2 2
1
即PD+DE+PE=2L，∠DOE=90°- ──n°，結(jié)論已明。
2
（附圖 {圖}）
圖12
課本習(xí)、例題有豐富的內(nèi)涵，對(duì)強(qiáng)化雙基，開發(fā)智力，培養(yǎng)能力，有著極大的潛在價(jià)值。深入挖掘其豐富 內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)挠^察、比較、猜測(cè)、聯(lián)想、引伸、拓廣，由此及彼等思維訓(xùn)練，不僅可以把彼此孤 立的知識(shí)串聯(lián)成線，聯(lián)結(jié)成網(wǎng)，溝通成面，使學(xué)生解一題明一路，提高學(xué)習(xí)效率，而且還可以有效地培養(yǎng)學(xué)生 各種思維能力，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題和探索創(chuàng)新的能力。
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