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幾何初步知識(shí)教學(xué)要求綜述
數(shù)學(xué)的內(nèi)容不外乎數(shù)與形兩大部分，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容也不例外。新頒布的《九年義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用）》（下稱“新大綱”）對(duì)幾何初步知識(shí)的教學(xué)作了一些重要的改革，教學(xué)要求更加明確�，F(xiàn)就我個(gè)人的體會(huì)，從“歷史的回顧”、“三點(diǎn)重要的改革”以及“具體的教學(xué)要求”三個(gè)方面分別闡述，和廣大老師們共同討論。一、歷史的回顧
我國(guó)對(duì)幾何學(xué)的研究有著悠久的歷史，翻開二千多年前已經(jīng)成書的《九章算術(shù)》看一看，書中對(duì)許多平面圖形及其面積的求法已有詳細(xì)的記載。首先，它把一些平面圖形稱之為“田”，如方田（指正方形）、直田（指長(zhǎng)方形）、圭田（指三角形）、斜田（指梯形）。這里充分說明人們是在一系列測(cè)田畝、定四時(shí)的農(nóng)業(yè)活動(dòng)中，逐步形成一些幾何形體概念的。同時(shí)，書中還記載了三角形的面積是“半廣以乘正從”，這里講的“廣”是指矩形，“正從”是指高，意思是把三角形割補(bǔ)成矩形，取其底長(zhǎng)的一半再乘高，便是三角形的面積；再看圓的面積，“半周半徑相乘得積步”，“積步”是當(dāng)時(shí)的面積單位“平方步”，就是說圓周的一半與半徑相乘，用今日的圓面積公式表示，即。至于祖沖之的圓周率，更是早于印度半個(gè)世紀(jì)，早于歐洲一千多年。我國(guó)輝煌的幾何學(xué)成就，是我國(guó)寶貴的文化遺產(chǎn)之一。
然而，幾何作為一門學(xué)科開設(shè)，在我國(guó)基礎(chǔ)教育，尤其是小學(xué)教育中，則是很晚的事了。一直到清政府制定的《奏定學(xué)堂章程》（1903年）中，才明確在小學(xué)設(shè)算術(shù)課，其中有一章和幾何有關(guān)，就是“求積”，內(nèi)容是田畝的算。
解放以后，隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，幾何初步知識(shí)在小學(xué)算術(shù)中所占的地位也逐步明確。1952年的《小學(xué)算術(shù)教學(xué)大綱（草案）》規(guī)定的內(nèi)容是：直線、線段、直角、正方形和長(zhǎng)方形（包括面積）、正方體和長(zhǎng)方體（包括體積）。1956年的《小學(xué)算術(shù)教學(xué)大綱（修訂草案）》又增加了角、三角形的認(rèn)識(shí)及其面積等內(nèi)容。1963年《全日制小學(xué)算術(shù)教學(xué)大綱（草案）》又增加了以下內(nèi)容：垂線和平行線，圓（包括周長(zhǎng)與面積），平行四邊形和梯形（包括它們的面積），圓柱、圓錐、棱柱、棱錐（包括它們的面積）；同時(shí)還學(xué)習(xí)一些最簡(jiǎn)單的作圖和測(cè)量。1963年的大綱是學(xué)習(xí)幾何知識(shí)最多的一個(gè)大綱。
經(jīng)過十年動(dòng)亂后，1978年在調(diào)查研究基礎(chǔ)上，頒布了《全日制十年制學(xué)校小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試行草案）》，對(duì)1963年規(guī)定的內(nèi)容作了調(diào)整，刪去較難的棱柱、棱錐，增加了扇形�，F(xiàn)行教學(xué)大綱（指1986年由國(guó)家教委正式制訂的《全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》）規(guī)定的內(nèi)容與1978年的相同。
綜上所述，我們可以看到小學(xué)幾何初步知識(shí)的內(nèi)容是隨著科技的進(jìn)步和基礎(chǔ)教育的發(fā)展而逐步增加、逐步完善的。因?yàn)閷W(xué)一些幾何知識(shí)是適應(yīng)小學(xué)生以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及將來參加生產(chǎn)建設(shè)的需要的，這是一個(gè)方面。而另一方面，還可以看到，幾十年來，我國(guó)小學(xué)幾何初步知識(shí)的教學(xué)仍始終未能完全突破“以求積為中心”的傳統(tǒng)觀念，忽視了空間觀念的培養(yǎng)，而這個(gè)問題，則在新大綱中得到了較好的解決。
二、 新大綱中的三點(diǎn)改革
（一） 明確小學(xué)幾何初步知識(shí)的性質(zhì)——直觀幾何（實(shí)驗(yàn)幾何）。
從幾何發(fā)展的歷史中可以看到，人們對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)首先根據(jù)生活、生活實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，依靠直覺觀察、反復(fù)實(shí)驗(yàn)而形成的（這一點(diǎn)在第一個(gè)問題中已經(jīng)涉及）。很明確，不是靠后來人們整理時(shí)所運(yùn)用的邏輯推理而形成的。再看一下，小學(xué)生的思維又正處在由直觀表象思維為主向抽象邏輯思維為主的過渡階段，他們對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)還相當(dāng)于人類早期認(rèn)識(shí)幾何的階段。因此，在小學(xué)階段學(xué)的應(yīng)該屬于直觀幾何，就是要通過他們自己的拼拼擺擺、折折疊疊、量量畫畫等實(shí)際操作，認(rèn)識(shí)圖形的某些特性，積累一定的空間觀念。這樣，可以為今后升入中學(xué)逐步學(xué)習(xí)論證幾何作好準(zhǔn)備。這里我想舉一個(gè)例子說明。小學(xué)里學(xué)習(xí)“三角形的內(nèi)角和”時(shí)，總是用“撕角”拼成一個(gè)平角，或是用量角器量出三個(gè)角的度數(shù)，以此說明其內(nèi)角和等于180°。這些方法看來是極為簡(jiǎn)單或者說是比較“低級(jí)”的，因?yàn)樗臏?zhǔn)確度是有限的。如果采用邏輯證明，便可使人確信無疑。如下：
∠1+∠2+∠3=180°
證明：過A點(diǎn)作BC的平行線DE，
∠1=∠4 ∠2=∠5（內(nèi)錯(cuò)角相等）
∠4+∠3+∠5=180°
所以∠1+∠2+∠3=180°
但是，像上面這種推理方法，小學(xué)生是不能夠接受的，只是通過孩子們自己動(dòng)手撕撕、拼拼、量量、畫畫，直觀地“證明”或“發(fā)現(xiàn)”它們的關(guān)系，積累比較豐富的感性認(rèn)識(shí)，這樣才有可能為將來學(xué)習(xí)論證幾何打下良好的基礎(chǔ)。
為此，新大綱一再指出：“通過直觀學(xué)習(xí)一些幾何初步知識(shí)……”，強(qiáng)調(diào)“幾何初步知識(shí)的教學(xué)，要充分利用和創(chuàng)造各種條件，引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)物體、模型的觀察、測(cè)量、拼擺、畫圖、制作、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，掌握形體的基本特征和面積、體積的計(jì)算方法，并注意在實(shí)際中應(yīng)用，以利于培養(yǎng)初步的空間觀念。
（二）突破“以求積為中心”的框子，加強(qiáng)空間觀念的培養(yǎng)。
前面已經(jīng)提到1963年的大綱是幾何初步知識(shí)學(xué)得最多的，但是即使如此，這一大綱在加強(qiáng)“雙基”的指導(dǎo)思想之下，提出了“以四則計(jì)算為中心”，與其相應(yīng)的幾何初步知識(shí)是“以求積為中心”，因此，對(duì)空間觀念的培養(yǎng)仍是比較忽視。直到新大綱頒發(fā)前，雖然每個(gè)教學(xué)大綱都談到“初步的空間觀念”，但是什么是空間觀念？應(yīng)該怎樣培養(yǎng)？這些問題都是含糊不清的。每次畢業(yè)考試中有關(guān)幾何的題目，也都是停留于求面積和體積。
新大綱首先回答了什么是空間觀念？空間觀念是在空間知覺基礎(chǔ)上形成起來的，它是形體的大小、形狀及其相互位置關(guān)系在人腦中的表象。新大綱又第一次比較恰當(dāng)而明確地指出了在小學(xué)階段培養(yǎng)初步空間觀念的“標(biāo)高”。這里包括三點(diǎn)要求：一是要求學(xué)生聽到某一圖形的名稱，就能在頭腦中正確地再現(xiàn)它的形象；二是能夠獨(dú)立地看懂所畫出的已學(xué)過的平面及立體圖形，正確掌握它們的名稱；三是能夠在各種圖形或模型中，正確地找出自己所需要的圖形，恰當(dāng)?shù)匕阉鼈兎诸�。最后，新大綱又指出要充分利用各種條件，讓學(xué)生通過各種觀察、實(shí)際操作等活動(dòng)，獲取和運(yùn)用幾何初步知識(shí)，并在運(yùn)用過程中培養(yǎng)初步空間觀念。這樣，既明確了目標(biāo)，又指出了途徑，使初步空間觀念的培養(yǎng)落實(shí)在實(shí)處。
（三）幾何形體的認(rèn)識(shí)從低年級(jí)起合理安排。
這也是新大綱的一大特點(diǎn)。小學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識(shí)要由淺入深，空間觀念也靠逐步積累。從一年級(jí)起，每一年級(jí)都編排一些幾何初步知識(shí)，這是符合小學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，又有利于數(shù)形結(jié)合的，同時(shí)，算術(shù)與幾何交替學(xué)習(xí)，動(dòng)手又動(dòng)腦，也可更好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
三、具體的教學(xué)要求
新大綱對(duì)幾何初步知識(shí)教學(xué)的具體要求，仔細(xì)分析起來可分為以下三個(gè)方面：
（一）空間觀念；
（二）求積計(jì)算；
（三）實(shí)際操作技能（指簡(jiǎn)單的測(cè)量、畫圖等）。
現(xiàn)將各年級(jí)的具體教學(xué)要求列表如下：
要求
空 間 觀 念
求 積 計(jì) 算
實(shí)際操作技能
年級(jí)
一年級(jí)
直觀認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形、正方形、三角形和圓。（有知識(shí)點(diǎn)，但不提教學(xué)要求）
直觀認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和球。（有知識(shí)點(diǎn)，但不提教學(xué)要求）
初步認(rèn)識(shí)直線和線段。
會(huì)量線段的長(zhǎng)度（限整厘米）。
二年級(jí)
初步認(rèn)識(shí)角和直角，知道角的各部分名稱。
初步掌握長(zhǎng)方形、正方形的特征，知道周長(zhǎng)的含義。
直觀認(rèn)識(shí)平行四邊形。
會(huì)計(jì)算長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)。
會(huì)用三角板判斷直角和畫直角。會(huì)在方格紙上畫長(zhǎng)方形和正方形。
三年級(jí)
知道面積的含義。
認(rèn)識(shí)面積單位（平方米、平方分米、平方厘米，公頃、平方千米）。
初步建立1平方米、1平方分米、1平方厘米的面積觀念。
掌握長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算公式。
四年級(jí)
認(rèn)識(shí)射線和角（直角、銳角、鈍角）。
知道角的大小。
初步認(rèn)識(shí)垂線和平行線。
掌握三角形、平行四邊形和梯形的特征。
△ 知道三角形內(nèi)角和。
△ 認(rèn)識(shí)組合圖形。
掌握長(zhǎng)方體、正方體的特征。知道體積的含義。
認(rèn)識(shí)常用的體積單位（立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升）。
掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積計(jì)算公式。
掌握長(zhǎng)方體和正方體的體積計(jì)算公式。
會(huì)計(jì)算長(zhǎng)方體和正方體的表面積。
初步學(xué)會(huì)用測(cè)量工具在地面上測(cè)定直線和測(cè)量較短的距離。
會(huì)用量角器量角和按照指定的度數(shù)畫角。
會(huì)用直尺和三角板畫垂線、平行線、長(zhǎng)方形和正方形。
五年級(jí)
認(rèn)識(shí)圓。
認(rèn)識(shí)扇形。
認(rèn)識(shí)圓柱和圓錐。
△ 初步認(rèn)識(shí)球的半徑和直徑。
掌握?qǐng)A周長(zhǎng)和圓面積的計(jì)算公式。會(huì)算圓柱的表面積和圓柱、圓錐的體積。
*通過介紹圓周率的史料，使學(xué)生受到思想教育。
會(huì)畫圓。
（注）①△指選學(xué)要求，*指思想品德教育。
②六年制的要求總的與五年制相同，只是分為六年安排。
根據(jù)上表，分析如下：
（一）空間觀念
小學(xué)生對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)都基本屬于表象階段，因此，一般只描述其某些特征而不下定義。為了便于教師掌握其教學(xué)要求，新大綱中把它們由低到高分為“直觀認(rèn)識(shí)”、“初步認(rèn)識(shí)”、“認(rèn)識(shí)“和“掌握特征”四個(gè)層次。
直觀認(rèn)識(shí)——看到有關(guān)圖形、實(shí)物或模型，能初步認(rèn)識(shí)其外形，說出名稱。
初步認(rèn)識(shí)——較前者略高一些，能略知圖形的一、兩個(gè)簡(jiǎn)單的特征。
認(rèn)識(shí)（知道）——較“初步認(rèn)識(shí)”又略高一些，知道圖形一般特征。
掌握特征——知道圖形某些本質(zhì)特征。這是認(rèn)識(shí)的最高層次，但仍不要求對(duì)概念下定義。
新大綱中對(duì)大多數(shù)的平面及立體圖形都分幾個(gè)層次逐步要求，目的是加強(qiáng)空間觀念的培養(yǎng)。例如：
1．直線、線段
一年級(jí)要求“初步認(rèn)識(shí)”，即知道把一根長(zhǎng)線拉緊，就成為直線；直線中的一段就是線段。四年級(jí)在認(rèn)識(shí)射線同時(shí)，再進(jìn)一步認(rèn)識(shí)直線和線段，知道直線沒有端點(diǎn)，可以無限延長(zhǎng)；線段有兩個(gè)端點(diǎn)；射線只有一個(gè)端點(diǎn)，另一端可以無限延長(zhǎng)。
2．角
二年級(jí)“初步認(rèn)識(shí)”，要求知道角有兩條邊和一個(gè)頂點(diǎn)，知道哪些實(shí)物的哪些部分是角。四年級(jí)要求“認(rèn)識(shí)”，知道從一點(diǎn)引出兩條射線，組成一個(gè)角，知道角的大小，知道角可分成直角、銳角、鈍角、平角和周角。
3．長(zhǎng)方形和正方形
一年級(jí)有直觀認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形和正方形的內(nèi)容，但不提要求，不作考核。二年級(jí)要初步掌握長(zhǎng)、正方形的特征，到三年級(jí)已學(xué)了計(jì)算它們的周長(zhǎng)和面積時(shí)，則要求進(jìn)一步掌握它們的特征。
4．平行四邊形
二年級(jí)要求“直觀認(rèn)識(shí)”，由于當(dāng)時(shí)還不認(rèn)識(shí)平行線，不可能知道平行四邊形的特征，只要求通過實(shí)物直觀地知道哪些是平行四邊形，哪些不是，如解放軍的領(lǐng)章是平行四邊形；也可以從擺弄七巧板中，挑出平行四邊形。這樣，到四年級(jí)便要求“掌握特征”，知道兩組對(duì)邊分別平行的四邊形就是平行四邊形。
5．三角形
三角形是兒童在日常生活中最常見的圖形之一。一年級(jí)只能“直觀認(rèn)識(shí)”，以后不斷發(fā)展，四年級(jí)要求“掌握特征”，知道三角形的穩(wěn)定性、三角形的分類、三角形的內(nèi)角和。
6．長(zhǎng)方體和正方體
由于小學(xué)生在入學(xué)前接觸過長(zhǎng)、正方體的實(shí)物，如積木等，為此，一年級(jí)只能“直觀認(rèn)識(shí)”，從外形能分辨什么樣的物體是長(zhǎng)方體，什么樣的物體是正方體，四年級(jí)再要求“掌握特征”。這樣逐步形成“體”的觀念。
7．圓和圓柱
圓和圓柱在孩子們?nèi)粘Ｉ钪幸踩菀滓姷�，但長(zhǎng)期以來到高年級(jí)才認(rèn)識(shí)，低于學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)識(shí)水平�，F(xiàn)改為一年級(jí)先“直觀認(rèn)識(shí)”，如認(rèn)識(shí)圓盤面是圓形、罐頭筒是圓柱體；到五年級(jí)再正式“認(rèn)識(shí)”，知道圓心、半徑和直徑，知道同一圓內(nèi)的半徑、直徑都相等；知道圓柱體上下兩底面是相等的圓形，側(cè)面展開是長(zhǎng)方形。但這種認(rèn)識(shí)都沒有或沒有真正地揭示其本質(zhì)特征。
8．球
球體的認(rèn)識(shí)是新大綱所增加的內(nèi)容。分為兩個(gè)階段：一年級(jí)直觀認(rèn)識(shí)球，與直觀認(rèn)識(shí)圓同時(shí)進(jìn)行，以便從外形上使兒童能開始體會(huì)一個(gè)是面，一個(gè)是體。到五年級(jí)則直觀認(rèn)識(shí)球的半徑和直徑，其目的也為以后學(xué)習(xí)打下一個(gè)最起碼的基礎(chǔ)。這部分作選學(xué)內(nèi)容。
此外，還有一些圖形是只在一個(gè)年級(jí)內(nèi)集中一次編排，如四年級(jí)要求初步認(rèn)識(shí)垂線和平行線，掌握梯形的特征；五年級(jí)要求認(rèn)識(shí)圓錐。
（二）求積計(jì)算
幾何求積是幾何初步知識(shí)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，也有利于數(shù)形結(jié)合，發(fā)揮其相互為用的功能。新大綱對(duì)這部分的教學(xué)要求是：
1．必須在建立相應(yīng)的空間觀念基礎(chǔ)上進(jìn)行幾何量的計(jì)算。例如，首先要求知道周長(zhǎng)、面積、體積的含義，認(rèn)識(shí)相應(yīng)的計(jì)量單位（長(zhǎng)度、面積、體積），有的還要建立相應(yīng)的觀念，如初步建立1平方米、1平方分米、1平方厘米的面積觀念，才能開始求積計(jì)算。
2．求積計(jì)算分兩個(gè)層次：一是“會(huì)計(jì)算”，二是“掌握……計(jì)算公式”。顯然，后者要求較高，而前者一般可不出現(xiàn)公式，學(xué)生根據(jù)圖形的特征便可直接推知計(jì)算方法。
屬于第一層次的有：會(huì)計(jì)算長(zhǎng)、正方形的周長(zhǎng)，長(zhǎng)方體和正方體的表面積、圓柱的表面積和圓柱、圓錐的體積。
屬于第二層次的有：掌握長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形的面積公式；掌握長(zhǎng)方體和正方體的體積計(jì)算公式；掌握?qǐng)A周長(zhǎng)和圓面積的計(jì)算公式。
3．整個(gè)求積計(jì)算的數(shù)據(jù)不應(yīng)過繁。組合圖形也一般控制在兩個(gè)圖形的組合。
（三）操作技能（主要指測(cè)量與畫圖）
測(cè)量與畫圖都從低、中、高年級(jí)由淺入深地進(jìn)行訓(xùn)練。
1．測(cè)量：
（1）量線段的長(zhǎng)度
一年級(jí)測(cè)量時(shí)限整厘米，以后隨著學(xué)習(xí)輔助的長(zhǎng)度單位，測(cè)量時(shí)不受這種限制；
四年級(jí)初步學(xué)會(huì)用測(cè)量工具在地面上測(cè)定直線和測(cè)量較短的距離。
（2）量角的大小
二年級(jí)先用直角板會(huì)判斷直角；
四年級(jí)會(huì)用量角器量角。
2．畫圖：
（1）畫角
二年級(jí)會(huì)用三角板畫直角；
四年級(jí)會(huì)用量角器和直尺按指定角度畫角。
（2）畫垂線和平行線
四年級(jí)會(huì)用直尺和三角板畫垂線和平行線。
（3）畫長(zhǎng)方形、正方形和圓
二年級(jí)會(huì)在方格紙上畫長(zhǎng)、正方形；
四年級(jí)會(huì)用直尺和三角板畫長(zhǎng)、正方形；
五年級(jí)會(huì)用圓規(guī)畫圓。
（四）進(jìn)行思想教育
新大綱明確規(guī)定要通過圓周率的史料，介紹我國(guó)古代輝煌的數(shù)學(xué)成就，介紹我國(guó)古代的數(shù)學(xué)家祖沖之，有目的地向小學(xué)生進(jìn)行愛國(guó)主義思想教育。有機(jī)而恰當(dāng)?shù)亟Y(jié)合數(shù)學(xué)史實(shí)進(jìn)行思想教育是新大綱的特色之一。
小學(xué)幾何初步知識(shí)的三項(xiàng)具體教學(xué)要求是密切聯(lián)系，相輔相成的。在教學(xué)前，我們要明確它們各自的教學(xué)目標(biāo)；而在教學(xué)中，又應(yīng)充分發(fā)揮它們相互促進(jìn)的作用。這樣才能收到較好的效果。
改革幾何初步知識(shí)的教學(xué)，是貫徹新大綱精神中的一個(gè)重要課題，只要我們能領(lǐng)會(huì)新大綱的指導(dǎo)思想，把握各項(xiàng)具體的教學(xué)要求，不超前也不滯后，運(yùn)用各種行之有效的教學(xué)方法和手段，不久的將來，幾何初步知識(shí)的教學(xué)改革一定會(huì)呈現(xiàn)出新的面貌。
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