抽象思維的局限性及教學對策

[作者]  宜春師專數學系 郭森明

[內容]

我們將客觀對象的其它特征拋棄，而僅取出它的空間形式和數量關系進行研究，便得到了數學的抽象形式，這就是數學的抽象性。高度的抽象性是數學學科特點之一。

鑒于初中生的年齡特點、思維特征以及認知結構，他們的抽象思維具有一定的局限性，這就要求教師在教學中應該采取相應的對策，以利于教學質量的提高。下面結合義務教育教科書內容談談這方面的認識。

１．依賴具體的材料初中生對數學概念的理解，對一些抽象結論的接受，往往需要從具體的實例出發(fā)，表現(xiàn)對具體材料的依賴性。

數學盡管抽象，但有廣泛的具體性。在教學中，教師完全可以憑借十分具體的素材作為模型，列舉足夠數量的實例，或者讓學生自己通過觀察、試驗，動手量量、畫畫、做做，再總結得到結論或者猜想。

義務教育教科書很重視實例的教學作用。例如，通過列舉溫度、海拔高度、水庫水位、物體運動、商品的重量和大小等多個實例，在學生對“相反意義的量”有了感知的基礎上，才引入正、負數的概念。這樣做，學生是樂于接受，也易于接受的，再如通過與分數運算相對比，讓學生理解和掌握分式運算。皮亞杰認為：“傳統(tǒng)數學的缺點，在于往往口頭上講解，而不是從實際操作開始數學教學。”讓學生實踐操作是針對學生“對具體素材的依賴”這一思維的局限性提出的。有經驗的教師都會要學生自己親手將三角形紙片的兩個角剪下拼在第三個角的頂點處，從而抽象出三角形內角和的定理。即使是對一些沒有確定結論要我們進行探索的抽象問題，只要能“動手操作”，就不妨一試，問題可能會變得具體、簡單。義務教育初中幾何第二冊中有一道“想一想”的問題：以３根火柴為邊，可以組成一個三角形，用６根火柴能組成４個三角形嗎？由“火柴”很容易激發(fā)學生動手操作，經過在桌面上和在空間中的操作實驗，學生有了實感，也就不難得到實驗結果。

在教學中，我們會碰到有些概念、規(guī)律并不一定都是從具體實例引出的，而是現(xiàn)有的知識經過運算、推演的結果，縱然如此，教師還要恰當選擇實例，作為理解抽象概念和規(guī)律的補充。

由此可見，從具體實例出發(fā)，是學生思維特點的需要，也符合抽象性和具體性的基本關系，有利于學生理解抽象結論。從具體出發(fā)，并不是遷就學生思維的局限性，而是有其積極意義的。

２．具體和抽象割裂不少學生對數學抽象結論只是形式地掌握，帶有片面性、局限性，記住的只是結論的條文，而不是掌握其實質。例如，學生往往對“絕對值”這一概念形式上認識。由于訓練了一定數量的求具體數的絕對值的練習題，就把絕對值看成是“將數前面符號去掉就是該數的絕對值”，致使以后遇到｜－ａ｜就認為｜－ａ｜＝ａ。義務教育初中代數講絕對值，是采用幾何意義———距離而定義的，如果只是停留在對“距離”的理解（不進行再抽象），那么抽象的式的絕對值應該表示什么就難以解決了。

具體和抽象的割裂還表現(xiàn)在學生局限于教師列舉過的具體內容或者類型十分相近的內容，不會作出簡單的推廣。

要防止具體和抽象的割裂，教師一方面要善于從具體素材出發(fā)，引出概念，揭示規(guī)律，選擇具體素材要有典型性、全面性。在感知的基礎上進行理性分析，通過分析、比較、概括，使具體向抽象轉化。另一方面，更要引導學生運用抽象理論去認識、檢驗具體素材，使抽象理論具體化。例如，義務教育初中代數教材，將具體的２、３、－７、３２、π等數寫成小數的形式，讓學生觀察這些小數的特點，抽象出這一類“無限不循環(huán)小數”為無理數，從而我們可以根據無理數的本質特征（即概念的內涵）去檢驗２３、４＋２也是無理數，而形式上相同的４、－３２７就不是無理數。

由此說來，在教學中，我們要從具體內容出發(fā)，再上升到抽象理論，再一次上升到更豐富、更廣泛的具體內容。

３．抽象能力較弱初中生獨立抽象問題的能力較弱，不會從具體的問題中抽象出有關的數量關系。有的學生知道３２－１、５２－１、７２－１，都能被８整除，卻抽象不出當ｎ是奇數時ｎ２－１能被８整除。四邊形被一條對角線分成兩個三角形，五邊形被由同一頂點出發(fā)的對角線分成三個三角形，卻抽象不出ｎ邊形的情形，從而推導ｎ邊形的內角和公式也會感到困難。

在教學中，有意識地讓學生從一些具體數量中觀察和抽象出它們的關系是有益的。下面兩題不失為訓練學生抽象能力的好題，這就是義務教育初中代數第一冊（上）Ｐ３９Ｂ組第３題與第４題。第三題通過觀察表格中的和Ｓ以及加數的個數ｎ的規(guī)律，抽象出從１開始連續(xù)ｎ個奇數相加的和是ｓ＝ｎ２；第４題則通過觀察三角形點圖，抽象出每個圖形的總的點數ｓ和三角形每條邊（包括兩個頂點）上點數ｎ的關系式是：ｓ＝３ｎ－３。

在具體到抽象的過程中，以觀察為基礎，還要運用分析、比較、綜合、概括、歸納、演繹等邏輯方法，這是關鍵。我們常說的發(fā)現(xiàn)法，就體現(xiàn)了“觀察→分析、綜合、歸納、類比→抽象、概括→證明”這一認識過程。義務教育初中幾何對“平行四邊形”的教學是先講平行四邊形定義，再講性質，最后講判定定理，這是傳統(tǒng)的編排順序，有的教師先組織學生觀察圖形或模型，總結出平行四邊形的全部本質屬性（即是教材中作為定義的平行四邊形的本質屬性以及作為性質和判定的本質屬性），然后讓學生分析應該選擇哪一本質屬性作為定義，哪些屬性作為性質，哪些屬性作為判定定理，最后一一完成定義和定理的表述及證明。這一過程實際上融匯了觀察實驗與邏輯方法這兩種方法。因此，有針對性地進行邏輯方法的訓練，有助于發(fā)展學生的抽象能力。

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