三角形面積的分析及教學基本思路

一
    長方形，正方形，平行四邊形，三角形和梯形，都是由三條或三條以上的線段，首尾順序相接而組成的封 閉圖形。它們相互之間不僅在特征上有著密切的聯(lián)系而且在推導面積計算公式的過程中也有著密切的聯(lián)系。三 角形面積計算公式的教學是在學生掌握了長方形，正方形，平行四邊形的特征和面積計算的基礎(chǔ)上進行的。學 生掌握了三角形面積的計算方法和獲取這些知識的能力又為進一步學習梯形面積、圓的面積打下了良好的基礎(chǔ) 。
    一節(jié)課的教學目標，要從知識、能力、思想品德教育三方面進行考慮，以體現(xiàn)學科教學中的素質(zhì)教育思想 。本節(jié)課的教學目標是：
    （1）使學生理解、掌握三角形面積的計算公式， 并能運用它正確計算三角形的面積；
    （2）通過指導實際操作， 培養(yǎng)學生的抽象概括能力和思維的創(chuàng)造性；
    （3）使學生明白事物之間是相互聯(lián)系、可以轉(zhuǎn)化和變換的。
    完成這一教學目標，要根據(jù)學生的認識規(guī)律，在指導學生進行實踐活動的過程中，把動手操作與動腦思考 、動口表述結(jié)合起來。也就是說，首先把學習知識應有的思維活動“外化”為動手操作，然后通過這個“外化 ”的活動再“內(nèi)化”為思維活動。因此在教學過程中，把操作、思維、表述緊密結(jié)合起來，才能完成這一教學 目標。
    本節(jié)課的教學重點是理解、掌握三角形面積的計算公式。
    教學難點是理解面積公式的算理。
    華羅庚說過，“難處不在于有了公式去證明，而在于沒有公式之前，怎樣去找出公式來�！币�培養(yǎng)學生的 空間觀念和創(chuàng)造能力，就必須重視推導公式的過程教學，從學生的認知特點出發(fā)組織學生去大膽地操作實踐， 探求規(guī)律，推導出公式。
    二
    學生掌握新知識的過程是在老師的引導下，充分利用已有知識和學習經(jīng)驗，積極主動地參與探求的過程。 把教材的間接經(jīng)驗通過自身的活動去重新發(fā)現(xiàn)、完善和建立新的認知結(jié)構(gòu)。
    1.抓住新知識的基礎(chǔ)，做好學習新知識的準備
    學習新知識的基礎(chǔ)是選取復習內(nèi)容的依據(jù)，新舊知識的連接點是復習的重點。三角形面積這個新知識的基 礎(chǔ)是長方形、正方形、平行四邊形的面積公式及三角形底和高的認識。新舊知識的連接點是圖形的轉(zhuǎn)化和變換 。在教學新知識之前除了要復習好以上的內(nèi)容外，還要指導學生回憶平行四邊形面積公式的推導過程，喚起“ 轉(zhuǎn)化圖形、建立聯(lián)系、推導公式”的學習方法的認識。為新知識的學習做好知識的、能力的以至情感方面的準 備。
    2.新知識的教學可以分為4個層次進行
    第一層，操作學具。啟發(fā)學生用學具袋中的兩個三角形拼成一個學過的圖形。學生動手、動腦相互交流， 得出“兩個完全一樣的（全等）三角形，可以拼成一個長方形、正方形或平行四邊形。
    第二層，觀察與思考。提出問題引導學生觀察拼成的正方形、長方形或平行四邊形與三角形的關(guān)系。三角 形的底和高與正方形的邊長、長方形的長與寬，以及平行四邊形底和高的關(guān)系？
    第三層，推導公式。利用圖形之間各部分的對應關(guān)系，思考它們面積之間的關(guān)系，最終推導出：因為，平 行四邊形面積＝底×高（平行四邊形的面積是兩個與它等底等高的三角形面積的2倍），所以， 三角形的面積 ＝底×高÷2
    第四層，深化認識。
    為了使學生加深對三角形面積計算公式的理解，進一步啟發(fā)學生，用一個三角形通過割補的辦法推導出三 角形的面積計算公式。學生再次動手，動腦，相互交流，得出（如下圖）如下計算公式：
    （附圖 {圖}）
    三角形面積＝底×（高÷2）
    三角形面積＝（底÷2）×高
    經(jīng)過學生兩次動手、動腦、交流，運用轉(zhuǎn)化和變換多向探索，把求三角形面積這一探索過程充分展示出來 。不僅深化了對公式的理解而且滲透了轉(zhuǎn)化和變換的數(shù)學思想，培養(yǎng)了學生操作能力和分析概括的能力，發(fā)展 了學生的空間觀念。
    3.新知識教學后要及時組織練習。
    練習可從4個方面進行�？诖痤}（理解算理的練習），（1）已知圖形的底和高，可以求出這個圖形的面積 。那么，這個圖形可能是什么形？這些圖形之間有什么共同點？面積有什么關(guān)系？（2 ）三角形面積等于平行 四邊形面積的一半。對不對？為什么？看圖口算（運用公式計算的練習）。下圖中哪個三角形的面積可以用6× 5÷2求出， 為什么（選擇條件的練習）？
    （附圖 {圖}）
    已知三角形的面積是15平方厘米，高是5厘米。求它的底？如下圖， 在一個正方形和一個長方形中，有一 個三角形（陰影部分），求三角形的面積（靈活運用知識的練習）。
    （附圖 {圖}）
    新課后的練習一定要練在重點上和關(guān)鍵處，以加深學生對新知識的認識和提高運用知識的能力。
    三
    本節(jié)教學設計的基本思路是：
    （1）發(fā)揮教師的主導作用，同時要為學生創(chuàng)造主動的發(fā)展空間，引導學生創(chuàng)造性地參與教學的全過程。通 過操作，觀察， 推導和深化4個教學層次，使學生不僅在理解的基礎(chǔ)上掌握新知識，而且進一步體會運用舊知 識去研究新問題的學習方法，從“學會”逐步到“會學”，尋找到解決問題的正確方法。
    （2）在教學過程中，有目的的不失時機地培養(yǎng)學生操作能力， 觀察能力，分析推理的能力。使課堂教學 的過程成為既傳授知識又培養(yǎng)能力的過程。
    附 三角形面積教案
    一、教學內(nèi)容：三角形的面積
    二、教學目標：
    1.使學生理解、掌握三角形面積計算公式，并能運用它正確計算三角形的面積；
    2.通過指導實際操作，培養(yǎng)學生抽象、概括能力和思維的創(chuàng)造性，發(fā)展空間觀念；
    3.使學生明白事物之間是相互聯(lián)系，可以轉(zhuǎn)化和變換的。
    三、教學過程：
    （一）復習引入
    1.出示平行四邊形，復習它的計算公式。
    2.投影銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形，看圖辨識三角形各條邊上的高？
    師：我們已經(jīng)掌握了長方形、正方形、平行四邊形面積的計算方法，那么怎樣計算三角形的面積呢？這節(jié) 課我們就來解決這個問題。
    （二）新授
    1.操作學具。
    師：你能用學具袋中的兩個三角形拼成一個熟知的平面圖形嗎？
    學生拿出學具動手操作拼成一個學過的圖形。
    （附圖 {圖}）
    出示學生拼出的圖形。
    2.觀察與思考。
    師提出問題引導學生觀察：①用兩個什么樣的三角形才能拼成一個學過的平面圖形？②平行四邊形、長方 形、正方形的面積與三角形的面積有什么關(guān)系？為什么？③三角形的底和高與平行四邊形的底和高有什么關(guān)系 ？與長方形的長和寬有什么關(guān)系？與正方形的邊長有什么關(guān)系？
    學生觀察、討論、相互交流、弄清楚面積關(guān)系以及底、高之間的關(guān)系。
    師小結(jié)板書：
    平行四邊形面積＝底×高
    長方形面積＝長×寬
    正方形面積＝邊長×邊長
    2個三角形面積＝底×高
    三角形面積＝底×高÷2
    3.推導公式。
    （1）怎么求平行四邊形的面積？長方形面積？正方形面積？
    （2）平行四邊形面積，長方形面積， 正方形面積都是由幾個完全一樣的三角形組成的？
    （3）怎么求一個三角形的面積？
    師隨著完成上面的板書并引導學生小結(jié)：怎么求三角形面積？為什么？
    4.深化認識。
    師啟發(fā)回憶
    （附圖 {圖}）
    學習平行四邊形面積時，我們運用割補的辦法把平行四邊形轉(zhuǎn)化成了長方形，那么運用割補的辦法能不能 把一個三角形轉(zhuǎn)化成一個平行四邊形或長方形呢？
    學生動手操作、研究、討論、相互交流，教師輔導提示，得出下圖。
    （附圖 {圖}）
    積＝底×高的一半 三角形面積＝底的一半×高
    ＝底×高÷2 ＝底×高÷2
    （1）說一說你是怎么割補的？
    （2）議一議平行四邊形的面積、 長方形面積與三角形面積的關(guān)系，平行四邊形的底和高，長方形的長和 寬與三角形底和高的關(guān)系？得出什么結(jié)論？
    （3）師整理公式（完成上面的板書）
    （4）師總結(jié)：三角形面積等于底乘以高除以2。（板書字母公式：S＝ah÷2），可以理解為底×高乘積的 一半，也可以理解為底×高的一半，還可以理解為底的一半×高。
    四、鞏固練習
    （一）理解性練習（口答）
    1.三角形的底乘以高得到的是什么圖形的面積？再怎么求才能得到三角形面積？
    2.三角形面積等于平行四邊形面積的一半；對不對？為什么？
    （二）運用公式的練習（口答列式）
    （附圖 {圖}）
    （三）選擇條件的練習
    （附圖 {圖}）
    哪個三角形的面積等于6×5÷2？其它兩個為什么不是？
    （四）靈活運用知識的練習
    已知：（如右圖）正方形和一個長方形求陰影面積？
    （附圖 {圖}）
    五、全課總結(jié)

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