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下學(xué)期 5.5 線段的定比分點
一.教學(xué)目標(biāo)
1.理解點P分有向線段所成的比λ的含義,能確定λ的正負(fù)號;
2.掌握有向線段的定比分點和中點的坐標(biāo)公式,并能熟練運用這兩個公式解決實際問題;
3.向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想,培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,發(fā)現(xiàn)事物間的變化規(guī)律.
二.教學(xué)重點 線段的定比分點和終點的坐標(biāo)公式的應(yīng)用.
教學(xué)難點 用線段的定比分點坐標(biāo)公式解題時區(qū)分λ>0還時λ<0.
三.教學(xué)具準(zhǔn)備
投影儀,直尺.
四.教學(xué)過程
1.設(shè)置情境
已知線段 的兩個端點 、 , 為線段 所在直線上任一點,由共線向量知識,必有 .我們能否解決這樣的問題,(1)已知 及 、 ,求P點坐標(biāo) ;(2)已知 、 及 ,求 值.
本節(jié)課就來討論上述兩個問題,(板書課題——線段的定比分點)
2.探索研究
(1)師:請同學(xué)們回憶敘述向量的加、減、實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運算法則.
生:兩個向量的和(差)的坐標(biāo),等于這兩個向量的相應(yīng)的坐標(biāo)的和(差);實數(shù)與向量的積的坐標(biāo),等于這個實數(shù)與這個向量的相應(yīng)坐標(biāo)的積.
師:已知直線l上兩點 、 ,在直線l上取不同于 、 的任一點P,則P點的位置有哪幾種情形?
生:有三種情形,P在 之間;P在 的延長線上,P在 的延長線上.
師:請得很好,下面我們就P在直線 上的三種情況給出定義:
設(shè) 、 是直線l上的兩點,點P是l上不同于 、 的任意一點,若存在一個實數(shù) 使 ,則 叫做點P分有向線段 所成的比.
你能根據(jù)P點的三種不同的位置和實數(shù)與向量的積的向量方向確定 的取值范圍嗎?(啟發(fā)學(xué)生從向量的方向上考慮)
生:當(dāng)P在 之間時, 與 方向相同,所以 ;當(dāng)點P在 的延長線上時, ;若點P在 的延長線上時,同理可得 .
下面我們利用平面向量的坐標(biāo)運算推導(dǎo)定比分點坐標(biāo)公式
師:設(shè) , ,P分 所成的比為 ,如何求P點的坐標(biāo)呢?
(按以下思路引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考)
師:設(shè) ,你能用坐標(biāo)表示等式 嗎?
生:
師:由兩個向量相等的條件,可以得出什么結(jié)論呢?
生:
師:對!這就是線段 的定比分點P的坐標(biāo)公式,特別地,當(dāng) 時,得中點P的坐標(biāo)公式:
。2)例題分析
【例1】 已知兩點 , ,求點 分 所成的比 及y的值.
解:由線段的定比分點坐標(biāo)公式得
【例2】 如圖所示, 的三個頂點的坐標(biāo)分別為 , , ,D是邊AB的中點,G是CD上的一點,且 ,求點G的坐標(biāo).
解:∵D是AB的中點
∴點D的坐標(biāo)為
∵
∴
由定比分點坐標(biāo)公式可得G點坐標(biāo)為:
即點G的坐標(biāo)為 ,也就是 的重心的坐標(biāo)公式.
3.演練反饋(投影)
。1)如圖所示,點B分有向線段 的比為 ,點C分有向線段 的比為 ,點A分有向線段 的比為 .
。2)連結(jié)A(4,1)和B(-2,4)兩點的直線,和x軸交點的坐標(biāo)是 ,和y軸交點的坐標(biāo)是 .
(3)如圖所示, 中,AB的中點是D(-2,1),AC的中點是E(2,3),重心是G(0,1),求A、B、C的坐標(biāo).
參考答案:(1) ;(2)(6,0)、(0,3);(3)用三角形基法作圖得:A(0,5),B(-4,-3),C(4,1)
4.總結(jié)提煉
(1)定比分點的幾種表達(dá)方式:
……向量式
……坐標(biāo)式
……公式形式
。2)中點公式,重心公式要熟記.
。3)定比分點公式也是判定或證明兩向量是否共線、平行的有效方法.
五.板書設(shè)計
1.定比分點的定義
(1)內(nèi)分點 3.例1
(2)外分點
a.
b.
2.分點坐標(biāo)公式 4.演練反饋
a. 5.總結(jié)提煉
b.
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