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數(shù)學(xué)教案－正多邊形的有關(guān)計(jì)算
教學(xué)設(shè)計(jì)示例1
教學(xué)目標(biāo)：
�。�1）會(huì)將正多邊形的邊長(zhǎng)、半徑、邊心距和中心角、周長(zhǎng)、面積等有關(guān)的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題；
�。�2）鞏固學(xué)生解直角三角形的能力，培養(yǎng)學(xué)生正確迅速的運(yùn)算能力；
（3）通過正多邊形有關(guān)計(jì)算公式的推導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生探索和創(chuàng)新．
教學(xué)重點(diǎn):
把正多邊形的有關(guān)計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．
教學(xué)難點(diǎn):
正確地將正多邊形的有關(guān)計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題解決、綜合運(yùn)用幾何知識(shí)準(zhǔn)確計(jì)算．
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì):
�。ㄒ唬﹦�(chuàng)設(shè)情境、觀察、分析、歸納結(jié)論
1、情境一：給出圖形．
問題1：正n邊形內(nèi)角的規(guī)律．
觀察：在圖形中，應(yīng)用以有的知識(shí)（多邊形內(nèi)角和定理，多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等）得出新結(jié)論．
教師組織學(xué)生自主觀察，學(xué)生回答．（正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于 ．）
2、情境二：給出圖形．
問題2：每個(gè)圖形的半徑，分別將它們分割成什么樣的三角形？它們有什么規(guī)律？
教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，學(xué)生回答．
觀察：三角形的形狀，三角形的個(gè)數(shù)．
歸納：正n邊形的n條半徑分正n邊形為n個(gè)全等的等腰三角形．
3、情境三：給出圖形．
問題3：作每個(gè)正多邊形的邊心距，又有什么規(guī)律？
觀察、歸納：這些邊心距又把這n個(gè)等腰三角形分成了個(gè)直角三角形，這些直角三角形也是全等的．
�。ǘ┒ɡ�、理解、應(yīng)用：
1、定理： 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n 個(gè)全等的直角三角形．
2、理解：定理的實(shí)質(zhì)是把正多邊形的問題向直角三角形轉(zhuǎn)化．
由于這些直角三角形的斜邊都是正n邊形的半徑R，一條直角邊是正n邊形的邊心距rn，另一條直角邊是正n邊形邊長(zhǎng)an的一半，一個(gè)銳角是正n邊形中心角 的一半，即 ，所以，根據(jù)上面定理就可以把正n邊形的有關(guān)計(jì)算歸結(jié)為解直角三角形問題．
3、應(yīng)用：
例1、已知正六邊形ABCDEF的半徑為R，求這個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)P6和面積S6．
教師引導(dǎo)學(xué)生分析解題思路：
n=6 =30°，又半徑為R a6 、r6． P6、S6．
學(xué)生完成解題過程，并關(guān)注學(xué)生解直角三角形的能力．
解：作半徑OA、OB；作OG⊥AB，垂足為G，得Rt△OGB．
∵∠GOB= ，
∴a6 =2·Rsin30°=R，
∴P6=6·a6=6R，
∵r6=Rcos30°= ，
∴ ．
歸納：如果用Pn表示正n邊形的周長(zhǎng)，由例1可知，正n邊形的面積S6= Pn rn．
4、研究：（應(yīng)用例1的方法進(jìn)一步研究）
問題：已知圓的半徑為R，求它的內(nèi)接正三角形、正方形的邊長(zhǎng)、邊心距及面積．
學(xué)生以小組進(jìn)行研究，并初步歸納：
； ； ； ；
； ．
上述公式是運(yùn)用解直角三角形的方法得到的．
通過上式六公式看出，只要給定兩個(gè)條件，則正多邊形就完全確定了．例如：(1)圓的半徑或邊數(shù)；(2)圓的半徑和邊心距；(3)邊長(zhǎng)及邊心距，就可以確定正多邊形的其它元素．
�。ㄈ┬」�(jié)
知識(shí)：定理、正三角形、正方形、正六邊形的元素的計(jì)算問題．
思想：轉(zhuǎn)化思想．
能力：解直角三角形的能力、計(jì)算能力；觀察、分析、研究、歸納能力．
（四）作業(yè)
歸納正三角形、正方形、正六邊形以及正n邊形的有關(guān)計(jì)算公式．
教學(xué)設(shè)計(jì)示例2
教學(xué)目標(biāo)：
�。�1）進(jìn)一步研究正多邊形的計(jì)算問題，解決實(shí)際應(yīng)用問題；
�。�2）通過正十邊形的邊長(zhǎng)a10與半徑R的關(guān)系的證明，學(xué)習(xí)邊計(jì)算邊推理的數(shù)學(xué)方法；
�。�3）通過解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模能力；
�。�4）培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)意識(shí)，滲透理論聯(lián)系實(shí)際、實(shí)踐論的觀點(diǎn)．
教學(xué)重點(diǎn):
應(yīng)用正多邊形的基本計(jì)算圖解決實(shí)際應(yīng)用問題及代數(shù)計(jì)算的證明方法．
教學(xué)難點(diǎn):
例3的證明方法．
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：
（一）知識(shí)回顧
�。�1）方法：運(yùn)用將正多邊形分割成三角形的方法，把正多邊形有關(guān)計(jì)算轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題．
�。�2）知識(shí)：正三角形、正方形、正六邊形的有關(guān)計(jì)算問題，正多邊形的有關(guān)計(jì)算．
； ； ； ；
； ．
組織學(xué)生填寫教材P165練習(xí)中第2題的表格．
（二）正多邊形的應(yīng)用
正多邊形的有關(guān)計(jì)算方法是基本的幾何計(jì)算知識(shí)之一，掌握這些知識(shí)，一方面可以為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，另一方面，這些知識(shí)在生產(chǎn)和生活中常常會(huì)用到，掌握后對(duì)學(xué)生參加實(shí)踐活動(dòng)具有實(shí)用意義．
例2、在一種聯(lián)合收割機(jī)上，撥禾輪的側(cè)面是正五邊形，測(cè)得這個(gè)正五邊形的邊長(zhǎng)是48cm，求它的半徑R5和邊心距r5(精確到0.1cm)．
解：設(shè)正五邊形為ABCDE，它的中心為點(diǎn)O，連接OA，作OF⊥AB，垂足為F，則OA=R5，OF=r5，∠AOF= ．
∵AF= （cm），∴R5= （cm）．
r5= （cm）．
答：這個(gè)正多邊形的半徑約為40.8cm，邊心距約為33.0cm
建議：①組織學(xué)生，使學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)；②滲透簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模思想和實(shí)際應(yīng)用意識(shí)；③對(duì)與本題除解直角三角形知識(shí)外，還要主要學(xué)生的近似計(jì)算能力的培養(yǎng)．
以小組的學(xué)習(xí)形式，每個(gè)小組自己舉一個(gè)實(shí)際生活中的例子加以研究，班內(nèi)交流．
例3、已知：正十邊形的半徑為R，求證：它的邊長(zhǎng) ．
教師引導(dǎo)學(xué)生：
�。�1）∠AOB=？
�。�2）在△OAB中，∠A與∠B的度數(shù)？
�。�3）如果BM平分∠OBA交OA于M，你發(fā)現(xiàn)圖形中相等的線段有哪些？你發(fā)現(xiàn)圖中三角形有什么關(guān)系？
�。�4）已知半徑為R，你能不通過解三角形的方法求出AB嗎？怎么計(jì)算？
解：如圖，設(shè)AB=a10．作∠OBA的平分線BM，交OA于點(diǎn)M，則
∠AOB=∠1=∠2=36°，∠OAB=∠3=72°．
∴OM=MB=AB= a10．
△ OAB∽△BAM OA:AB=BA:AM，即R :a10= a10:（R- a10），整理，得
， （取正根）．
由例3的結(jié)論可得 ．
回顧：黃金分割線段．AD2=DC·AC，也就是說點(diǎn)D將線段AC分為兩部分，其中較長(zhǎng)的線段AD是較小線段CD與全線段AC的比例中項(xiàng)．頂角36°角的等腰三角形的底邊長(zhǎng)是它腰長(zhǎng)的黃金分割線段．
反思：解決方法．在推導(dǎo)a10與R關(guān)系時(shí)，輔助線角平分線是怎么想出來的．解決方法是復(fù)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)、判定及相似三角形的有關(guān)知識(shí)．
練習(xí)P.165中練習(xí)1
(三)總結(jié)
�。�1）應(yīng)用正多邊形的有關(guān)計(jì)算解決實(shí)際問題；
（2）綜合代數(shù)列方程的方法證明了 ．
�。ㄋ模┳鳂I(yè)
教材P173中8、9、10、11、12．
探究活動(dòng)
已知下列圖形分別為正方形、正五邊形、正六邊形，試計(jì)算角 、 、 的大�。�
探究它們存在什么規(guī)律？你能證明嗎？
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