德國(guó)小學(xué)的應(yīng)用題教學(xué)的改革

６０年代以來(lái)應(yīng)用題教學(xué)的地位在德國(guó)經(jīng)歷了一場(chǎng)戲劇性的變化。１９７０年—１９７６年由于皮亞杰理 論的影響，應(yīng)用題地位迅速下降，處于從屬地位，而計(jì)算題則處于主要地位，這一階段人們稱(chēng)之謂“小學(xué)數(shù)學(xué) 教育起了根本的變化”。１９７６年開(kāi)始，由于家長(zhǎng)的憤怒與教學(xué)實(shí)踐中產(chǎn)生的實(shí)際情況，迫使他們對(duì)數(shù)學(xué)教 育進(jìn)行新的權(quán)衡，天平又回復(fù)了。促進(jìn)思維與技算技能被看得同等重要，應(yīng)用題又顯得重要了。人們認(rèn)為，經(jīng) 過(guò)改革后的應(yīng)用題教學(xué)既能鍛煉理解數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的能力，又能鍛煉計(jì)算技能。
    經(jīng)過(guò)多年的討論，他們認(rèn)為應(yīng)用題教學(xué)的目的是：
    １．培養(yǎng)兒童從周?chē)�客觀環(huán)境事物中抽象出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)關(guān)系的能力。
    ２．培養(yǎng)兒童的計(jì)算技能，并使他們能正確地運(yùn)用四則運(yùn)算解決問(wèn)題。
    ３．應(yīng)用題中涉及的具體知識(shí)可以深化學(xué)生對(duì)某一專(zhuān)門(mén)領(lǐng)域的了解，使專(zhuān)業(yè)知識(shí)得到發(fā)展。
    ４．通過(guò)解題可以訓(xùn)練、培養(yǎng)學(xué)生的思維，更重要的是還可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，達(dá)到提高學(xué)生解決 問(wèn)題和創(chuàng)造性解決問(wèn)題的能力。
    德國(guó)當(dāng)前的應(yīng)用題教學(xué)（即改革后的應(yīng)用題教學(xué)）強(qiáng)調(diào)，所教的內(nèi)容應(yīng)該取自于孩子們周?chē)�環(huán)境中的實(shí)際 問(wèn)題。他們認(rèn)為：在小學(xué)里，兒童學(xué)習(xí)如何通過(guò)數(shù)的幫助，來(lái)了解周?chē)�世界的真相，是一個(gè)很重要的方面。所 以培養(yǎng)兒童運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來(lái)掌握某一周?chē)�世界情況的能力是至關(guān)重要的。現(xiàn)實(shí)生活中，在對(duì)某一問(wèn)題考慮出一 個(gè)可能的解決方法之前，很少會(huì)有一切必不可少的事項(xiàng)、數(shù)據(jù)、陳述、關(guān)系都已在手頭齊全了，首先必須對(duì)之 加以搜集、挑選、整理、比較，然后才是提出問(wèn)題，接著是尋求解決方法，最后是得出答案。而在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué) 應(yīng)用題課里，這些必不可少的數(shù)據(jù)、信息大多是以文字形式給出的。所以也有人說(shuō)，這些應(yīng)用題相對(duì)于大家所 重視的真正實(shí)際問(wèn)題的解決來(lái)說(shuō)，只是一些“冒牌應(yīng)用題”。
    作為改進(jìn)，他們對(duì)應(yīng)用題的設(shè)計(jì)作了帶有方向性的改革：
    １．在應(yīng)用題的設(shè)計(jì)上留出讓學(xué)生自己補(bǔ)充、搜集信息的余地，使學(xué)生能夠自己搜集有關(guān)的信息并進(jìn)行選 擇。
    例如：２０馬克可以買(mǎi)多少千克桔子？
    這種題按傳統(tǒng)觀點(diǎn)是無(wú)法解的，是條件不全的題�，F(xiàn)在學(xué)生要完成這個(gè)題，首先必須到學(xué)�；蚣彝ジ浇�的 商店或超級(jí)市場(chǎng)去搜集桔子的價(jià)格信息，然后挑選自己喜歡的品種，算出千克數(shù)；或挑選價(jià)格最便宜的和價(jià)格 最貴的，再算出可買(mǎi)桔子的千克數(shù)范圍。１９８４年與１９８９年筆者兩次在德國(guó)巴伐利亞州考察進(jìn)修時(shí)，發(fā) 現(xiàn)師生都對(duì)這一類(lèi)題很感興趣。有關(guān)教研機(jī)構(gòu)也覺(jué)得這類(lèi)題很有利于培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力。
    ２．應(yīng)用題不設(shè)問(wèn)，讓孩子們自己去尋找計(jì)算性的設(shè)問(wèn)。
    例１ 烏特買(mǎi)了８只檸檬，她用一枚５馬克的硬幣去付款，找回了３馬克。
    例２ 瑪麗亞在奶酪攤上幫助她的姑姑。上星期她幫了２０小時(shí)，得到工資１４０馬克。這個(gè)星期她幫了 ２５小時(shí)。
    教師可以從學(xué)生的設(shè)問(wèn)中看出學(xué)生對(duì)信息的理解程度和處理能力。像例２這種題可以設(shè)不止一個(gè)問(wèn)，尤能 看出學(xué)生對(duì)信息搜集和處理能力。
    有的題甚至沒(méi)有文字說(shuō)明，只有圖。要求學(xué)生從圖中搜集信息，提出問(wèn)題（如下圖）。
    （附圖 {圖}）
    ３．為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力，設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)考慮到讓學(xué)生從不同的角度出發(fā)進(jìn)行發(fā)散思維，探求不同的答案 。
    例：父親買(mǎi)玻璃杯（下圖）。他用３張１０馬克的紙幣付款，收回了６馬克的找頭。
    （附圖 {圖}）
    這一類(lèi)題一般有不止一個(gè)的答案，要鼓勵(lì)學(xué)生去尋找不同的答案，答案越多越好。《教學(xué)參考書(shū)》指出， “當(dāng)然不是要求所有的學(xué)生都找出所有的答案，重要的是，學(xué)生都要有興趣去尋找多個(gè)答案�！苯處熞龑�(dǎo)學(xué)生 通過(guò)嘗試制表法來(lái)尋求各種答案�，F(xiàn)介紹如下。
    分析與解題過(guò)程（摘自教師用書(shū)）：
    從圖片中可以觀察到杯子有三種價(jià)格：２馬克、４馬克、８馬克。
    先計(jì)算父親付了多少錢(qián)：３０－６＝２４（馬克）
    （１）當(dāng)他只買(mǎi)一種杯子時(shí)，有下列幾種可能：
    每只８馬克的２４÷８＝３（只杯子）
    每只４馬克的２４÷４＝６（只杯子）
    每只２馬克的２４÷２＝１２（只杯子）
    （２）當(dāng)他買(mǎi)了兩種杯子時(shí)，就成了丟番圖問(wèn)題，有三種情況：
    ①ｘ·８＋ｙ·４＝２４
    ②ｘ·８＋ｙ·２＝２４
    ③ｘ·４＋ｙ·２＝２４
    當(dāng)ｘ或ｙ為零時(shí)，就是（１）中所述的情況。
    小學(xué)二年級(jí)的學(xué)生是通過(guò)嘗試法或制表格來(lái)尋得下列答案的：
    ①（０，６），（１，４），（２，２），（３，０）
    ②（０，１２），（１，８），（２，４），（３，０）
    ③（０，１２），（１，１０），（２，８），（３，６），（４，４），（５，２），（６，０）
    嘗試或制表格的策略是：第一種杯子的數(shù)目從零開(kāi)始逐次上升，在上升過(guò)程中，每當(dāng)?shù)谝环N杯子數(shù)目被確 定，就相應(yīng)地求出第二種杯子的數(shù)目。
    （３）當(dāng)他買(mǎi)三種杯子時(shí)，就出現(xiàn)了一個(gè)三變量的丟番圖方程：ｘ·８＋ｙ·４＋ｚ·２＝２４
    可以將ｘ、ｙ、ｚ為零的情況除外，以免重復(fù)（１）與（２）。
    同樣可通過(guò)嘗試或制表格來(lái)解決，策略是第一種杯子數(shù)目從１開(kāi)始上升，當(dāng)?shù)谝环N杯子數(shù)目取定，第二種 杯子數(shù)目也從１開(kāi)始上升，這時(shí)第三種杯子的數(shù)目就能確定了。
    ８馬克杯 ４馬克杯 ２馬克杯 總計(jì)

    １×８ ＋１×４ ＋６×２ ＝２４
    １×８ ＋２×４ ＋４×２ ＝２４
    １×８ ＋３×４ ＋２×２ ＝２４
    ２×８ ＋１×４ ＋２×２ ＝２４
    這些題對(duì)于傳統(tǒng)教學(xué)培養(yǎng)出來(lái)的學(xué)生肯定是困難的，但對(duì)經(jīng)過(guò)發(fā)散性思維培養(yǎng)的孩子，經(jīng)過(guò)嘗試策略培訓(xùn) 的孩子來(lái)說(shuō)，二年級(jí)就可以進(jìn)行教學(xué)了。
    改革后的應(yīng)用題教學(xué)，在怎樣教、如何學(xué)上的做法是：緊密聯(lián)系學(xué)生生活實(shí)際、切合兒童心理特點(diǎn)來(lái)進(jìn)行 教與學(xué)。從下面幾方面來(lái)幫助孩子們弄清問(wèn)題的內(nèi)部聯(lián)系：
    １．一、二年級(jí)經(jīng)常通過(guò)游戲，如讓學(xué)生拿著假錢(qián)幣去演示購(gòu)物過(guò)程，來(lái)發(fā)現(xiàn)解題方法。
    ２．用圖畫(huà)出題目的情節(jié)，幫助學(xué)生把握事物內(nèi)部的聯(lián)系；如畫(huà)運(yùn)算草圖或給出圖解（如箭頭圖、計(jì)算樹(shù) 圖）。
    下面舉一計(jì)算樹(shù)圖的例子：
    （附圖 {圖}）
    ３．語(yǔ)言上的幫助：解釋不熟悉的詞，強(qiáng)調(diào)一些特別重要的詞在運(yùn)算上的含義。
    ４．進(jìn)一步的幫助：對(duì)應(yīng)用題進(jìn)行改寫(xiě)、加工，以得出一定的模式。