讓學生初步學會化歸的思想方法數(shù)學思想和方法的滲透

化歸思想的核心，是以可變的觀點對所要解決的問題進行變形，就是在解決數(shù)學問題時，不是對問題進行 直接進攻，而是采取迂回的戰(zhàn)術(shù)，通過變形把要解決的問題，化歸為某個已經(jīng)解決的問題。從而求得原問題的 解決�；瘹w思想不同于一般所講的“轉(zhuǎn)化”或“變換”。它的基本形式有：化未知為已知，化難為易，化繁為 簡，化曲為直。
    在小學數(shù)學中蘊藏著各種可運用化歸的方法進行解答的內(nèi)容，教師應(yīng)重視通過這些內(nèi)容的教學，讓學生初 步學會化歸的思想方法�，F(xiàn)舉例如下：
    例1.計算1/2+1/3。（五年制小學數(shù)學第八冊第96頁例1，原是應(yīng)用題）
    學生剛開始學習異分母分數(shù)加法，怎樣求出它們的和，是一個所要解決的未知問題，為了解決這個問題， 必須把它化歸為學生能解決的已知問題，即通過通分，把異分母分數(shù)加法化為同分母分數(shù)加法，使之達到原問 題的解決。即：
    ┌─────────┐（化歸 ┌──────────┐
    │ 1/2÷1/3=? │ ——→ │ 3/6-2/6=? │
    └─────────┘ └──────────┘
    ┌─────────┐ ┌──────────┐
    │ 1/2÷1/3=5/6 │ ←—— │ 3/6÷2/6=5/6 │
    └─────────┘ └──────────┘
    例2 怎樣計算圓的面積呢？（五年制小學數(shù)學第十冊第7頁）
    這里要推導(dǎo)出圓面積公式，在推導(dǎo)過程中，采用把圓分成若干等份，然后拼成一個近似長方形，從而推導(dǎo) 出圓的面積公式。這里把圓剪拼成近似長方形的過程，就是把曲線形化歸為直線形的過程。
    ┌─────────┐（化歸） ┌──────────┐
    │求圓面積S[,圓] │———→ │ 求長方形面積S[,長] │
    │ │（剪拼） │ │
    └─────────┘ └──────────┘
    ┌──────────┐ ┌──────────┐
    │S[,圓]＝πr×r │ ←—— │S[,長]＝長×寬 │
    │ ＝πr[2,] │ │ ↓ ↓ │
    └──────────┘ │ c/2 r │
    └──────────┘
    從以上兩例看出，利用化歸思想解決數(shù)學問題的過程，可以以下圖來表示：
    ┌───────────┐（化歸） ┌──────────┐
    │所要解決的問題 │———→ │ 已經(jīng)解決的問題 │
    └───────────┘ └──────────┘
    ┌───────────┐ ┌──────────┐
    │ 原問題的解決 │ ←——— │ 問題的解決 │
    └───────────┘ └──────────┘
    數(shù)學思想和數(shù)學方法是密不可分的�；瘹w思想是化歸方法的理論根據(jù)，化歸方法是化歸思想的具體實施。 在小學數(shù)學教學中有多種化歸方法�，F(xiàn)舉下面幾種常用的方法：
    1.分割法。這是通過對未知成分進行分割，以實現(xiàn)由未知向已知化歸的一種方法。
    例：計算右面圖形的面積。（五年制小學數(shù)學第七冊第115頁例4）
    （附圖 {圖}）
    這個圖形是任意五邊形，無法直接計算它的面積，可以把它分割成一個平行四邊形和一個梯形，并分別計 算出面積，再求兩個圖形面積的和，就求出了這個五邊形的面積。
    2.疊加法。這種方法是為了解決一個普遍性問題或求得一個適合各種情況的共同規(guī)律，必須從各個具體問 題或各種具體情況中找出規(guī)律，然后得到共同規(guī)律，以實現(xiàn)由一般到特殊的化歸，求得問題的解決。
    例：怎樣計算三角形面積？
    三角形有各種形狀，如果能找到各種形狀三角形的面積計算公式，就可以推導(dǎo)出一般三角形的面積計算公 式。教學時可以引導(dǎo)學生用已掌握的長方形、正方形、平行四邊形的面積計算公式推導(dǎo)出三角形面積公式（見 上圖）
    （附圖 {圖}）
    3.交會法。這種方法是先分別求得滿足所求問題的各個條件的解集，進而求得解集的交集（公共解），從 而使問題得到解決。
    例：一路公共汽車每隔4分鐘開出一輛；二路公共汽車每隔6分鐘開出一輛；三路公共汽車每隔8分鐘開出一 輛；當?shù)谝淮稳龡l線路的公共汽車同時開出后，至少隔多少分鐘三條線路的公共汽車又同時開出？
    這是一道思考題，學生較難理解“用求它們的最小公倍數(shù)”來解答，如果用交會法就比較容易理解。解法 是：
    ┌──────┬───────────────────┐
    │ 分共汽車 │ 各次開出時間（分） │
    ├──────┼───────────────────│
    │ 一 路 │4 8 12 16 20 24 28 32 36 40……│
    │ │ │
    │ 二 路 │ 6 12 18 24 30 36 42 …… │
    │ │ │
    │ 三 路 │ 8 16 24 32 40 …… │
    │ │ │
    └──────┴───────────────────┘
    就是至少隔24分鐘，三條線路的公共汽車又同時開出。
    4.局部變動法。這種方法適用于有多個變量的問題，運用此法求解時，可以先只把一個變量看作為變量， 而把其他所有變量暫時看作不變量，于是單獨研究這一變量的變化結(jié)果；接著又單獨研究另一個變量的變化結(jié) 果，而把其他所有變量暫時看作不變量。這樣下去，以實現(xiàn)由整體向局部的化歸，從而求得問題的解決。
    例：一個林場用噴霧器給樹噴藥，2臺噴霧器4小時噴了100棵。照這樣計算，5臺噴霧器6小時可以噴多少棵 ？（五年制小學數(shù)學第七冊第79頁例5）
    此題的解法是先把時間看作不變量，求出每臺噴霧器4小時噴了多少棵(100÷2)；再把臺數(shù)看作不變量，求 出每臺噴霧器每小時噴了多少棵(100÷2÷4)；然后求出5臺噴霧器每小時可以噴多少棵(100÷2÷4×5)；最后 求出5臺噴霧器6小時可以噴多少棵(100÷2÷4×5×6)。這樣通過局部變動的方法，使問題得到解決。
    5.映射法。此法是指在兩類數(shù)學對象之間建立某種對應(yīng)關(guān)系，通過映射將原來的問題化歸為新問題，在求 得新問題的同時，也就求得原問題的解。
    例：一條水渠，橫截面是一個梯形，上口寬2.4米，下底寬1米，水渠中的水深1.2米。如果水流的速度是每 分鐘5米，那么1 小時流過的水有多少立方米？
    解答此題要學生在理解水渠內(nèi)的水流1小時，就是流了300(5×60)米的基礎(chǔ)上，求出1小時的流水量。這就 要把求流水量的問題，映射為一個求橫截面是梯形的直棱柱的問題，這個直棱柱的體積是(300×(2.4+1)×1.2 /2=)612立方米，即1小時流過的水有612立方米。
    6.變形法。這種方法是適用于對所求問題無法直接求得，必須通過對所求問題進行變形，使不可求問題變 為可求，以實現(xiàn)由未知向已知的化歸，達到問題的解決。
    例：一個圓柱形水桶，底面半徑為2分米，桶內(nèi)水深3分米。把一塊不規(guī)則形的鐵塊放進桶內(nèi)水中后，水面 上升到3.5分米。這塊鐵塊的體積是多少立方分米？
    這道題中的鐵塊是不規(guī)則形，題中沒有告知鐵塊的其他已知條件，所以不能直接求出它的體積，必須通過 等積變形，把鐵塊的體積化歸為桶內(nèi)水上升的體積，求得與水上升等高的圓柱體積：π×2(2，)×(3.5－3)=6 .28（立方分米），也就求得了鐵塊的體積為6.28立方分米。

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