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中德兩國小學(xué)數(shù)學(xué)教材比較研究
【１９９０年，筆者曾在德國巴伐利亞州進(jìn)修。在進(jìn)修期間完成了《中德兩國小學(xué)數(shù)學(xué)教材比較研究》一 文。１９９１年，該文發(fā)表在德國雜志《教育世界》第９期上。德國巴伐利亞州的小學(xué)學(xué)制四年，為了具有可 比性，因此只是對兩國１—４年級的數(shù)學(xué)教材進(jìn)行了比較。選取的教材是：德國巴伐利亞州一套現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué) 教材《想與算》和我國的四省市《數(shù)學(xué)》教材。本文在德文原文的基礎(chǔ)上，結(jié)合近幾年的學(xué)習(xí)體會進(jìn)行了充實 和修改。】教材在教學(xué)中具有十分重要的作用，這是顯然的事實。在從一綱一本到一綱多本、多綱多本變遷的今在， 我們不但十分有必要研究國內(nèi)各套教材的優(yōu)缺點，而且還有必要研究國外教材與我們的差異，以便取長補短。 本文試圖對中德兩國小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編排體系和特點從宏觀和微觀兩個角度作一比較。
一、教材編排體系的宏觀比較
所謂宏觀比較，是指對教材選取的總體教學(xué)內(nèi)容、教材結(jié)構(gòu)和編寫特點加以比較。一套數(shù)學(xué)教材選取的教 學(xué)內(nèi)容及其編排順序，體現(xiàn)了編者對學(xué)生的要求和對學(xué)生認(rèn)知能力的研究水平。（兩國１—４年級的教學(xué)內(nèi)容 和教材編排順序表附在下頁）
附：中德兩國１—４年級的教學(xué)內(nèi)容和教材編排順序表
閱讀了兩國的教材可以看到：
１．德國教材的內(nèi)容少，我國教材的知識點多。德國小學(xué)四年數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容相當(dāng)于我國三年的內(nèi)容。
編者在選取小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容時，主要考慮所取內(nèi)容的必要性和學(xué)生的可接受性，同時也考慮整個義務(wù) 教育階段（中小學(xué)）數(shù)學(xué)教學(xué)的體系。德國教材在小學(xué)四年中安排的內(nèi)容少，說明他們對學(xué)生所學(xué)“知識點” 上的要求比較低。由于教學(xué)內(nèi)容比較少，所以在每節(jié)課中所教學(xué)的知識點也少，這樣對知識的發(fā)生過程就有可 能得到較充分的強調(diào)，這是它的優(yōu)點。但對于一部分智力相對比較好的學(xué)生來說，他們在同樣的時間內(nèi)可以學(xué) 習(xí)更多的內(nèi)容，而由于教材內(nèi)容少，因而會產(chǎn)生浪費時間的現(xiàn)象。我國教材的知識點多，對于智力較好的學(xué)生 來說，可以學(xué)到更多的內(nèi)容，而對于學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生來說，常常會覺得要求過高。從兩國教材內(nèi)容多少的比 較中，給我們的啟示是：要加大我國教材的“彈性”，對于不同的學(xué)生，應(yīng)該有不同層次的要求。
２．我國教材結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，德國教材結(jié)構(gòu)相對松散。
數(shù)學(xué)具有嚴(yán)密的邏輯性，因此，數(shù)學(xué)教材的編寫常常要考慮數(shù)學(xué)知識本身的結(jié)構(gòu)，從而讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 時，體會到數(shù)學(xué)的這種嚴(yán)密性。正因為如此，我國的數(shù)學(xué)教材在編寫時，十分注重內(nèi)容結(jié)構(gòu)的嚴(yán)謹(jǐn)，常常用標(biāo) 準(zhǔn)的數(shù)學(xué)術(shù)語陳述數(shù)學(xué)內(nèi)容，對概念常常給出完整的和相當(dāng)嚴(yán)密的定義。相比之下，德國教材顯得相對松散， 教材中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)概念、命題大多采用描述性的語言，使用數(shù)學(xué)術(shù)語較少，例如，在１—４年級的教材中都沒 有出現(xiàn)：加數(shù)、和；被減數(shù)、減數(shù)、差等數(shù)學(xué)術(shù)語。又如德國教材中的應(yīng)用題沒有單獨列章節(jié)，也沒有比較嚴(yán) 格地按計算步數(shù)多少來編排；我國教材中的應(yīng)用題單獨列章節(jié)，而且比較嚴(yán)格地按照一步、兩步及多步復(fù)合應(yīng) 用題的順序呈現(xiàn)。再如，我國教材在學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)小數(shù)的四則運算以前，要先學(xué)分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識，然后再從十 進(jìn)分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)到小數(shù)，結(jié)構(gòu)十分嚴(yán)謹(jǐn)；而德國教材在引進(jìn)分?jǐn)?shù)時，只說“像１．４、１２．８……這樣的數(shù)叫小數(shù) 。小數(shù)點就是把馬克和芬尼分開的小圓點�！比缓缶烷_始小數(shù)的運算。
我國教材的編寫注意知識結(jié)構(gòu)的嚴(yán)密性，這對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和建立較完整的知識體系是有利的 。但如果教材過份強調(diào)嚴(yán)密，時時都要考慮數(shù)學(xué)知識本身的結(jié)構(gòu)，那就不利于在教材中適當(dāng)加強或滲透現(xiàn)代數(shù) 學(xué)知識。德國的教材比較松散、通俗，容易被學(xué)生接受和掌握。從兩國教材的結(jié)構(gòu)比較中，給我們的啟示是： 我們應(yīng)該適當(dāng)?shù)仄瞥瓉淼摹皣?yán)密”框架，不受“嚴(yán)密”的束縛，把一個公民必須具備的現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識和思想 編寫進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)教材中去。
３．德國教材重視知識的實際應(yīng)用，我國教材重視知識的形式化操練。
（附圖 {圖}）
德國教材十分重視讓學(xué)生運用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識去認(rèn)識周圍世界，去解決實際問題。例如有關(guān)時間的計算， 教材中編寫了許多實際生活中的問題，在課本里印有一張奧格斯堡火車總站在９∶００—１２∶００之間的真 實火車時刻表。時刻表中有這樣一些信息：在９∶００—１２∶００這段時間里，從奧格斯堡火車總站發(fā)出的 各輛火車的車次、火車行駛方向、旅客上車的站臺號、沿途�？扛髡緯r間、到達(dá)終點站的時間等。根據(jù)這張時 刻表，要求學(xué)生解答類似于下面的一些問題：
①寫出在９∶００—１２∶００這段時間中，從奧格斯堡發(fā)出的去下列方向的所有火車車次；
ａ）去慕尼黑； ｂ）去紐倫堡。
②在９∶００—１２∶００這段時間里，乘哪幾次火車的旅客要從８號站臺上車？
③卡塔琳小姐在９∶２０到達(dá)奧格斯堡火車總站，她想去慕尼黑，可以乘哪幾次火車？最快的是哪一次？ 到達(dá)慕尼黑是幾時？從奧格斯堡到慕尼黑要多少時間？
有關(guān)看火車時刻表的問題中，這套教材里出了１３個大題，２９個小題，幾乎把日常生活中碰到的一些實 際問題都編進(jìn)了教材。
德國教材中有關(guān)行程問題，一般先給學(xué)生一張火車的時速表，先要求學(xué)生讀出速度值，再計算。我國教材 中有關(guān)時間問題的計算，一般讓學(xué)生計算：上午９時到下午３時經(jīng)過多少時間？有關(guān)行程問題，常讓學(xué)生練習(xí) “一列火車每小時行６０千米，行了９小時，共行多少路程”這樣的形式化操練題。
筆者認(rèn)為，教材重視知識的實際應(yīng)用，是十分必要的，是培養(yǎng)學(xué)生具有良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)的重要途徑。對數(shù) 學(xué)知識作適當(dāng)?shù)男问交倬�，對于鞏固基礎(chǔ)知識，形成基本技能，提高實際應(yīng)用能力是有益而無害的。但目前 我國有些教材過分注重形式化操練，而忽視了知識的實際應(yīng)用，這是不足取的。德國教材中重視實際應(yīng)用的做 法值得我們借鑒。
４．德國教材重視估算，我國教材估算內(nèi)容相對較少。
在我們的日常生活中估算的次數(shù)常常比精確計算的次數(shù)多。因此，估算的掌握就顯得很重要。德國教材無 論在計算、應(yīng)用題、量的計量等方面的教學(xué)中都十分重視估算。例如，在計算教學(xué)中常出現(xiàn)以下類型的試題：
題目 估算 精確計算 驗算
１７４×５０３
３８１４÷６１ 德國教材給出的應(yīng)用題的解題步驟是：①仔細(xì)地讀題；②在重要的詞后的數(shù)下面劃線 ；③畫出草圖；④寫出解題計劃；⑤估算；⑥精確計算；⑦比較估算和精確計算的結(jié)果；⑧再讀一遍題目的問 題，作出答案。把估算作為解應(yīng)用題的一個步驟，這也說明對估算教學(xué)的重視。
在量的計量教學(xué)中，德國教材不但要求學(xué)生估計長度、時間、重量、容積，而且要求估計商品的價格，例 如估計一輛自行車、一個書包的價格等。
我國教材通常在長度、時間、重量、容積等方面的教學(xué)中有估算的內(nèi)容，但與德國教材相比，估算內(nèi)容太 少。
我國教材注重精確計算，這對提高學(xué)生的計算能力有一定的好處。德國教材重視估算，能使學(xué)生從小具有 估算意識和較強的估算能力。從中給我們的啟示是：估算能力是公民應(yīng)具有的一種基本數(shù)學(xué)素質(zhì)，我們的教材 應(yīng)該適當(dāng)增加這方面的內(nèi)容。
二、教材編排體系的微觀比較
這里的微觀比較指的是對教材中的某一具體教學(xué)內(nèi)容的編排以及具體的計算方法的比較。對于同一數(shù)學(xué)知 識，常常有不同的編排順序，中德兩國教材在以下幾塊四則計算內(nèi)容的編排和計算方法中存在差異：
１．２０以內(nèi)數(shù)的進(jìn)位加法和退位減法。
我國教材在編排２０以內(nèi)數(shù)的進(jìn)位加法和退位減法時，采用的是加減混編或加減分編。在加減混編中，常 采用９加幾和相應(yīng)的減法，８加幾和相應(yīng)的減法……的順序編寫；或者按和是１１的加法和相應(yīng)的減法，和是 １２的加法和相應(yīng)的減法……的順序編寫。在加減分編中，總是先加后減，加法的編排順序是９＋幾、８＋幾 、７＋幾、６＋幾。９＋幾的加法又是按９＋２、９＋３、……、９＋９的順序編排。８＋幾、７＋幾、６＋ 幾的加法編排順序與９＋幾相同。
德國教材采用加減分編，順序是６＋幾、７＋幾、８＋幾、９＋幾。在每一段加法的編排中，又分別是以 ６＋６，７＋７，８＋８，９＋９這些“對子數(shù)”相加作為開頭。具體順序如下： ６＋６＝１２ ７＋７＝１４ ８＋８＝１６ ９＋９＝１８ ６＋５＝ ７＋６＝ ８＋９＝ １０＋９＝ ６＋７＝ ７＋８＝ ８＋７＝ ８＋９＝ ５＋６＝ ６＋７＝ ９＋８＝ ９＋１０＝ ７＋６＝ ８＋７＝ ７＋８＝ ９＋８＝
在計算方法上，如６＋幾，當(dāng)計算６＋６＝１２時，采用湊十法，其他幾題的計算以６＋６＝１２為依據(jù) ，分別推算出答案。如要算６＋５＝？思考過程為：因為６＋６＝１２，而５比６�。保裕叮担剑保�。 其余類推。德國教材在退位減法中，也分別以１２－６、１４－７、１６－８、１８－９作為每一段減法的開 頭。
筆者曾經(jīng)問德國數(shù)學(xué)教材的編者，為什么這樣編排？他的回答是：有實驗證明兩個相同的數(shù)相加最容易掌 握，教材這樣編排是為了貫徹由易到難的原則。中德兩國對２０以內(nèi)數(shù)的進(jìn)位加法和退位減法采用了不同的編 排體系，到底哪一種編排體系更有利于學(xué)生學(xué)習(xí)，有待實驗進(jìn)一步證明。
２．多位數(shù)加減。
我國教材筆算加法起始于兩位數(shù)加兩位數(shù)不進(jìn)位加法，常安排在一下年級教學(xué)；德國教材筆算加減法起始 于三位數(shù)加三位數(shù)不進(jìn)位加法，安排在三年級。
德國三年級數(shù)學(xué)教材，在三位數(shù)加三位數(shù)的進(jìn)位加法后，緊接著出現(xiàn)了三位數(shù)減三位數(shù)不退位筆算減法， 這也是他們筆算減法的開始。在我國現(xiàn)行的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，筆算減法開始于兩位數(shù)減兩位數(shù)不退位減法，通 常安排在一下年級教學(xué)。在計算方法上，兩國之間存在著較大差異，德國采用“想加做減”的方法，他們把這 種方法稱為“補充法”。例如計算：
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計算這道題語言表達(dá)是：因為６個一加上１個一是７個一，所以在個位上寫１。十位、百位上的數(shù)相減的 表達(dá)方式與此類似。在退位減法中，當(dāng)某一位上的數(shù)不夠減時，他們采用“被減數(shù)和減數(shù)都加同一個數(shù)”的辦 法。
例如計算：
（附圖 {圖}）
思考過程如下：因為找不到這樣一個數(shù)（在小學(xué)里），使得９加上這個數(shù)等于３，所以，被減數(shù)補充１０ 個一（１０寫在３的下面），減數(shù)補充１個十（１寫在６的下面）。補充的１０個一和原來個位上的３個一合 在一起是１３個一，即１３，而９＋４＝１３，所以，在差的個位上寫４。十位上的數(shù)的計算過程與個位上類 似。由上述計算可以看到，德國教材中做退位減法的基礎(chǔ)知識是：
①十進(jìn)制位值原則；
②２０以內(nèi)（包括１０以內(nèi)）數(shù)的加法；
③“被減數(shù)和減數(shù)都加上同一個數(shù)，差不變”的性質(zhì)。
我國現(xiàn)行教材中，做不退位減法時，一般采用“想減做減”的方法。在做退位減法時，采用“向高位去借 ”的辦法。做退位減法的主要基礎(chǔ)知識是：
①十進(jìn)制位值原則；
②２０以內(nèi)（包括１０以內(nèi)）數(shù)的加、減法。
比較兩國的計算方法，筆者認(rèn)為，我們的計算方法比德國的方法要優(yōu)越。我們的方法思考過程簡單，用到 的基礎(chǔ)知識少。有趣的是筆者給德國的小學(xué)生介紹了我們的計算方法，當(dāng)他們掌握后，問他們喜歡哪一種方法 ，德國的小學(xué)生回答是喜歡他們自己的方法，這也可能是不同的民族有不同的習(xí)慣吧。
當(dāng)然，如果運用他們的方法去計算“被減數(shù)中間或末尾有幾個零”的退位減法題，有其方便的一面，因為 它不會像我們的方法那樣產(chǎn)生“連續(xù)向高位去借”的情況。
３．乘法。
中德兩國教材在被乘數(shù)和乘數(shù)的書寫形式上正好相反。如３＋３＋３＋３，德國教材寫作４×３，而我國 教材寫作３×４。德國教材只給出一種讀法：“４乘３”，我國教材對于３×４可以有兩種讀法。由此可見， 對一個乘法算式書寫的形
式以及算式的讀法完全是人定的。
中德兩國教材在表內(nèi)乘法的編排體系上存在較大差異。我國教材一般按照自然數(shù)的順序依次講述２、３、 ４、……８、９的乘法口訣。而德國教材的編排順序是：１０、５、２、４、８、３、６、９、７。德國的教 育工作者認(rèn)為：一個自然數(shù)與１０相乘最方便，只要在這個數(shù)后面添上一個零即可，因此與１０相乘要先學(xué)； 而與５相乘是這個數(shù)乘以１０的一半；與２相乘就是把這個數(shù)“翻倍”；與４相乘是在與２相乘后再“翻倍” ；與８相乘是在與４相乘后“翻倍”；與３相乘和與６、與９相乘道理類似。而一個數(shù)與７相乘是最難的，因 此放在最后。表內(nèi)乘法教材到底哪國的編寫順序更有利于學(xué)生學(xué)習(xí)，有待于實驗研究。
兩國教材在筆算一位數(shù)乘法時，乘的方法和順序沒有區(qū)別。在筆算多位數(shù)乘法時，我國教材采用從低位到 高位的順序，德國教材正相反，采用從高位到低位的順序。例如： 德國 我國
６９４·７２９ ６９４
×７２９
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４８５８ ６２４６
１３８８ １３８８
６２４６ ４８５８
------------- ------------------
５０５９２６ ５０５９２６
筆者認(rèn)為，兩種乘法順序無本質(zhì)差異。在估算時，對掌握從高位乘起的方法者更有利。
常州市教育科學(xué)研究所高級講師、特級教師邱學(xué)華評析：
朱樂平撰寫的《中德兩國小學(xué)數(shù)學(xué)教材比較研究》一文，觀點鮮明，通俗易懂。通過比較，為促進(jìn)我國教 材建設(shè)服務(wù)，體現(xiàn)了“洋為中用”的原則。
通過宏觀比較，他認(rèn)為我國教材知識點多，教材結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，但是過分注重形式操練，忽視知識的實際應(yīng)用 。這些意見是十分中肯的，有遠(yuǎn)見的，表明作者具有扎實的理論基礎(chǔ)和豐富的實踐經(jīng)驗。
在微觀比較中，客觀地介紹了兩國的某些具體內(nèi)容編排體系以及具體的計算方法。誰是誰非，作者并沒有 下結(jié)論，而是說“到底哪一種編排體系更有利學(xué)生學(xué)習(xí)，有待實驗進(jìn)一步證明”，充分體現(xiàn)了作者的科學(xué)態(tài)度 。
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