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淺析數(shù)列求和法
淺析數(shù)列求和法作者/馬春艷
摘 要：數(shù)列求和是高中數(shù)學(xué)知識(shí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，它在高考中出現(xiàn)的頻率高，題型多種多樣，考查方式靈活。將數(shù)列求和的方法進(jìn)行總結(jié)和歸納能夠幫助學(xué)生找到其中的解題規(guī)律，提高該類型題的成功率。
關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)列求和；方法；歸納
求數(shù)列的前n項(xiàng)和是數(shù)列題中的高頻考點(diǎn)。它的考查十分靈活，題型變化多樣，有以選擇題的方式出現(xiàn)，有的則是填空題，甚至還會(huì)以一道綜合大題的方式進(jìn)行考查。本文通過(guò)用列舉典型題的方式，總結(jié)歸納了6種常見(jiàn)的數(shù)列求和方法，供大家參考。
一、倒序相加法
如果一個(gè)數(shù)列{an},與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。倒序相加法是數(shù)列求和當(dāng)中應(yīng)用最廣的一種解題方法，它的基本類型可以用公式表示為：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3…具體解法見(jiàn)下面的例題。
例：設(shè)等差數(shù)列{an},公差為d,求證：{an}的前n項(xiàng)和Sn=n（a1+an）/2
解：Sn=a1+a2+a3+…+an①
倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1②
�、�+②得：2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+（a3+an-2）+…+（an+a1）
又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1
∴2Sn=n（a2+an） Sn=n（a1+an）/2
倒序相加法的解題關(guān)鍵就是要能夠看到首項(xiàng)和末項(xiàng)之間的關(guān)系，這就需學(xué)生要有一定的敏感度，一眼就能找準(zhǔn)解題的方法，然后就是要細(xì)心地做。(m.panasonaic.com)因此，做數(shù)列題除了要注意總結(jié)和歸納解題方法外，大量的習(xí)題訓(xùn)練也是十分必要的。
二、用公式法
對(duì)等差數(shù)列、等比數(shù)列，求前n項(xiàng)和Sn可直接用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解。等差數(shù)列的基本求和公式為：Sn=（a1+an）n/2;變形公式為Sn=na1+n（n-1）d/2（d為公差）。等比數(shù)列的求和公式為：Sn=na1（q=1）；Sn=a1（1-qn）/（1-q）=（a1-anq）/（1-q）（q≠1）（q為公比，n為項(xiàng)數(shù)）。利用公式來(lái)求數(shù)列之和是一種比較基本的題型，它的難度不大，只要掌握基本公式，并且具有一定的敏感度就能做對(duì)這類型的題。
三、裂項(xiàng)相消法
裂項(xiàng)相消法是數(shù)列求和中比較難的一類題型，因?yàn)樗缓每闯鰯?shù)列之間的規(guī)律。如果裂項(xiàng)不對(duì)，也不能將問(wèn)題解出。裂項(xiàng)相消法的解題原理是：將數(shù)列的一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，使得前后項(xiàng)相抵消，留下有限項(xiàng)，從而求出數(shù)列的前n項(xiàng)和。
四、錯(cuò)位相減法
若在數(shù)列{an·bn}中，{an}成等差數(shù)列，{bn}成等比數(shù)列，在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯(cuò)位相減整理后即可以求出{anbn}前n項(xiàng)和。
錯(cuò)位相減法其實(shí)并不難，關(guān)鍵是要細(xì)心，要能找好兩個(gè)式子之間的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，如果二者相減的時(shí)候沒(méi)有找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)項(xiàng)，即便思路再對(duì)，也會(huì)滿盤皆輸。因此，做任何一道數(shù)列題，都要求書寫工整，格式規(guī)范，以免造成不必要的失分。
五、疊加法
疊加法主要應(yīng)用于數(shù)列{an}滿足an+1=an+f（n），其中f（n）在等差數(shù)列或等比數(shù)列的條件下，可把這個(gè)式子變成an+1-an=f（n），代入各項(xiàng)，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經(jīng)過(guò)整理，可求出an,從而求出Sn.
六、分組求和法
分組求和法就是對(duì)一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，最后將其合并的方法。記住了這一類題型的特點(diǎn)，就能準(zhǔn)確找到解題思路。
總之，數(shù)列求和以其靈活多變的出題方式和較高的錯(cuò)題率成為高中數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)。這類題雖然難，但也并不是無(wú)規(guī)律可循的。萬(wàn)變不離其宗，教師在講課當(dāng)中應(yīng)該幫助學(xué)生多多總結(jié)歸納相關(guān)的解題技巧和解題方法，并配合適當(dāng)?shù)脑囶}訓(xùn)練；學(xué)生自身也要多思考，可以準(zhǔn)備一個(gè)錯(cuò)題記錄本時(shí)常翻看，有助于將這類問(wèn)題消化吸收，最終將其完全掌握。
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