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在層次教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

時間:2022-08-17 12:03:27 綜合教育論文 我要投稿
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在層次教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

“層次教學(xué)”能引導(dǎo)和幫助學(xué)生克服思維障礙,推動思維多層面逐步深入地發(fā)展,使知識和能力不斷升華.教師可根據(jù)知識結(jié)構(gòu)的繁簡和理解程度的難易,把包含在知識和規(guī)律內(nèi)的復(fù)雜和隱蔽的內(nèi)涵,層層剝離,進(jìn)行多層面的展開,逐級推進(jìn)和激發(fā),既使教學(xué)由表及里,深入清晰地揭示出整體知識的本質(zhì)和內(nèi)在的規(guī)律,又可訓(xùn)練學(xué)生思維的廣闊性和深刻性.    一、數(shù)學(xué)概念和定理公式多層次的理解    數(shù)學(xué)概念和定理公式的教學(xué)是數(shù)學(xué)知識教學(xué)的重要組成部分,由于其本身的復(fù)雜性、抽象性,理解和掌握時可將其分解為多個層次,先一層一層地認(rèn)識,理解每一層次表達(dá)的意思,然后再分析和綜合各層次間的內(nèi)在聯(lián)系,使形成完整的易于掌握的知識成為學(xué)生思維的必然.例如,對“復(fù)數(shù)的三角形式z=r(cosθ+isinθ)”的理解,首先通過觀察,可作出表層認(rèn)識:    層次Ⅰ:復(fù)數(shù)z的模為r;    層次Ⅱ:復(fù)數(shù)z的幅角為θ;    層次Ⅲ:r的取值范圍r≥0;    層次Ⅳ:θ的取值范圍0°≤θ<360°.    在以上表層理解的基礎(chǔ)上,可進(jìn)一步擴(kuò)展思維,使理解進(jìn)入更深的本質(zhì)的層次:    層次Ⅴ:復(fù)數(shù)z可表示成向量z;    層次Ⅵ:r即為向量z的長度,故r≥0;    層次Ⅶ:θ即為向量z與x軸正向的夾角;    層次Ⅷ:θ的取值決定向量z所在的象限.    至此,通過層次教學(xué),揭示了“復(fù)數(shù)三角表達(dá)式”的本質(zhì),達(dá)到全面而深刻地理解公式的目的.    二、問題和情境層次化的創(chuàng)設(shè)    思維膚淺的學(xué)生,只能領(lǐng)會到問題中元素之間的淺層關(guān)系;思維深刻的學(xué)生則能深入問題內(nèi)部,透過表層,掌握其內(nèi)部元素間的深層關(guān)系,從而把握住問題的關(guān)鍵和本質(zhì).因此,在問題教學(xué)中,應(yīng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生作全面、深入的層次結(jié)構(gòu)分析,創(chuàng)設(shè)適宜的問題情境,這有利于提高學(xué)生的思維品質(zhì),促使問題解決.    例1觀察下表:1,    2,3,4,    3,4,5,6,7,    4,5,6,7,8,9,10,    ……    求第n行各個數(shù)之和.      解本題的關(guān)鍵是深入分析上表的結(jié)構(gòu)層次及數(shù)列的特點(diǎn),從特殊的對象開始觀察,通過分析、比較和分層歸納,得出一般規(guī)律.為此,教師應(yīng)著重處理好如下三個層次的教學(xué),并創(chuàng)設(shè)具有啟發(fā)性的、逐層深入的問題情境.    層次Ⅰ:第n行的第一個數(shù)是幾?    問題情境:第n行的第一個數(shù)與其所在的行數(shù)有何關(guān)系?    學(xué)生通過觀察,容易得出,第n行的第一個數(shù)與其所在的行數(shù)相同,即為n.    層次Ⅱ:第n行的最后一個數(shù)是幾?    問題情境:第n行的最后一個數(shù)與其所在的行數(shù)有何關(guān)系?      學(xué)生通過前四行中每一行的最后一個數(shù):1,4,7,10,可進(jìn)一步歸納求等差數(shù)列1,4,7,10,……的第n項為3n-2,即為第n行最后一個數(shù).    層次Ⅲ:求第n行各個數(shù)之和.    問題情境:第n行數(shù)列有何性質(zhì)?其首項、未項、項數(shù)各是幾?    通過以上逐層分析,學(xué)生此時茅塞頓開,本題歸結(jié)為求以n為首項,3n-2為末項,公差為1的等差數(shù)列的前2n-1項的和,即第n行各數(shù)之和Sn=n+3n-22×(3n-2-n+1)=(2n-1)2.    問題和情境層次化的創(chuàng)設(shè),能引導(dǎo)和幫助學(xué)生架起思維的“梯子”,促使思維不斷上“臺階”.一般來說,層次教學(xué)應(yīng)符合以下要求:    (1)要適合知識能力水平不同的學(xué)生.各問題之間的跨度要適當(dāng),即不能太小,限制了學(xué)生的思維;也不能太大,使學(xué)生一籌莫展,無所適從    (2)要體現(xiàn)學(xué)生思維的一般規(guī)律.如從感性到理性、從簡單到復(fù)雜、由低級到高級等.    (3)要遵循數(shù)學(xué)思想、方法的要求.?dāng)?shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓,是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識、技能的筋骨,數(shù)學(xué)問題和情境層次化的創(chuàng)設(shè)要體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的實(shí)質(zhì).    (4)問題和情境本身要富有啟發(fā)性.能引起學(xué)生的深入思考,盡量避免簡單形式化的肯定或否定回答.    三、綜合練習(xí)多層次變化    一般而言,綜合性愈強(qiáng)、知識跨度愈大的數(shù)學(xué)題,要求解題的思維層次愈高,對方法和技巧的掌握愈熟練,思維訓(xùn)練的價值愈大,學(xué)生也愈難以理解,這就要求教師精心設(shè)計,根據(jù)問題進(jìn)行多層次的變化,以減少坡度,順利地從未知向已知過渡.    例2已知z1=x+5+yi,z2=x-5+yi,且x,y∈R,|z1|+|z2|=6,求f(x,y)=2x-3y的極值.    此題綜合性強(qiáng),融復(fù)數(shù)、函數(shù)、極值于一題,集化歸、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合于一身,所以對不少學(xué)生構(gòu)成較大的困難.教師在講解時,就應(yīng)作適當(dāng)變式,可分解為如下幾個層次來處理:    第一層變化:轉(zhuǎn)化條件.由已知得(x+5)2+y2+(x-5)2+y2=6.①    揭示隱含關(guān)系:由方程①,知動點(diǎn)(x,y)的軌跡是以(-5,0)、(5,0)為焦點(diǎn),長軸為6的橢圓,其方程為x29+y24=1.    第二層變化:變換原題敘述方式.原題變?yōu)椋阂阎獙?shí)數(shù)x、y滿足方程x29+y24=1,求f(x,y)=2x-3y的極值.    第三層變化:代數(shù)問題幾何化,直觀處理.      揭示深層關(guān)系:設(shè)m=2x-3y,有y=23x-m3,此乃斜率為23,縱截距為-m3,且過橢圓x29+y24=1上的點(diǎn)的一束平行線,當(dāng)直線與橢圓相切時,-m3(從而就是m)取極值.      計算求解:將3y=2x-m代入4x2+9y2=36,并根據(jù)判別式Δ≥0,求得|m|≤62,即mmax=62,mmin=-62.      綜合習(xí)題多層次變化,體現(xiàn)在引導(dǎo)學(xué)生審題、推理、探路、尋找最佳策略、展示解題過程、回顧評述、延續(xù)拓廣等各個環(huán)節(jié),從各方面聯(lián)想、類比,培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和創(chuàng)造性,使知識和能力不斷升華.    四、系統(tǒng)知識不同階段的層次要求    數(shù)學(xué)知識本身是一個多層次的結(jié)構(gòu)系統(tǒng),因此,理解和掌握知識應(yīng)遵循由簡單到復(fù)雜、由具體到抽象、由低級到高級的認(rèn)識順序,保證知識學(xué)習(xí)的系統(tǒng)性,這就必然存在知識在不同階段的層次要求問題.為此,教師應(yīng)根據(jù)大綱和學(xué)習(xí)的不同時期和階段,設(shè)置相應(yīng)的教學(xué)層次,提出適當(dāng)?shù)囊,并善于以知識促思維,使思維在知識的系統(tǒng)學(xué)習(xí)和不斷鞏固中向廣度知深度發(fā)展.根據(jù)知識學(xué)習(xí)和思維發(fā)展的關(guān)系,教學(xué)層次和要求要設(shè)置在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).例如在“將復(fù)數(shù)的代數(shù)式化為三角式”這一節(jié)里的內(nèi)容是學(xué)生力所能及的,如果讓學(xué)生解決問題,就不能簡單提“怎樣把復(fù)數(shù)的代數(shù)式化為三角式呢”這樣太抽象、太空洞的問題,如果換一種方式提問:“已知a和b為不同時為零的實(shí)數(shù),求r和θ,使得a+bi=r·(cosθ+isinθ)(r>0,0≤θ≤2π)”,則屬于學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū).學(xué)生通過認(rèn)真思索,最終能達(dá)到“跳一跳能摘到果子”的目的.      總之,數(shù)學(xué)思維能力的形成必須是依靠數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)上的發(fā)展運(yùn)動.?dāng)?shù)學(xué)思維的教學(xué)應(yīng)從學(xué)生的思維潛在水平開始,通過教學(xué)把潛在水平轉(zhuǎn)化為新的現(xiàn)有水平,在新的現(xiàn)有水平基礎(chǔ)上,又出現(xiàn)新的思維潛在水平,并形成新的思維最近發(fā)展區(qū),于是教學(xué)又從新的思維潛在水平開始……,這種循環(huán)往復(fù)、不斷轉(zhuǎn)化和思維發(fā)展區(qū)層次逐步推動的過程,就是學(xué)生不斷積累知識和推動數(shù)學(xué)思維向前發(fā)展的過程.因此,教學(xué)的真正意義就在于善于發(fā)現(xiàn)并及時捕捉到各個發(fā)展階段和層次的“教學(xué)最佳期”,給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法及思維途徑以針對性的有效的指導(dǎo).       

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