對數(shù)
教學(xué)目標(biāo)
1．理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算性質(zhì)．
(1) 了解對數(shù)式的由來和含義，清楚對數(shù)式中各字母的取值范圍及與指數(shù)式之間的關(guān)系．能認識到指數(shù)與對數(shù)運算之間的互逆關(guān)系．
(2) 會利用指數(shù)式的運算推導(dǎo)對數(shù)運算性質(zhì)和法則，能用符號語言和文字語言描述對數(shù)運算法則，并能利用運算性質(zhì)完成簡單的對數(shù)運算．
(3) 能根據(jù)概念進行指數(shù)與對數(shù)之間的互化．
2．通過對數(shù)概念的學(xué)習(xí)和對數(shù)運算法則的探究及證明，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的概括思維能力，滲透化歸的思想，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力．
3．通過對數(shù)概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生對立統(tǒng)一，相互聯(lián)系，相互轉(zhuǎn)化的思想．通過對數(shù)運算法則的探究，使學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問題，揭示數(shù)學(xué)規(guī)律從而調(diào)動學(xué)生思維的積極參與，培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題的能力及大膽探索，實事求是的科學(xué)精神．
教學(xué)建議
教材分析
(1) 對數(shù)既是一個重要的概念，又是一種重要的運算，而且它是與指數(shù)概念緊密相連的．它們是對同一關(guān)系從不同角度的刻畫，表示為當(dāng) 時， ．所以指數(shù)式 中的底數(shù)，指數(shù)，冪與對數(shù)式 中的底數(shù)，對數(shù)，真數(shù)的關(guān)系可以表示如下：
(2) 本節(jié)的教學(xué)重點是對數(shù)的定義和運算性質(zhì)，難點是對數(shù)的概念．
對數(shù)首先作為一種運算，由 引出的，在這個式子中已知一個數(shù) 和它的指數(shù)求冪的運算就是指數(shù)運算，而已知一個數(shù)和它的冪求指數(shù)就是對數(shù)運算(而已知指數(shù)和冪求這個數(shù)的運算就是開方運算)，所以從方程角度來看待的話，這個式子有三個量，知二求一．恰好可以構(gòu)成以上三種運算，所以引入對數(shù)運算是很自然的，也是很重要的，也就完成了對 的全面認識．此外對數(shù)作為一種運算除了認識運算符號“ ”以外，更重要的是把握運算法則，以便正確完成各種運算，由于對數(shù)與指數(shù)在概念上相通，使得對數(shù)法則的推導(dǎo)應(yīng)借助指數(shù)運算法則來完成，脫到過程又加深了指對關(guān)系的認識，自然應(yīng)成為本節(jié)的重點，特別予以關(guān)注．
對數(shù)運算的符號的認識與理解是學(xué)生認識對數(shù)的一個障礙，其實 與+， 等符號一樣表示一種運算，不過對數(shù)運算的符號寫在前面，學(xué)生不習(xí)慣，所以在認識上感到有些困難．
教法建議
�。�1）對于對數(shù)概念的學(xué)習(xí)，一定要緊緊抓住與指數(shù)之間的關(guān)系，首先從指數(shù)式中理解底數(shù) 和真數(shù) 的要求，其次對于對數(shù)的性質(zhì) 及零和負數(shù)沒有對數(shù)的理解也可以通過指數(shù)式來證明，驗證．同時在關(guān)系的指導(dǎo)下完成指數(shù)式和對數(shù)式的互化．
（2）對于運算法則的探究，對層次較高的學(xué)生可以采用“概念形成”的學(xué)習(xí)方式通過對具體例子的提出，讓形式的認識由感性上升到理性，由特殊到一般歸納出法則，再利用指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系完成證明，而其他法則的證明應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用已證結(jié)論完成，強化“用數(shù)學(xué)”的意識．
（3）對運算法則的認識，首先可以類比指數(shù)運算法則對照記憶，其次強化法則使用的條件或者說成立的條件是保證左，右兩邊同時都有意義，因此要注意每一個對數(shù)式中字母的取值范圍．最后還要讓學(xué)生認清對數(shù)運算法則可使高一級的運算轉(zhuǎn)化為低一級的運算，這樣不僅加快了計算速度，也簡化了計算方法，顯示了對數(shù)計算的優(yōu)越性．
教學(xué)設(shè)計示例
對數(shù)的運算法則
教學(xué)目標(biāo)
1．理解并掌握對數(shù)性質(zhì)及運算法則，能初步運用對數(shù)的性質(zhì)和運算法則解題．
2．通過法則的探究與推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的概括思想，滲透化歸思想及邏輯思維能力．
3．通過法則探究，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性．培養(yǎng)大膽探索，實事求是的科學(xué)精神．
教學(xué)重點，難點
重點是對數(shù)的運算法則及推導(dǎo)和應(yīng)用
難點是法則的探究與證明．
教學(xué)方法
引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法
教學(xué)用具
投影儀
教學(xué)過程
一. 引入新課
我們前面學(xué)習(xí)了對數(shù)的概念，那么什么叫對數(shù)呢?通過下面的題目來回答這個問題．
如果看到 這個式子會有何聯(lián)想?
由學(xué)生回答(1) (2) (3) (4) ．
也就要求學(xué)生以后看到對數(shù)符號能聯(lián)想四件事．從式子中，可以總結(jié)出從概念上講，對數(shù)與指數(shù)就是一碼事，從運算上講它們互為逆運算的關(guān)系．既然是一種運算，自然就應(yīng)有相應(yīng)的運算法則，所以我們今天重點研究對數(shù)的運算法則．
二．對數(shù)的運算法則(板書)
對數(shù)與指數(shù)是互為逆運算的，自然應(yīng)把握兩者的關(guān)系及已知的指數(shù)運算法則來探求對數(shù)的運算法則，所以我們有必要先回顧一下指數(shù)的運算法則．
由學(xué)生回答后教師可用投影儀打出讓學(xué)生看： ， ， ．
然后直接提出課題：若 是否成立?
由學(xué)生討論并舉出實例說明其不成立(如可以舉 而 )，教師在肯定結(jié)論的正確性的同時再提出
可提示學(xué)生利用剛才的反例，把 5改寫成 應(yīng)為 ，而32=2 ，還可以讓學(xué)生再找?guī)讉�例子， ．之后讓學(xué)生大膽說出發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律?
由學(xué)生回答應(yīng)有 成立．
現(xiàn)在它只是一個猜想，要保證其對任意 都成立，需要給出相應(yīng)的證明，怎么證呢?你學(xué)過哪些與之相關(guān)的證明依據(jù)呢?
學(xué)生經(jīng)過思考后找出可以利用對數(shù)概念，性質(zhì)及與指數(shù)的關(guān)系，再找學(xué)生提出證明的基本思路，即對數(shù)問題先化成指數(shù)問題，再利用指數(shù)運算法則求解．找學(xué)生試說證明過程，教師可適當(dāng)提示，然后板書．
證明：設(shè) 則 ，由指數(shù)運算法則
得
，
即 ． (板書)
法則出來以后，要求學(xué)生能 從以下幾方面去認識：
(1) 公式成立的條件是什么?(由學(xué)生指出．注意是每個真數(shù)都大于零，每個對數(shù)式都有意義為使用前提條件)．
(2)能用文字語言敘述這條法則：兩個正數(shù)的積的對數(shù)等于這兩個正數(shù)的對數(shù)的和．
(3)若真數(shù)是三個正數(shù)，結(jié)果會怎樣?很容易可得 ．
(條件同前)
(4)能否利用法則完成下面的運算：
例1：計算
(1) (2) (3)
由學(xué)生口答答案后，總結(jié)法則從左到右使用運算的級別降低了，從右到左運算是升級運算，要求運算從雙向把握．然后提出新問題：
．
可由學(xué)生說出 ．得到大家認可后，再讓學(xué)生完成證明．
證明：設(shè) 則 ，由指數(shù)運算法則得
．
教師在肯定其證明過程的同時，提出是否還有其它的證明方法?能否用上剛才的結(jié)論?
有的學(xué)生可能會提出把 看成 再用法則，但無法解決 計算問題，再引導(dǎo)學(xué)生如何回避 的問題．經(jīng)思考可以得到如下證法
．或證明如下
，再移項可得證．以上兩種證明方法都體現(xiàn)了化歸的思想，而且后面的證法中使用的拆分技巧“化減為加”也是會經(jīng)常用到的．最后板書法則2，并讓學(xué)生用文字語言敘述法則2．(兩個正數(shù)的商的對數(shù)等于這兩個正數(shù)的對數(shù)的差)
請學(xué)生完成下面的計算
(1) (2) ．
計算后再提出剛才沒有解決的問題即 并將其一般化改為 學(xué)生在說出結(jié)論的同時就可給出證明如下：
設(shè) 則 ， ．教師還可讓學(xué)生思考是否還有其它證明方法，可在課下研究．
將三條法則寫在一起，用投影儀打出，并與指數(shù)的法則進行對比．然后要求學(xué)生從以下幾個方面認識法則
(1) 了解法則的由來．(怎么證)
(2) 掌握法則的內(nèi)容．(用符號語言和文字語言敘述)
(3) 法則使用的條件．(使每一個對數(shù)都有意義)
(4) 法則的功能．(要求能正反使用)
三．鞏固練習(xí)
例2．計算
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
解答略
對學(xué)生的解答進行點評．
例3．已知 ，用 的式子表示
(1) (2) �。�3) ．
由學(xué)生上黑板寫出求解過程．
四．小結(jié)
1．運算法則的內(nèi)容
2．運算法則的推導(dǎo)與證明
3．運算法則的使用
五．作業(yè)略
六．板書設(shè)計
二．對數(shù)運算法則 例1 例3
1. 內(nèi)容
(1)
(2)
(3) 例2 小結(jié)
2. 證明
3. 對法則的認識 (1)條件 (2)功能
試研究如下問題．
�。�1）已知 求證： 或
（2）若 都是正數(shù)且至少有一個不為1，且 ，則 之間的關(guān)系是_____________________．
答案：
�。�1）證明略
（2） 或 ．
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