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面向２１世紀(jì)的中小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革 論文
——使大眾數(shù)學(xué)成為現(xiàn)實(shí)
提要：文章分析了未來(lái)社會(huì)對(duì)公民數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本要求，比較了世界發(fā)達(dá)國(guó)家數(shù)學(xué)課程改革的趨勢(shì)，總結(jié)了我國(guó)古代數(shù)學(xué)教育的歷史傳統(tǒng)，討論了我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中存在的問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上提出了基于大眾數(shù)學(xué)意義的中小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革思路，并探討了中小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教材改革的設(shè)計(jì)、編寫與實(shí)驗(yàn)問(wèn)題。
隨著時(shí)代的發(fā)展，各國(guó)數(shù)學(xué)教育工作者普遍面臨著一個(gè)極為棘手的難題：一方面，以計(jì)算機(jī)為基礎(chǔ)的信息社會(huì)越來(lái)越依賴于數(shù)學(xué)，每個(gè)人要掌握更多的數(shù)學(xué)，才能比較好地適應(yīng)日常生活；另一方面，現(xiàn)代數(shù)學(xué)越來(lái)越只能為少數(shù)人所掌握。我們認(rèn)為，正是這一難題構(gòu)成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育發(fā)展的主要矛盾。
與此同時(shí)，我國(guó)的現(xiàn)行數(shù)學(xué)教育體制還出現(xiàn)了一個(gè)令人尷尬的現(xiàn)象：現(xiàn)行中小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，不少方面學(xué)生掌握不了，而且學(xué)了沒用，但考試指揮棒迫使他們非學(xué)不可；而很多既有實(shí)用功能，又有智力價(jià)值的內(nèi)容，卻又學(xué)不到。這一現(xiàn)象集中反映了我國(guó)現(xiàn)行數(shù)學(xué)教育體制的弊端，說(shuō)明當(dāng)前我國(guó)的數(shù)學(xué)教育狀況嚴(yán)重滯后于社會(huì)發(fā)展，必須尋求新的教育改革思路。幾年來(lái)的研究表明，解決上述矛盾的根本出路在于，用大眾數(shù)學(xué)的思想改造傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育理論與實(shí)踐體系。
一、課題研究的指導(dǎo)思想和理論基礎(chǔ)
隨著以計(jì)算機(jī)為代表的信息社會(huì)的到來(lái)，數(shù)學(xué)越來(lái)越表現(xiàn)得與人類的生存質(zhì)量、社會(huì)的發(fā)展水平休戚相關(guān)。義務(wù)教育要求每一位公民都應(yīng)該接受適應(yīng)日常生活和社會(huì)實(shí)踐所必須的最基本的數(shù)學(xué)教育。我國(guó)古代的數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育蘊(yùn)含著豐富的大眾數(shù)學(xué)思想，對(duì)今天的數(shù)學(xué)教育實(shí)踐有著很好的借鑒作用。數(shù)學(xué)教學(xué)必須建立在學(xué)生主動(dòng)、積極地參與數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的基礎(chǔ)上，唯如此，數(shù)學(xué)才能從學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活中產(chǎn)生和發(fā)展，數(shù)學(xué)才能成為人們?nèi)粘Ｉ钪械淖匀唤M成部分�！皵�(shù)學(xué)面向大眾”、“數(shù)學(xué)產(chǎn)生于學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐”——這種意義上的數(shù)學(xué)教育蘊(yùn)藏著巨大的人格力量，將極大地豐富學(xué)生的感情世界，增強(qiáng)學(xué)生的自信心和責(zé)任感。數(shù)學(xué)課程改革必須建立在對(duì)未來(lái)社會(huì)對(duì)人才素質(zhì)的需求、數(shù)學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展、數(shù)學(xué)教育的人文背景以及學(xué)習(xí)者的心理特點(diǎn)和潛在能力的全面考察的基礎(chǔ)上。
二、課題研究的主要內(nèi)容和研究方法
本課題的研究，試圖通過(guò)構(gòu)思２１世紀(jì)初我國(guó)數(shù)學(xué)教育的發(fā)展框架，形成大眾數(shù)學(xué)意義下的數(shù)學(xué)教育理論和實(shí)踐體系。其主要內(nèi)容有：社會(huì)的未來(lái)發(fā)展對(duì)公民數(shù)學(xué)修養(yǎng)的需求分析；現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展與數(shù)學(xué)教育改革；我國(guó)古代數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育的特點(diǎn)及其對(duì)今天的啟示；國(guó)際數(shù)學(xué)教育改革的比較研究；對(duì)我國(guó)現(xiàn)行中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的分析與評(píng)價(jià)；形成大眾數(shù)學(xué)意義下的現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育思想；形成大眾數(shù)學(xué)意義下的數(shù)學(xué)課程改革思路；探討如何以大眾數(shù)學(xué)思想改進(jìn)我國(guó)的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐。本課題的研究方法主要有文獻(xiàn)分析、國(guó)內(nèi)外比較專題實(shí)驗(yàn)和問(wèn)卷調(diào)查。在此基礎(chǔ)上，建立“理性預(yù)期模型”，形成數(shù)學(xué)教育的發(fā)展框架。理性預(yù)期模型是對(duì)考察對(duì)象在未來(lái)某一特定時(shí)間點(diǎn)上量或質(zhì)的描述。大眾數(shù)學(xué)是我們對(duì)２１世紀(jì)初我國(guó)數(shù)學(xué)教育發(fā)展?fàn)顩r的總體期望。
三、課題研究的基本背景分析
（一）重新估價(jià)未來(lái)社會(huì)對(duì)公民數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求
科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，特別是以計(jì)算機(jī)為標(biāo)志的信息時(shí)代的到來(lái)，要求人們具有收集、分析和處理數(shù)據(jù)及其他資料、信息的能力；市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)要求人們掌握更多有用的數(shù)學(xué)，成本、利潤(rùn)、投入、產(chǎn)出、貨款、效益、市場(chǎng)預(yù)測(cè)、風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估等一系列經(jīng)濟(jì)名詞將成為人們社會(huì)生活中使用最為頻繁的詞匯，與這一系列經(jīng)濟(jì)活動(dòng)相關(guān)的數(shù)學(xué)，如比和比例、利息與利率、運(yùn)籌與優(yōu)化、統(tǒng)計(jì)與概率以及系統(tǒng)分析與決策等，理應(yīng)成為數(shù)學(xué)課程中的組成部分。數(shù)學(xué)提供了一種在日常生活中簡(jiǎn)明、快捷、通用的交流信息的手段，數(shù)學(xué)正以前所未有的方式向社會(huì)的一切領(lǐng)域滲透。
（二）重新認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)
１．?dāng)?shù)學(xué)具有了作為科學(xué)的方法論屬性。以往，人們對(duì)數(shù)學(xué)的描繪就是利用紙、筆進(jìn)行運(yùn)算與證明，因而很難體會(huì)到實(shí)驗(yàn)、合情推理、模型模擬、矯正與調(diào)控、逐步優(yōu)化與近似逼近等一系列的科學(xué)活動(dòng)過(guò)程。計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使這一切出現(xiàn)了根本性的改變。實(shí)驗(yàn)、嘗試錯(cuò)誤、模型模擬已經(jīng)成為當(dāng)今數(shù)學(xué)家或工程技術(shù)人員研究數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的最為常見的策略，而公理化體系僅僅是整理數(shù)學(xué)的一種手段。數(shù)學(xué)具有了作為科學(xué)的方法論屬性。因而，隨著計(jì)算器、計(jì)算機(jī)引入課堂，中小學(xué)生能更多地通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)體會(huì)科學(xué)研究的基本方法：觀察、嘗試、合情推理、建立猜想與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。這種研究方法的熏陶，將使人終生受益。
２．?dāng)?shù)學(xué)是關(guān)于客觀世界的模式的科學(xué)（從這個(gè)意義上講，數(shù)學(xué)也是一門技術(shù)）。這種觀點(diǎn)正在被越來(lái)越多的人所傳播。無(wú)論是數(shù)、關(guān)系、形狀、推理，還是概率、數(shù)據(jù)分析和抽樣，它們都是人類發(fā)展進(jìn)程中對(duì)客觀世界的某些側(cè)面的數(shù)學(xué)把握的反映�；谶@種觀點(diǎn)，中小學(xué)階段，應(yīng)該讓學(xué)生通過(guò)“數(shù)與計(jì)算，空間與圖形，統(tǒng)計(jì)與概率，量與計(jì)量，方程與關(guān)系，運(yùn)籌與優(yōu)化”等基本領(lǐng)域了解數(shù)學(xué)研究現(xiàn)實(shí)世界的全貌。讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是從普通的人類實(shí)踐活動(dòng)中發(fā)展起來(lái)的。
３．?dāng)?shù)學(xué)是關(guān)于客觀世界的數(shù)學(xué)化過(guò)程。數(shù)學(xué)家反省自身的研究生涯，發(fā)現(xiàn)一個(gè)基本數(shù)學(xué)過(guò)程的循環(huán)，它反復(fù)出現(xiàn)，形成了最基本的模式，即抽象、符號(hào)和應(yīng)用。而這一模式與人類的基本認(rèn)識(shí)規(guī)律是一致的。Ｈ．Ｆｒｅｕｄｅｎｔｈａｌ稱之為數(shù)學(xué)化。實(shí)質(zhì)上，學(xué)生數(shù)學(xué)化的過(guò)程，就是數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)進(jìn)一步提高、抽象、發(fā)展的過(guò)程。然而，現(xiàn)行中小學(xué)數(shù)學(xué)課程絕大多數(shù)內(nèi)容局限于“數(shù)、式及其運(yùn)算”和“平面幾何與證明”，學(xué)生們見不到數(shù)學(xué)的全貌，更無(wú)從體會(huì)數(shù)學(xué)的全過(guò)程。新的課程改革試圖在此有所突破。
（三）重新認(rèn)識(shí)學(xué)生
本世紀(jì)中葉以來(lái)，隨著現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展，國(guó)際上一些著名的心理學(xué)、教育學(xué)理論，如皮亞杰的發(fā)生認(rèn)識(shí)論，布魯納的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與發(fā)現(xiàn)法，加涅的層次學(xué)習(xí)理論，奧蘇貝爾的有意義學(xué)習(xí)理論，加里培林的活動(dòng)理論，以及贊可夫的教學(xué)與發(fā)展乃至席卷原蘇聯(lián)的合作教育學(xué)等，所有這一切理論角度各異，但綜合起來(lái)，我們認(rèn)為以下幾點(diǎn)值得強(qiáng)調(diào)。
１．學(xué)生不是一張白紙，即使是一年級(jí)的兒童，他們也有著豐富的生活體驗(yàn)和知識(shí)積累。這其中就包含著大量的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，特別是運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的策略。
２．每個(gè)學(xué)生都有自己的生活背景、家庭環(huán)境，這種特定的社會(huì)文化氛圍，導(dǎo)致不同的學(xué)生有不同的思維方式和解決問(wèn)題的策略。
３．學(xué)生的學(xué)習(xí)不是一個(gè)被動(dòng)吸取知識(shí)、記憶、反復(fù)練習(xí)、強(qiáng)化儲(chǔ)存的過(guò)程。一個(gè)有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程是學(xué)生以一種積極的心態(tài)，調(diào)動(dòng)原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)嘗試解決新問(wèn)題，同化新知識(shí)，并構(gòu)建他們自己的意義。
４．所有的新知識(shí)只有通過(guò)學(xué)生自身的“再創(chuàng)造”活動(dòng)，使其納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，才可能成為有效的知識(shí)。對(duì)于每一個(gè)學(xué)習(xí)主體，沒有活動(dòng)、沒有做就形不成學(xué)習(xí)。
５．從現(xiàn)實(shí)中學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)。這里的現(xiàn)實(shí)是相對(duì)于兒童所言。布魯納有一句名言，任何一個(gè)知識(shí)都能夠以一種合適的方式教給任何一個(gè)年齡的學(xué)生。我們認(rèn)為，任何一個(gè)知識(shí)如果能夠以與學(xué)生的年齡特征、生活經(jīng)驗(yàn)相適應(yīng)的方式（即以對(duì)兒童來(lái)說(shuō)是現(xiàn)實(shí)的方式）出現(xiàn)，就能被學(xué)生所感知，為學(xué)生所接受。
６．讓學(xué)生體驗(yàn)做數(shù)學(xué)的成功樂(lè)趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。
（四）重新估價(jià)我國(guó)的數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀
新中國(guó)建立４０多年來(lái)，我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)教育事業(yè)有了長(zhǎng)足發(fā)展。然而，我們不能因此而輕視危機(jī)所在。
１．?dāng)?shù)學(xué)課程目標(biāo)偏離社會(huì)發(fā)展的需求軌道。這主要表現(xiàn)在，長(zhǎng)期以來(lái)我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程一直在前蘇聯(lián)“學(xué)科中心主義”課程模式的籠罩下，固守著他們?cè)缫迅淖兞说膫鹘y(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，學(xué)生在校學(xué)習(xí)的僅僅是１６、１７世紀(jì)以前的數(shù)學(xué)。隨機(jī)事件、抽樣、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與處理、規(guī)劃與運(yùn)籌、決策分析、優(yōu)化思想以及數(shù)學(xué)建模等一系列現(xiàn)代社會(huì)所必需的公民數(shù)學(xué)修養(yǎng)內(nèi)容在數(shù)學(xué)課堂上幾乎無(wú)處尋覓。同時(shí)，迄今為止我國(guó)小學(xué)、初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中，仍然以計(jì)算（運(yùn)算）能力、邏輯推理能力及空間觀念為核心。事實(shí)上，信息社會(huì)的到來(lái)，對(duì)公民計(jì)算能力的要求已大大降低；邏輯推理能力則因局限于以平面幾何為載體的三段論訓(xùn)練模式為重點(diǎn)，而陷于困境；“空間觀念”一詞雖然提得很好，但小學(xué)、初中的數(shù)學(xué)課本中，除了幾個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的體積、表面積計(jì)算外，幾乎沒有任何別的三維空間的內(nèi)容。而現(xiàn)代社會(huì)所必需的與數(shù)學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展趨勢(shì)一致的數(shù)學(xué)建模能力以及估算意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)造意識(shí)都被拒之于教科書之外。
２．?dāng)?shù)學(xué)課程內(nèi)容存在著嚴(yán)重的缺陷。這主要表現(xiàn)在：知識(shí)面狹窄；部分知識(shí)單元的教學(xué)要求偏高，耗時(shí)過(guò)多；不少內(nèi)容陳舊、過(guò)時(shí)；忽視數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用；課程缺乏彈性。
（五）把握國(guó)際數(shù)學(xué)教育發(fā)展的方向
８０年代末９０年代初，世界發(fā)達(dá)國(guó)家紛紛開始對(duì)本世紀(jì)以來(lái)各自數(shù)學(xué)教育發(fā)展歷程作全面的考察，出臺(tái)了一系列數(shù)學(xué)教育發(fā)展綱要和數(shù)學(xué)課程改革藍(lán)圖。為此，我們對(duì)美國(guó)、英國(guó)、法國(guó)、德國(guó)、瑞典、日本和前蘇聯(lián)七國(guó)的有關(guān)資料進(jìn)行了較為詳盡的分析。
１．關(guān)于中小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)。（１）重視問(wèn)題解決是各國(guó)課程標(biāo)準(zhǔn)的一個(gè)顯著特點(diǎn)。（２）增加具有廣泛應(yīng)用性的數(shù)學(xué)內(nèi)容，從學(xué)生的現(xiàn)實(shí)中發(fā)展數(shù)學(xué)，增強(qiáng)實(shí)踐環(huán)節(jié)是各國(guó)課程標(biāo)準(zhǔn)的共同特點(diǎn)。（３）數(shù)學(xué)提供了一種有力的、簡(jiǎn)潔的和準(zhǔn)確的交流信息的手段，因此，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)交流是各國(guó)課程發(fā)展的新趨勢(shì)。（４）強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)對(duì)發(fā)展人的一般能力的價(jià)值，淡化純數(shù)學(xué)意義上的能力結(jié)構(gòu)。（５）大多數(shù)國(guó)家傾向于，通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題使學(xué)生在掌握所要求的數(shù)學(xué)內(nèi)容的同時(shí)，形成那些對(duì)人的素質(zhì)有促進(jìn)作用的基本的思想方法，如實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、模型化、合情推理、系統(tǒng)分析等。（６）培養(yǎng)學(xué)生的自信心是數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)之一。
２．關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容。（１）拓寬知識(shí)面，使學(xué)生盡早體會(huì)數(shù)學(xué)的全貌。（２）注重現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法的滲透。（３）重視在應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的過(guò)程中，使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)。
（４）加強(qiáng)幾何直觀，特別是三維空間圖形的認(rèn)識(shí)，降低傳統(tǒng)歐氏幾何的地位，特別是歐氏幾何對(duì)演繹推理的作用，用現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想處理幾何問(wèn)題。（５）較早引入計(jì)算器、計(jì)算機(jī)，發(fā)揮現(xiàn)代技術(shù)手段在探索數(shù)學(xué)、解決問(wèn)題中的作用。我們認(rèn)為，社會(huì)的進(jìn)步、數(shù)學(xué)的發(fā)展、國(guó)際數(shù)學(xué)教育的發(fā)展態(tài)勢(shì)，以及學(xué)習(xí)心理學(xué)的研究成果和義務(wù)教育的基本精神，所有這一切都在孕育著一個(gè)嶄新的數(shù)學(xué)教育新時(shí)代——大眾數(shù)學(xué)時(shí)代。
實(shí)際上，在我國(guó)大眾數(shù)學(xué)思想有著良好的生長(zhǎng)土壤。首先，中國(guó)古代數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育具有很強(qiáng)的大眾性。以《九章算術(shù)》為杰出代表的中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)與以《幾何原本》為代表的古希臘數(shù)學(xué)迥然不同，它們分別代表了中西方古代數(shù)學(xué)文明的杰出成果，如果說(shuō)《幾何原本》是一種“貴族”數(shù)學(xué)的話，那么《九章算術(shù)》無(wú)論從思想方法，還是成果以及成果的表達(dá)形式和成果利用上都帶有濃厚的大眾色彩。可以說(shuō)，我國(guó)古代數(shù)學(xué)以解決實(shí)際問(wèn)題為最終目標(biāo)，一切從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，形成算法，寓理于算，并進(jìn)一步應(yīng)用于解決各種實(shí)際問(wèn)題；同時(shí)，數(shù)學(xué)的內(nèi)容、思想和方法的發(fā)展不受主觀意志的限制，注重實(shí)際效果，并且在內(nèi)容的表達(dá)形式上以歸納體系為主等。其次，新中國(guó)數(shù)學(xué)教育發(fā)展進(jìn)程已經(jīng)表現(xiàn)出向大眾數(shù)學(xué)演化的漸變態(tài)勢(shì)。新中國(guó)成立后，數(shù)學(xué)教育經(jīng)歷了曲折的發(fā)展歷程，進(jìn)入８０年代后，通過(guò)總結(jié)國(guó)際、國(guó)內(nèi)正反兩方面的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，對(duì)數(shù)學(xué)教育不斷調(diào)整，以適應(yīng)義務(wù)教育下的新形勢(shì)。盡管現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教育體系與大眾數(shù)學(xué)相距甚遠(yuǎn)，但４０年的發(fā)展已表現(xiàn)出一種向大眾數(shù)學(xué)演化的漸變態(tài)勢(shì)。特別引人注目的是，１９９３年在全國(guó)試行的《義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》，第一次在“教學(xué)目的”部分明確“解決實(shí)際問(wèn)題主要是指解決帶有實(shí)際意義的和相關(guān)學(xué)科中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，以及日常生活和生產(chǎn)中的實(shí)際問(wèn)題；在解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中，使學(xué)生受到把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題的訓(xùn)練，逐步培養(yǎng)他們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，形成用數(shù)學(xué)的意識(shí)�！边@一重大變化，對(duì)我們深入研究大眾數(shù)學(xué)無(wú)疑是極大的鼓舞。
四、大眾數(shù)學(xué)的基本目標(biāo)及其實(shí)現(xiàn)策略
大眾數(shù)學(xué)意義下的數(shù)學(xué)教育體系所追求的教育目標(biāo)，就是讓每個(gè)人都能夠掌握有用的數(shù)學(xué)，其基本含義包括以下三個(gè)方面。
（一）人人學(xué)有用的數(shù)學(xué)。
沒有用的數(shù)學(xué)，即使人人能夠接受也不應(yīng)進(jìn)入課堂。學(xué)生在義務(wù)教育階段要學(xué)習(xí)的東西很多，我們不可能讓學(xué)生在這樣寶貴的時(shí)間內(nèi)僅僅學(xué)習(xí)從屬于哪一種價(jià)值（或需要）的知識(shí)，而必須設(shè)計(jì)出具有雙重價(jià)值乃至多重價(jià)值的數(shù)學(xué)課程。其實(shí)，即使象“測(cè)量”這類純“實(shí)用數(shù)學(xué)”的知識(shí)，從量化的數(shù)學(xué)根本觀點(diǎn)來(lái)精心設(shè)計(jì)也同樣可以對(duì)發(fā)展學(xué)生的一般能力、數(shù)學(xué)修養(yǎng)和科學(xué)精神起積極作用�？上�，這種數(shù)學(xué)的精髓在“純數(shù)學(xué)”中被拋棄了。我們認(rèn)為，所謂有用的數(shù)學(xué)有顯性和隱性之分。顯性的數(shù)學(xué)包括重要的數(shù)學(xué)事實(shí)，基本的數(shù)學(xué)概念和必要的處理數(shù)學(xué)以解決問(wèn)題的技能。隱性的數(shù)學(xué)則集中反映為具有數(shù)學(xué)元認(rèn)知作用的各種思想意識(shí)（我們認(rèn)為，義務(wù)教育階段主要包括數(shù)的意識(shí)、圖形直觀與空間觀念、概率統(tǒng)計(jì)思想、函數(shù)與方程思想、優(yōu)化思想、模型化方法、推理意識(shí)、計(jì)算機(jī)意識(shí)以及應(yīng)用意識(shí)等）；具有智能價(jià)值的數(shù)學(xué)思維能力（如主要用于分析問(wèn)題的模型化能力、主要用于解決問(wèn)題的應(yīng)用能力，以及一般智力意義上的推理能力），以及具有人格建構(gòu)作用的各種數(shù)學(xué)品質(zhì)。
（二）人人掌握數(shù)學(xué)。
在大眾數(shù)學(xué)意義下，實(shí)現(xiàn)人人掌握數(shù)學(xué)的首要策略正是課程改革策略——讓學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)展數(shù)學(xué)，刪除那些與社會(huì)需要相脫節(jié)、與數(shù)學(xué)發(fā)展相背離、與實(shí)現(xiàn)有效的智力活動(dòng)相沖突的，而恰恰是導(dǎo)致大批數(shù)學(xué)差生的內(nèi)容，如枯燥的四則混合運(yùn)算、繁難的算術(shù)應(yīng)用題、復(fù)雜的多項(xiàng)式恒等變形以及純公理體系的幾何；同時(shí)，在突出思想方法，緊密聯(lián)系生活的原則下增加估算、統(tǒng)計(jì)、抽樣、數(shù)據(jù)分析、線性規(guī)劃、圖論、運(yùn)籌以及空間與圖形等知識(shí)，使學(xué)生在全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的同時(shí)，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。
（三）不同的人學(xué)習(xí)不同的數(shù)學(xué)。
大眾數(shù)學(xué)要求數(shù)學(xué)課程面向每一個(gè)人，因此，新體系下的數(shù)學(xué)課程將在使所有學(xué)生獲得共同的數(shù)學(xué)教育的同時(shí)，讓更多的學(xué)生有機(jī)會(huì)接觸、了解乃至鉆研自己所感興趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，最大限度地滿足每一個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)需要。從這個(gè)意義上講，大眾數(shù)學(xué)與精英數(shù)學(xué)并不對(duì)立。恰恰相反，大眾數(shù)學(xué)意義下的數(shù)學(xué)課程提供了更為廣泛的現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支的原始生長(zhǎng)點(diǎn)，它為對(duì)數(shù)學(xué)有特殊才能和愛好的學(xué)生提供了更多的發(fā)展機(jī)會(huì)。
五、數(shù)學(xué)課程改革的基本思路
數(shù)學(xué)課程的改革問(wèn)題，大致可以歸結(jié)為以下兩個(gè)觀點(diǎn)。首先，數(shù)學(xué)課程改革應(yīng)與義務(wù)教育的精神相一致，使每一個(gè)人接受必要的數(shù)學(xué)教育。然而，我國(guó)的現(xiàn)狀是，在全國(guó)范圍內(nèi)，初中同齡人的數(shù)學(xué)合格率只占１／３。要使合格率從１／３提高到幾乎１００％，靠簡(jiǎn)單的降低難度，提高教師的水平等外部措施，則顯得力不從心。其次，在我國(guó)的現(xiàn)實(shí)背景下提出大眾數(shù)學(xué)，并深入研究大眾數(shù)學(xué)，以至我們正在編寫教材，試圖使大眾數(shù)學(xué)成為現(xiàn)實(shí)，其首要?jiǎng)訖C(jī)并不是因?yàn)橛卸嗌偃藢W(xué)不好數(shù)學(xué)，而是因?yàn)槲覀兲峁┙o學(xué)生學(xué)習(xí)的許多內(nèi)容不是未來(lái)社會(huì)所必須的，既不體現(xiàn)數(shù)學(xué)的發(fā)展方向，也不為學(xué)生所喜愛；與此同時(shí)，很多既有實(shí)用功能，又有智力價(jià)值，既能反映現(xiàn)代數(shù)學(xué)的全貌，又能從學(xué)生的現(xiàn)實(shí)背景中發(fā)展并為學(xué)生所掌握的內(nèi)容，學(xué)生卻沒有機(jī)會(huì)接觸到。這就是說(shuō)，即使現(xiàn)行數(shù)學(xué)課程人人都能掌握，數(shù)學(xué)課程也必須改革，使之與未來(lái)社會(huì)的需求相一致�；谝陨峡紤]，我們認(rèn)為，大眾數(shù)學(xué)意義下的數(shù)學(xué)課程改革不能僅僅局限于對(duì)現(xiàn)行教學(xué)大綱的增加或刪減，而需要尋求新的思路——從哲學(xué)意義上講，人的素質(zhì)中最為核心的是他的世界觀和方法論。從數(shù)學(xué)哲學(xué)上講，數(shù)學(xué)科學(xué)中最富有生命力、最具有統(tǒng)攝力的是數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)方法論，即數(shù)學(xué)思想方法。從數(shù)學(xué)教育哲學(xué)上講，決定一個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)修養(yǎng)的高低，最為重要的標(biāo)志是看他如何看待數(shù)學(xué)，如何理解數(shù)學(xué)，以及能否運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想方法去觀察、分析日常生活現(xiàn)象，去解決日常生活中的問(wèn)題。事實(shí)上，不同的人具有不同的數(shù)學(xué)觀。不同的數(shù)學(xué)觀，會(huì)導(dǎo)致不同的學(xué)習(xí)或工作行為。如果一個(gè)學(xué)生產(chǎn)生了數(shù)學(xué)艱深難懂、枯燥無(wú)味、高不可攀的思想，必然會(huì)導(dǎo)致他回避數(shù)學(xué)課、回避數(shù)學(xué)教師、不接觸數(shù)學(xué)讀物的自閉行為。如果一個(gè)數(shù)學(xué)教師認(rèn)為數(shù)學(xué)就是公式、法則、記憶、練習(xí)，那么他的課堂教學(xué)行為必然是滿堂灌、注入式。所以，我們提出數(shù)學(xué)課程改革的基本思路：
１．以反映未來(lái)社會(huì)對(duì)公民所必須的數(shù)學(xué)思想方法為主線選擇和安排教學(xué)內(nèi)容；
２．以與學(xué)生年齡特征相適應(yīng)的大眾化、生活化的方式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容；
３．使學(xué)生在活動(dòng)中，在現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，發(fā)展數(shù)學(xué)。
六、對(duì)大眾數(shù)學(xué)意義下數(shù)學(xué)思想方法的理解
在大眾數(shù)學(xué)意義下，義務(wù)教育階段應(yīng)以下面所論述的數(shù)學(xué)思想方法為主線，來(lái)逐一審視我國(guó)現(xiàn)行中小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，并以此為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)構(gòu)成數(shù)學(xué)新課程的框架。
（一）數(shù)意識(shí)。
使學(xué)生養(yǎng)成主動(dòng)地從數(shù)量上觀察、分析客觀事物的習(xí)慣，并體會(huì)——數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展來(lái)源于人類對(duì)客觀事物的數(shù)學(xué)把握；數(shù)的構(gòu)成及其運(yùn)算規(guī)律是生活實(shí)踐的總結(jié)；數(shù)學(xué)符號(hào)是表示、交流和傳遞信息的最有效手段；數(shù)量關(guān)系是刻畫自然界以及人類社會(huì)現(xiàn)象、預(yù)測(cè)事物發(fā)展規(guī)律的重要工具；估算在日常生活中，特別是在計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之后愈顯其重要性。
（二）圖形直觀與空間觀念。
人類生活在三維空間，理應(yīng)通過(guò)拼補(bǔ)、折疊、描繪、測(cè)量、計(jì)算、比較與分析，認(rèn)識(shí)和理解現(xiàn)實(shí)幾何世界；直觀幾何、變換幾何、推理幾何、向量幾何以及解析幾何、拓?fù)浜头中螏缀问侨祟悓?duì)幾何世界的不同角度的數(shù)學(xué)把握；代數(shù)化是研究幾何問(wèn)題的必然趨勢(shì)；而圖形直觀以及圖形分析是人們理解奇妙的自然現(xiàn)象和社會(huì)的絕妙工具，圖形給人類帶來(lái)無(wú)窮無(wú)盡的直覺源泉，圖形設(shè)計(jì)是人類社會(huì)賴以生存和發(fā)展的根基，沒有圖形人類就無(wú)所謂美。
（三）概率統(tǒng)計(jì)思想。
在我國(guó)，隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)體制的逐步建立，投資、貸款、股票、證券、市場(chǎng)預(yù)測(cè)、風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估等日常經(jīng)濟(jì)行為的實(shí)現(xiàn)，其科學(xué)性如何有賴于社會(huì)成員對(duì)不確定性、隨機(jī)性及可能性等概率統(tǒng)計(jì)思想的理解和運(yùn)用水平。應(yīng)當(dāng)對(duì)中小學(xué)生進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)思想的熏陶，使他們了解條件是可變的，結(jié)論非唯一的，結(jié)論不是絕對(duì)可靠的，事物的多樣性是普遍的，而必然性、絕對(duì)性則是相對(duì)的、有條件的。只有這樣，才能有助于他們理解社會(huì)、適應(yīng)生活。同時(shí)，通過(guò)概率、統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)，還應(yīng)該使他們形成尊重事實(shí)、用數(shù)據(jù)說(shuō)話的習(xí)慣，了解必然性寓于偶然性之中的道理，體會(huì)或然性的推理在研究復(fù)雜事物中的作用。
（四）優(yōu)化思想。
在我們的周圍，優(yōu)化問(wèn)題幾乎隨處可見。例如，如何使有限的材料得到最充分的應(yīng)用；如何在商品銷售中，調(diào)整商品價(jià)格，薄利多銷，獲得最多利潤(rùn)；如何在體能訓(xùn)練中調(diào)整訓(xùn)練強(qiáng)度和練習(xí)節(jié)奏，達(dá)到事半功倍的效果，把這些問(wèn)題抽象成為一個(gè)理論問(wèn)題，即是如何使系統(tǒng)在給定的條件下，達(dá)到最理想的效果。
（五）函數(shù)與方程思想。
函數(shù)與方程思想在數(shù)學(xué)內(nèi)部與外部均顯得十分重要，它貫穿于數(shù)學(xué)理論和實(shí)際問(wèn)題解決的每一場(chǎng)合。函數(shù)和方程是有效地表示、處理、交流和傳遞信息的強(qiáng)有力工具，是探討事物發(fā)展規(guī)律、預(yù)測(cè)事物發(fā)展方向的重要手段。
（六）模型化方法。
通常人們認(rèn)為，建立和處理數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，就是將數(shù)學(xué)理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程。實(shí)際上，建立模型也是從實(shí)際情景中發(fā)展數(shù)學(xué)、“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)的絕好機(jī)會(huì)。在建立模型、形成新的數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，學(xué)生更加體會(huì)到數(shù)學(xué)與大自然的天然聯(lián)系。為此，大眾數(shù)學(xué)意義下的數(shù)學(xué)課程將積極探索“問(wèn)題情景——建立模型——解釋與應(yīng)用”的課程發(fā)展模型。前文已經(jīng)論及，函數(shù)和方程是反映客觀事物數(shù)量變化規(guī)律的一種模型。實(shí)際上，數(shù)、式、方程、函數(shù)、圖形、統(tǒng)計(jì)以及規(guī)劃和組合分析都是數(shù)學(xué)反映客觀世界的模型。
（七）推理意識(shí)。
所謂推理意識(shí)是指推理與講理的自覺意識(shí)，即遇到問(wèn)題時(shí)自覺推測(cè)，并做到落筆有據(jù)，言之有理。推理意識(shí)包括歸納推理、類比推理和演繹推理的自覺意識(shí)。在大眾數(shù)學(xué)意義下，推理訓(xùn)練不僅僅存在于歐氏幾何，其更為廣泛、更為深刻的內(nèi)涵普遍地存在于數(shù)學(xué)的各個(gè)分支。如果我們?cè)凇皢?wèn)題情景——建立模型——解釋和應(yīng)用”的框架下，引導(dǎo)學(xué)生在活動(dòng)中、在現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)展數(shù)學(xué)，那么，數(shù)學(xué)交流、合情推理、發(fā)展模式、選擇合理的方法、調(diào)整矯正模式、分析和解釋結(jié)論等一系列過(guò)程中都始終包含著推理因素。
（八）計(jì)算機(jī)意識(shí)。
計(jì)算器和計(jì)算機(jī)進(jìn)入中小學(xué)數(shù)學(xué)課程，其必要性與可能性已不用我們?cè)僮鲇懻�。�?guó)際上多項(xiàng)研究報(bào)告表明，中小學(xué)生使用計(jì)算機(jī)利大于弊。培養(yǎng)中小學(xué)生的計(jì)算機(jī)意識(shí)，主要包括以幾個(gè)方面：①減少學(xué)生對(duì)計(jì)算機(jī)的恐懼感，成人社會(huì)對(duì)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的恐懼、回避態(tài)度不應(yīng)在孩子們身上繼續(xù)擴(kuò)散；②使學(xué)生養(yǎng)成運(yùn)用計(jì)算機(jī)等更為先進(jìn)的計(jì)算工具，處理復(fù)雜問(wèn)題的習(xí)慣；③通過(guò)對(duì)算籌、算盤、算表、手搖計(jì)算機(jī)和電子計(jì)算機(jī)的認(rèn)識(shí)，理解計(jì)算工具的變化對(duì)社會(huì)發(fā)展水平的影響程度；④借助計(jì)算機(jī)可以解決更多的問(wèn)題，使學(xué)生更好地體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)社會(huì)的密切聯(lián)系；⑤通過(guò)使用計(jì)算機(jī)求解問(wèn)題，使學(xué)生體會(huì)到，先進(jìn)計(jì)算工具的使用，將更有助于激發(fā)自身的探索意識(shí)和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。我們認(rèn)為，除明確提出以上述數(shù)學(xué)思想方法為主線，構(gòu)成義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的基本框架外，還應(yīng)有意識(shí)地滲透集合思想和極限思想，并全方位的培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)。
七、制定《小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革方案》，編寫新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)教科書
在上述課程改革的基本思路下，經(jīng)過(guò)爭(zhēng)求有關(guān)數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家以及第一線教師的意見，我們制定了《小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革方案》（試驗(yàn)稿），并組織部分教師編寫教材，從而使教育理論研究成果，通過(guò)教材的編寫和實(shí)驗(yàn)，對(duì)教學(xué)實(shí)踐產(chǎn)生影響。目前該實(shí)驗(yàn)已經(jīng)進(jìn)行到小學(xué)三年級(jí)，初步的課程改革受到了廣大第一線教師、學(xué)生及學(xué)生家長(zhǎng)的好評(píng)。
八、本課題“九五”期間的研究目標(biāo)
“九五”期間，本課題將在編寫和實(shí)驗(yàn)小學(xué)數(shù)學(xué)教材的同時(shí)，開展初中階段數(shù)學(xué)課程的“單元包”教材實(shí)驗(yàn)，試圖形成——１．義務(wù)教育階段中小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革方案；２．義務(wù)教育階段中小學(xué)數(shù)學(xué)課程評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)；３．為國(guó)家教育行政部門提供一份既有理論指導(dǎo)又有實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)課程改革藍(lán)皮書。
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