分組分解法

教學(xué)目標(biāo)

　　1.使學(xué)生掌握分組后能運(yùn)用提公因式和公式法把多項(xiàng)式分解因式；

　　2.通過因式分解的綜合題的教學(xué)，提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力.

　　教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

　　重點(diǎn)：在分組分解法中，提公因式法和分式法的綜合運(yùn)用.

　　難點(diǎn)：靈活運(yùn)用已學(xué)過的因式分解的各種方法.

　　教學(xué)過程設(shè)計(jì)

　　一、復(fù)習(xí)

　　把下列各式分解因式，并說明運(yùn)用了分組分解法中的什么方法.

　　(1)a²－ab+3b－3a；　　(2)x²－6xy+9y²－1；

　　(3)am－an－m²+n²；　　(4)2ab－a²－b²+c².

　　解 (1) a²－ab+3b－3a

　　　　　=(a²－ab)－(3a－3b)

　　　　　=a(a－b)－3(a－b)

　　　　　=(a－b)(a－3);

　　　　(2)x²－6xy+9y²－1

　　　　　=(x－3y) ²－1

　　　　　=(x－3y+1)(x－3y－1);

　　　　(3)am－an－m²+n²

　　　　　=(am－an)－(m²－n²)

　　　　　=a(m－n)－(m+n)(m－n)

　　　　　=(m－n)(a－m－n);

　　　　(4)2ab－a²－b²+c²

　　　　　=c²－(a2+b2－2ab)

　　　　　=c²－(a－b) ²

　　　　　=(c+a－b)(c－a+b).

　　第(1)題分組后，兩組各提取公因式，兩組之間繼續(xù)提取公因式.

　　第(2)題把前三項(xiàng)分為一組，利用完全平方公式分解因式，再與第四項(xiàng)運(yùn)用平方差公式

繼續(xù)分解因式.

　　第(3)題把前兩項(xiàng)分為一組，提取公因式，后兩項(xiàng)分為一組，用平方差公式分解因式，然后兩組之間再提取公因式.

　　第(4)題把第一、二、三項(xiàng)分為一組，提出一個(gè)“－”號，利用完全平方公式分解因式

，第四項(xiàng)與這一組再運(yùn)用平方差公式分解因式.

　　把含有四項(xiàng)的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，先根據(jù)所給的多項(xiàng)式的特點(diǎn)恰當(dāng)分解，再運(yùn)

用提公因式或分式法進(jìn)行因式分解.在添括號時(shí)，要注意符號的變化.

　　這節(jié)課我們就來討論應(yīng)用所學(xué)過的各種因式分解的方法把一個(gè)多項(xiàng)式分解因式.

　　二、新課

　　例1 把 分解因式.

　　問：根據(jù)這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)怎樣分組才能達(dá)到因式分解的目的?

　　答：這個(gè)多項(xiàng)式共有四項(xiàng)，可以把其中的兩項(xiàng)分為一組，所以有兩種分解因式的方法.

　　解 方法一

　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　

　　方法二

　　

　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　 ；

　　例2 把分解因式.

　　問：觀察這個(gè)多項(xiàng)式有什么特點(diǎn)?是否可以直接運(yùn)用分組法進(jìn)行因式分解?

　　答：這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都有公式因ab，可以先提取這個(gè)公因式，再設(shè)法運(yùn)用分組法繼續(xù)分解因式.

　　解：

　　　　　　　　　　=

　　　　　　　　　　=

　　　　　　　　　　=

　　　　　　　　　　=

例3 把45m2－20ax2+20axy－5ay2分解因式.

　　分析：這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式5a，先提取公因式，再觀察余下的因式，可以按：一、三”分組原則進(jìn)行分組，然后運(yùn)用公式法分解因式.

　　解　45m2－20ax2+20axy－5ay2=5a(9m2－4x2+4xy－y2)

　　　　　　　　　　　　=5a[9m2－(4x2－4xy+y2)]

　　　　　　　　　　　　=5a[(3m2)－(2x－y) 2]

　　　　　　　　　　　　=5a(3m+2x－y)(3m－2x+y).

　　例4 把2(a2－3mn)+a(4m－3n)分解因式.

　　分析：如果去掉多項(xiàng)式的括號，再恰當(dāng)分組，就可用分組分解法分解因式了.

　　解 2(a2－3mn)+a(4m－3n)=2a2－6mn+4am－3an

　　　　　　　　　　　　　=(2a2－3an)+(4am－6mn)

　　　　　　　　　　　　　=a(2a－3n)+2m(2a－3n)

　　　　　　　　　　　　　=(2a－3n)(a+2m).

　　指出：如果給出的多項(xiàng)式中有因式乘積，這時(shí)可先進(jìn)行乘法運(yùn)算，把變形后的多項(xiàng)式按照分組原則，用分組分解法分解因式.
三、課堂練習(xí)

　　把下列各式分解因式：

　　(1)a2+2ab+b2－ac－bc；　　(2)a2－2ab+b2－m2－2mn－n2；

　　(3)4a2+4a－4a2b+b+1；　　(4)ax2+16ay2－a－8axy；

　　(5)a(a2－a－1)+1；　　　(6)ab(m2+n2)+mn(a2+b2)；

　　答案：

　　(1)(a+b)(a+b－c)；　　　　(2)(a－b+m+m)(a－b－m－n)；

　　(3)(2a+1)(2a+1－2ab+b)；　(4)a(x－4y+1)(x－4y－1)；

　　(5)(a－1) 2 (a+1)；  　　　(6)(bm+an)(am+bn).

　　四、小結(jié)

　　1.把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解時(shí)，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，就先提出公因式，把原多項(xiàng)式變?yōu)檫@個(gè)公因式與另一個(gè)因式積的形式.如果另一個(gè)因式是四項(xiàng)(或四項(xiàng)以上)的多項(xiàng)式，再考慮用分組分解法因式分解.

　　2.如果已知多項(xiàng)式中含有因式乘積的項(xiàng)與其他項(xiàng)之和(或差)時(shí)(如例3)，先去掉括號，把多項(xiàng)式變形后，再重新分組.

　　五、作業(yè)

　　1.把下列各式分解因式：

　　(1)x3y－xy3；　　　　　(2)a4b－ab4；

　　(3)4x2－y2+2x－y；　　　(4)a4+a3+a+1；

　　(5)x4y+2x3y2－x2y-2xy2；　(6)x3－8y3－x2－2xy－4y2；

　　(7)x2+x－(y2+y)；　　　(8)ab(x2－y2)+xy(a2－b2).

　　2.已知x－2y=－2b=－4098，求2bx2－8bxy+8by2－8b的值.

　　答案：

　　1.(1)xy(x+y)(x－y)；　　　(2)ab(a－b)(a2+ab+b2)；

　　  (3)(2x－y)(2x+y+1)；　　(4)(a+1) 2 (a2－a+1)；

　　　(5)xy(x+2y)(x+1)(x－1)；　(6)(x2+2xy+4y2)(x－2y－1)；

　　　(7)(x－y)(x+y+1)；　　　(8)(ax－by)(bx+ay).

　　2.原式=2b(x－2y+2)(x－2y－2)當(dāng)x－2y=－2，b=－4098時(shí)，原式的值=0.

　　課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明

　　1.突出“通法”的作用.

　　對于含四項(xiàng)的多項(xiàng)式，可以根據(jù)所給的多項(xiàng)式的特點(diǎn)，常采取“二、二”分組或“一、三”分組的方法進(jìn)行因式分解，這是運(yùn)用分組法把多項(xiàng)式分解因式的通法，是帶有規(guī)律性和程序性的解題思路，學(xué)生應(yīng)切實(shí)掌握.安排例1的目的是：引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分組的通法把一個(gè)含有六項(xiàng)的多項(xiàng)式分解因式，促使學(xué)生能舉一反三，觸類旁通.

　　2.加強(qiáng)各種方法的縱橫聯(lián)系.

　　把分組分解法與提公因式法和公式法之間結(jié)合為一體，進(jìn)行縱橫聯(lián)系，綜合運(yùn)用，考察學(xué)生掌握因式分解的方法和技能的狀況是這節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)的目標(biāo).通過討論例3，引導(dǎo)學(xué)生綜合應(yīng)用三種方法把多項(xiàng)式分解因式，以開發(fā)學(xué)生解題思路的變通性和靈性活，對于啟迪學(xué)生的思維和開闊學(xué)生的視野起到重要作用.

　　3.打通相反的思維過程.

　　因式分解與整式乘法是相反的變形，也是相反的思維過程，學(xué)生在學(xué)習(xí)多項(xiàng)式的因式分解時(shí)，也應(yīng)當(dāng)適當(dāng)聯(lián)系整式的乘法.安排例4，目的是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到，在把多項(xiàng)式因式分解時(shí)，如果給出的多項(xiàng)式出現(xiàn)了有因式乘積的項(xiàng)，但又不能提取公因式，這時(shí)就需要進(jìn)行乘法運(yùn)算，把變形后的多項(xiàng)式重新分組，再分解因式，從而啟發(fā)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，應(yīng)善于對數(shù)學(xué)知識和方法融匯貫通習(xí)慣于正向和逆向思維.
探究活動

　　系數(shù)為1的 型的二次三項(xiàng)式同學(xué)們已經(jīng)會分解因式了，那么二次項(xiàng)系數(shù)不是1的二次三項(xiàng)式 怎么分解呢？如：

　　1． ；2. .

　　有興趣的同學(xué)可以模仿 型式子的因式分解試著把上面兩式分解因式,你能總結(jié)出規(guī)律嗎?

　　答案:

　　1. ; 2. .

　　規(guī)律：二次項(xiàng)系數(shù)不是1的二次三項(xiàng)式 分解因式時(shí)，若滿足下列條件，則可將其分解為 ：

　　 可分解為 ， 即

　　 可分解為 ， 即

　　 ， ， ， 滿足 ，即

　　按斜線十字交叉相乘的積之和 若與一次項(xiàng)系數(shù) 相等，則可分解因式，

　　第一個(gè)因式由第一行的兩個(gè)數(shù)組成

　　第二個(gè)因式由第二行的兩個(gè)數(shù)組成

　　分解結(jié)果為：

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