復(fù)數(shù)的向量表示

教學(xué)目標(biāo)

　�。�1）掌握向量的有關(guān)概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量；

　　（2）理解并掌握復(fù)數(shù)集、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的集合、復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量集合之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；

　�。�3）掌握復(fù)數(shù)的模的定義及其幾何意義；

　�。�4）通過學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的向量表示，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；

　�。�5）通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、分析能力，幫助學(xué)生逐步形成科學(xué)的思維習(xí)慣和方法．

 
 教學(xué)建議

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)

　　本節(jié)內(nèi)容首先從物理中所遇到的一些矢量出發(fā)引出向量的概念，介紹了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接著介紹了復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量集合之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，指出了復(fù)數(shù)的模的定義及其計(jì)算公式．

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

　　本節(jié)的重點(diǎn)是復(fù)數(shù)與復(fù)平面的向量的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解；難點(diǎn)是復(fù)數(shù)模的概念．復(fù)數(shù)可以用向量表示，二者的對(duì)應(yīng)關(guān)系為什么只能說復(fù)數(shù)集與以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量的集合一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而不能說與復(fù)平面內(nèi)的向量一一對(duì)應(yīng)，對(duì)這一點(diǎn)的理解要加以重視．在復(fù)數(shù)向量的表示中，從復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)以及以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系是本節(jié)教學(xué)的難點(diǎn)．復(fù)數(shù)模的概念是一個(gè)難點(diǎn)，首先要理解復(fù)數(shù)的絕對(duì)值與實(shí)數(shù)絕對(duì)值定義的一致性質(zhì)，其次要理解它的幾何意義是表示向量的長(zhǎng)度，也就是復(fù)平面上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．

三、教學(xué)建議

　　1．在學(xué)習(xí)新課之前一定要復(fù)習(xí)舊知識(shí)，包括實(shí)數(shù)的絕對(duì)值及幾何意義，復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、現(xiàn)行高中物理課本中的有關(guān)矢量知識(shí)等，特別是對(duì)于基礎(chǔ)較差的學(xué)生，這一環(huán)節(jié)不可忽視．

　　2．理解并掌握復(fù)數(shù)集、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)集、復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量集合三者之間的關(guān)系

　如圖所示，建立復(fù)平面以后，復(fù)數(shù) 與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) 形成—一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而點(diǎn) 又與復(fù)平面的向量 構(gòu)成—一對(duì)應(yīng)關(guān)系．因此，復(fù)數(shù)集 與復(fù)平面的以 為起點(diǎn)，以 為終點(diǎn)的向量集 形成—一對(duì)應(yīng)關(guān)系．因此，我們常把復(fù)數(shù) 說成點(diǎn)Z或說成向量 ．點(diǎn) 、向量 是復(fù)數(shù) 的另外兩種表示形式，它們都是復(fù)數(shù) 的幾何表示．
　　相等的向量對(duì)應(yīng)的是同一個(gè)復(fù)數(shù)，復(fù)平面內(nèi)與向量 相等的向量有無窮多個(gè)，所以復(fù)數(shù)集不能與復(fù)平面上所有的向量相成—一對(duì)應(yīng)關(guān)系．復(fù)數(shù)集只能與復(fù)平面上以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量集合構(gòu)成—一對(duì)應(yīng)關(guān)系．

2．

　　這種對(duì)應(yīng)關(guān)系的建立，為我們用解析幾何方法解決復(fù)數(shù)問題，或用復(fù)數(shù)方法解決幾何問題創(chuàng)造了條件．

　　3．向量的模，又叫向量的絕對(duì)值，也就是其有向線段的長(zhǎng)度．它的計(jì)算公式是 ，當(dāng)實(shí)部為零時(shí)，根據(jù)上面復(fù)數(shù)的模的公式與以前關(guān)于實(shí)數(shù)絕對(duì)值及算術(shù)平方根的規(guī)定一致．這些內(nèi)容必須使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上牢固地掌握．

　　4．講解教材第182頁(yè)上例2的第（1）小題建議．在講解教材第182頁(yè)上例2的第（1）小題時(shí)．如果結(jié)合提問 的圖形，可以幫助學(xué)生正確理解教材中的“圓”是指曲線而不是指圓面（曲線所包圍的平面部分）．對(duì)于倒2的第（2）小題的圖形，畫圖時(shí)周界（兩個(gè)同心圓）都應(yīng)畫成虛線．

　　5．講解復(fù)數(shù)的模．講復(fù)數(shù)的模的定義和計(jì)算公式時(shí)，要注意與向量的有關(guān)知識(shí)聯(lián)系，結(jié)合復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)，以復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為終點(diǎn)的向量之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上記憶。向量 的模，又叫做向量 的絕對(duì)值，也就是有向線段OZ的長(zhǎng)度 ．它也叫做復(fù)數(shù) 的�；蚪^對(duì)值．它的計(jì)算公式是 ．

 

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

復(fù)數(shù)的向量表示

教學(xué)目的

　　1掌握復(fù)數(shù)的向量表示 ，復(fù)數(shù)模的概念及求法，復(fù)數(shù)模的幾何意義．
　　2 通過數(shù)形結(jié)合研究復(fù)數(shù)．
　　3培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義思想．

重點(diǎn)難點(diǎn)

　　復(fù)數(shù)向量的表示及復(fù)數(shù)模的概念．

教學(xué)學(xué)具

　　投影儀

教學(xué)過程

1復(fù)習(xí)提問：向量的概念；模；復(fù)平面．
2新課：

一、復(fù)數(shù)的向量表示：

在復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)，點(diǎn)Z（a，b）為終點(diǎn)的向量OZ，由點(diǎn)Z（a，b）唯一確定．

因此復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)集與復(fù)數(shù)集C之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)集與以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng)．

常把復(fù)數(shù)z=a+bi說成點(diǎn)Z（a，b）或說成向量OZ，并規(guī)定相等向量表示同一復(fù)數(shù)．

二、復(fù)數(shù)的模

　　向量OZ的模（即有向線段OZ的長(zhǎng)度）叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模（或絕對(duì)值）記作|Z|或|a+bi|

　　|Z|=|a+bi|=a+b    

　　例1  求復(fù)數(shù)z₁=3+4i及z₂=-1+2i的模，并比較它們的大小．

　　解：∵|Z₁|²=3²+4²=25     |Z₂|²=（-1）²+2²=5

　　∴|Z₁|＞|Z₂|

練習(xí)： 1已知z₁=1+3i  z₂=-2i  Z₃=4   Z₄=-1+2i

　�、旁趶�(fù)平面內(nèi)，描出表示這些向量的點(diǎn)，畫出向量．

　�、朴�(jì)算它們的模．    

三、復(fù)數(shù)模的幾何意義

　　復(fù)數(shù)Z=a+bi，當(dāng)b=0時(shí)z∈R |Z|=|a|即a在實(shí)數(shù)意義上的絕對(duì)值復(fù)數(shù)�？煽醋鼽c(diǎn)Z（a，b）到原點(diǎn)的距離．

　　例2  設(shè)Z∈C滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？

　�、� |Z|=4    ⑵  2≤|Z|＜4

　　解：（略）

練習(xí)：⑴ 模等于4的虛數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)集             ．

　　⑵  比較復(fù)數(shù)z₁=－5+12i    z₂=―6―6i的模的大�。�

　　⑶已知：|Z|=|x+yi|=1 求表示復(fù)數(shù)x+yi的點(diǎn)的軌跡．

教學(xué)后記：

板書設(shè)計(jì)：    

一、復(fù)數(shù)的向量表示：        三、復(fù)數(shù)模的幾何意義

二、復(fù)數(shù)的模           　　       例2

　例1             

 

探究活動(dòng)

　　已知 要使 ，還要增加什么條件？

　　解：要使 ，即 由此可知，點(diǎn) 到兩個(gè)定點(diǎn) 和 的距離之和為6 ，如把看成動(dòng)點(diǎn)，則它的軌跡是橢圓 ．

　　因此，所要增加的條件是：點(diǎn) 應(yīng)滿足條件 ．

　　說明　此題是屬于缺少條件的探索性問題，解決這類問題的一般做法是從結(jié)論出發(fā)，并采用逆推的方法得出終結(jié)的結(jié)論，便理所求的條件．     

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