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數(shù)學(xué)美與數(shù)學(xué)教學(xué)
學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的態(tài)度有驚人的差異，這很大程度上歸因于對(duì)數(shù)學(xué)美的領(lǐng)悟和鑒賞。數(shù)學(xué)美是一種極其嚴(yán)肅、雅致和含蓄的美，學(xué)生受到基礎(chǔ)知識(shí)和審美能力的限制，并不都具有理想的鑒賞能力。因此，喚醒他們對(duì)數(shù)學(xué)的美好情感，倡導(dǎo)對(duì)數(shù)學(xué)美的崇尚是數(shù)學(xué)教育的任務(wù)之一一、數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)美與教學(xué)
數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)主要包括數(shù)學(xué)概念、命題、法則以及內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)知識(shí)的和諧美和簡練美是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)美的兩個(gè)主要方面。
數(shù)學(xué)知識(shí)的和諧美是數(shù)學(xué)的普遍形式。教學(xué)時(shí)，教師不但要對(duì)這種美有較深刻的領(lǐng)悟，且要能藝術(shù)地表現(xiàn)出來。例如，在推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，由定義“到兩定點(diǎn)F[,1](c,0)和F[,2](-c,0)距離之和為定長2a的點(diǎn)的軌跡”可直接寫出方程：。這個(gè)方程能正確地表達(dá)橢圓的代數(shù)形式，但比較復(fù)雜，更不便于計(jì)算，故化簡整理成。方程中的b開始似乎純粹是為了追求方程的和諧美而引進(jìn)的，但在研究橢圓性質(zhì)時(shí)，可進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)a、b恰好為橢圓的長、短半軸長，b竟有鮮明的幾何解釋。人們內(nèi)心世界所追求的美恰好在外部世界得到如此完美的表現(xiàn)，這實(shí)際上也體現(xiàn)了美與美之間和諧的統(tǒng)一。教師在推導(dǎo)過程中的示范，喚醒了學(xué)生的審美意識(shí)，學(xué)生也進(jìn)入到美的境界，得到美的享受。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生根據(jù)定義畫出橢圓，且要求他們用生動(dòng)形象的數(shù)學(xué)語言表達(dá)自己的思維活動(dòng)。這樣，再讓學(xué)生感受和體驗(yàn)美的同時(shí)，激勵(lì)他們創(chuàng)造美，使數(shù)學(xué)美在教學(xué)中的作用發(fā)揮得淋漓盡致。
數(shù)學(xué)知識(shí)的簡練美是數(shù)學(xué)的主要藝術(shù)特色�！皵�(shù)的整除”一章是《初等數(shù)論》中的一部分，為了照顧小學(xué)生的年齡特點(diǎn)，教材進(jìn)行了簡化處理，結(jié)構(gòu)如下圖：
附圖
由圖看出，本章以倍數(shù)、約數(shù)為核心構(gòu)建了知識(shí)的結(jié)構(gòu)美。事實(shí)上，對(duì)簡練美的追求是數(shù)學(xué)研究的一部分，它促進(jìn)了數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，也有益于知識(shí)的系統(tǒng)化。而數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性，成為知識(shí)發(fā)展的主要特點(diǎn)：數(shù)學(xué)內(nèi)容的發(fā)生和發(fā)展都是與它的知識(shí)點(diǎn)的形成分不開的，若干個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，既具有縱向的順序性，又具有橫向的層次性。
二、數(shù)學(xué)思維的協(xié)同美與教學(xué)
數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對(duì)象交互作用并按一般的思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)規(guī)律的過程。數(shù)學(xué)思維的協(xié)同美大體上可從以下兩個(gè)方面表現(xiàn)出來。
歸納和演繹的相互作用。數(shù)學(xué)中大量地需要?dú)w納，同時(shí)也需要演繹，在許多情況下兩者互為作用的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，總是既用歸納又用演繹。盡管兩者有各自不同的特點(diǎn)，但演繹推理的大前提——表示一般原理的全稱判斷要靠歸納推理來提供。為了增強(qiáng)歸納推理的可靠性，不管是以一般原理作指導(dǎo)還是對(duì)歸納推理的前提進(jìn)行分析，都要用演繹推理。歸納和演繹在思維運(yùn)行過程中這種辯證統(tǒng)一正體現(xiàn)了兩者之間是交互為用的。
在小學(xué)數(shù)學(xué)中，限于兒童的認(rèn)知水平，數(shù)學(xué)知識(shí)的出現(xiàn)，較多地依賴于直觀、實(shí)驗(yàn)和歸納，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行演繹，以不斷提高學(xué)生的邏輯推理能力。例如加法交換律，最早出現(xiàn)在一年級(jí)，顯然不可能進(jìn)行演繹論證，只能通過計(jì)算實(shí)踐，由8+5=13,5+8=13等歸納出加法交換律，但在對(duì)加法交換律的反復(fù)應(yīng)用中又讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)演繹思想，因此，在教學(xué)中要貫徹“歸納與演繹交互為用”的原則。
形式邏輯與辯證邏輯的并重和統(tǒng)一。一方面，數(shù)學(xué)中大量存在相對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)，我們能用形式邏輯思維的方法進(jìn)行分析和研究數(shù)學(xué)對(duì)象。另一方面，也存在顯著的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如有限與無限的相互轉(zhuǎn)化，代數(shù)、幾何、三角各學(xué)科之間的轉(zhuǎn)化以及數(shù)學(xué)各種相關(guān)運(yùn)算方法的發(fā)展與對(duì)立統(tǒng)一等，故能用辯證思維的方法認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念的形成和關(guān)系的不斷發(fā)展變化。因此，在教學(xué)時(shí)要貫徹形式邏輯思維與辯證邏輯思維并重和統(tǒng)一的原則，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。以數(shù)學(xué)概念教學(xué)為例，按形式邏輯思維規(guī)律，對(duì)于每一個(gè)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)要前后一致，而且不容許存在不相容。如果存在著兩個(gè)互相排斥的認(rèn)識(shí)，那么其中必有一真一假，概念數(shù)學(xué)必須遵循上述邏輯規(guī)則進(jìn)行。但同時(shí)也應(yīng)指出，用運(yùn)動(dòng)和發(fā)展的觀點(diǎn)來思考，數(shù)學(xué)概念也是隨著學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)的發(fā)展而發(fā)展的。許多對(duì)立的概念可以統(tǒng)一起來（如實(shí)數(shù)和虛數(shù)同處于復(fù)數(shù)中），一個(gè)概念在不同的場合或不同的條件下可能有不同的認(rèn)識(shí)（如三角函數(shù)的概念，最初學(xué)習(xí)的是銳角的正弦、余弦、正切和余切，被理解為直角三角形中一個(gè)銳角的對(duì)邊比斜邊、鄰邊比斜邊、對(duì)邊比鄰邊和鄰邊比對(duì)邊，以后發(fā)展到任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割），即使在小學(xué)數(shù)學(xué)的發(fā)展中也是這樣。我們知道，數(shù)學(xué)的發(fā)展歸根到底是數(shù)學(xué)概念的不斷發(fā)展，這種發(fā)展又有自身的規(guī)律。人們常說的概念是在發(fā)展中形成，而且又是在形成后不斷發(fā)展的，所以一個(gè)數(shù)學(xué)概念具有確定性和靈活性兩個(gè)特點(diǎn)。就像“乘法”這個(gè)概念在整數(shù)和分?jǐn)?shù)中具有不同的數(shù)學(xué)含義一樣。正如列寧所說“所有的定義都只有有條件的、相對(duì)的意義，永遠(yuǎn)也不能包括充分發(fā)展的現(xiàn)象的各方面聯(lián)系”。這正是辯證邏輯思維在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)，與形成邏輯思維相比更高一級(jí)。
三、數(shù)學(xué)方法的奇異美與教學(xué)
恩格斯認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一門研究思想事物的抽象的科學(xué)。確實(shí)，數(shù)學(xué)具有兩重屬性，這兩重性可簡單地概括為：一是數(shù)學(xué)知識(shí)，二是數(shù)學(xué)思想方法。而數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)中最本質(zhì)的東西，數(shù)學(xué)方法的奇異美常常成為產(chǎn)生新思想、新方法和新理論的起點(diǎn)，使規(guī)律化、程式化的世界出現(xiàn)意外的、帶有獨(dú)創(chuàng)性的成果，令人興奮和激動(dòng)。
如：“凸n(n＞4)邊形的對(duì)角線最多有幾個(gè)交點(diǎn)？”這個(gè)問題，按照習(xí)慣，也許會(huì)從四邊形開始，逐步通過五邊形、六邊形……來構(gòu)造對(duì)角線的交點(diǎn)，從中歸納出一般規(guī)律。當(dāng)一次次構(gòu)造的嘗試都未獲得理想的結(jié)果時(shí)，我們要敢于放棄傳統(tǒng)方法，另辟蹊徑：一個(gè)交點(diǎn)是由兩條對(duì)角線相交而成，兩條對(duì)角線由四個(gè)頂點(diǎn)確定，而凸n邊形任意四個(gè)頂點(diǎn)都能且只能確定一個(gè)交點(diǎn)，于是問題就轉(zhuǎn)化為“在n個(gè)頂點(diǎn)中任意取四個(gè)，共有幾種取法？”新穎的方法帶來了意想不到的效果，這便是化歸法的奇異美所在。我們?cè)趥魇跀?shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，更應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)方法的滲透，要求學(xué)生掌握方法的同時(shí)，能構(gòu)造出解題模式，使數(shù)學(xué)美得到升華。
數(shù)和形是數(shù)學(xué)中最基本的兩大概念，是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)重要側(cè)面，所以數(shù)形結(jié)合法是數(shù)學(xué)研究的重要思想方法。教學(xué)時(shí)，可利用數(shù)形結(jié)合來啟發(fā)學(xué)生的直覺思維。如對(duì)于具有極限意義的問題學(xué)生很難理解其結(jié)果，可以這樣做：讓學(xué)生觀察下圖，先將單位正方形分成100個(gè)小正方形，將99個(gè)涂上陰影；再將剩下的一個(gè)分成100個(gè)小正方形，將99個(gè)涂上陰影；如此無限下去，所有涂上陰影的小正方形的面積的和便為1，即，結(jié)果直接可從圖中得出。從這可以看出數(shù)形結(jié)合是直覺思維的橋梁，我們應(yīng)利用這一橋梁，使學(xué)生從美學(xué)角度審視或整理自己掌握的知識(shí)，這樣能使他們的知識(shí)結(jié)構(gòu)更完整、更充實(shí)。同時(shí)，為了使學(xué)生畫圖準(zhǔn)確、迅速、美觀，教學(xué)時(shí)我們可以開展構(gòu)圖比賽，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造美的能力。
附圖
綜上所述，數(shù)學(xué)正如羅素所說：“數(shù)學(xué)，如果正確地看它，不但擁有真理，而且有至高的美�！痹跀�(shù)學(xué)教學(xué)中，要充分挖掘數(shù)學(xué)美的因素，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)美的追求，使他們擺脫“苦學(xué)”的束縛，走入“樂學(xué)”的天地。
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