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第九冊(cè)約數(shù)和倍數(shù)的意義
一、教法建議
【拋磚引玉】
通過本單元的教學(xué)要使學(xué)生掌握整除、約數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、質(zhì)因數(shù)、公約數(shù)、最大公約數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)等概念；知道有關(guān)概念之間的聯(lián)系和區(qū)別，能夠有條理、有根據(jù)地進(jìn)行思考；能使學(xué)生掌握能被2、5、3整除的數(shù)的特征；會(huì)分解質(zhì)因數(shù)；會(huì)求最大公約數(shù)（兩個(gè)數(shù)）和最小公倍數(shù)。
（一）教學(xué)整除的概念
因?yàn)檎@部分知識(shí)，學(xué)生在第八冊(cè)教材中已接觸過，因此在教學(xué)整除的概念時(shí)要注意抓住三點(diǎn)。
1.復(fù)習(xí)“整除”的意義。
例如：你能說出整除的含義嗎？下面哪個(gè)算式的第一個(gè)數(shù)能被第二個(gè)數(shù)整除？
23÷7=3……2 6÷5=1.2
15÷3=5 24÷2=12
2.用定義的形式對(duì)“整除”加以概括，并用字母表示。
兩個(gè)數(shù)相除，如果用字母表示，可以這樣說：整數(shù)a除以整數(shù)b (b≠0)，除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除（也就可以說b能整除a）。
3.突出強(qiáng)調(diào)除數(shù)不有是0。
（二）教學(xué)約數(shù)和倍數(shù)的概念
約數(shù)和倍數(shù)的概念是本單元最基本的概念，教學(xué)時(shí)要抓住五點(diǎn)。
1.通過“整除”引出“約數(shù)”和“倍數(shù)”的概念后，加以概括。
例如：15÷3=5，15能被3整除，我們就說15是3的倍數(shù)，3是15的約數(shù)。
如果整數(shù)a能被整數(shù)b（b≠0）整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。
2.要強(qiáng)調(diào)倍數(shù)和約數(shù)是一對(duì)密不可分的概念。它們是互相依存的關(guān)系。
3.要掌握求一個(gè)數(shù)的“約數(shù)”和“倍數(shù)”的方法，并掌握其各自的特征。
在掌握一個(gè)數(shù)的約數(shù)和倍數(shù)求法的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)說明其特征：
一個(gè)數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是1最大的約數(shù)是它本身。
一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。
可討論一下為什么？
4.強(qiáng)調(diào)一個(gè)數(shù)既可以是另一個(gè)數(shù)的約數(shù)，又可以是其它數(shù)的倍數(shù)。
如：12既是60的約數(shù)，又是6的倍數(shù)。
5.要重點(diǎn)處理好0的問題。
根據(jù)約數(shù)和倍數(shù)的概念，0是任何自然數(shù)的倍數(shù)，任何自然數(shù)都是0的約數(shù)。但研究分解質(zhì)因數(shù)、最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)時(shí)，是把0除外的，所以要著重指出在后面研究的內(nèi)容里不包括0，這樣可以減少不必要的麻煩。
（三）教學(xué)能被2、5、3整除的數(shù)的特征主要把握以下四點(diǎn)
1.通過觀察、引導(dǎo)，掌握能被2、5、3整除的數(shù)的特征。
2.能根據(jù)特征進(jìn)行判斷。
3.通過能被2整除的特征，引出奇數(shù)和偶數(shù)的概念。
能被2整除的數(shù)叫偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。
4.深化知識(shí)，溝通知識(shí)之間的聯(lián)系。
(1)在□中填上幾符合要求。
5□，能被2整除又能被3整除。
1□0，能被2、3、5同時(shí)整除。
(2)能被9整除的數(shù)，能否一定被3整除？為什么？
（四）教學(xué)質(zhì)數(shù)、合數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)要抓住四點(diǎn)
1.通過對(duì)每個(gè)數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)及特點(diǎn)進(jìn)行分類，引出質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念。
一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)約數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也叫做素?cái)?shù)）。
如：2、3、5、7、11都是質(zhì)數(shù)。
一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)。
如：4、6、8、9、10、12都是合數(shù)。
2.重點(diǎn)說明“
3.能利用質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念，判斷一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)。
如：下面哪些數(shù)是質(zhì)數(shù)？哪些數(shù)是合數(shù)？
19、21、43、67、2、89
4.掌握質(zhì)因數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)的概念和分解質(zhì)因數(shù)的方法。
(1)每個(gè)合數(shù)教可以寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式，其中每個(gè)質(zhì)數(shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù)，叫做這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)。
如：60=2×2×3×5，2、2、3、5都是60的質(zhì)因數(shù)。
(2)把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。
(3)通常用短除法來分解質(zhì)因數(shù)，這樣比較簡(jiǎn)便。
把一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，先用一個(gè)能整除這個(gè)合數(shù)的質(zhì)數(shù)（通常從最小的開始）去除，得出的商如果是質(zhì)數(shù)，就把除數(shù)和商寫成相乘的形式；得出的商如果是合數(shù)，就照上面的方法繼續(xù)除下去直到得出的商是質(zhì)數(shù)為止，然后把各個(gè)除數(shù)和最后的商寫成連乘的形式。
（五）教學(xué)公約數(shù)和最大公約數(shù)要抓住以下四個(gè)方面
1.公約數(shù)和最大公約數(shù)的概念
幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。
例如：1、2、4是8和12的公約數(shù)；4是8和12的最大公約數(shù)。
2.通過公約數(shù)的概念引出互質(zhì)數(shù)的概念
公約數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。
例如：5和7是互質(zhì)數(shù)，7和9也是互質(zhì)數(shù)。
3.求兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)的方法
為了簡(jiǎn)便、通常寫成下面的形式。
2 18 30 ……用公有的質(zhì)因數(shù)2除
3 9 15 ……用公有的質(zhì)因數(shù)3除
3 5 ……除到兩個(gè)商是互質(zhì)數(shù)為止
把所有的除數(shù)乘起來，得到18和30的最大公約數(shù)是2×3=6。
求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，一般先用這兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來。
在除的過程中，有時(shí)也可以用兩個(gè)數(shù)的公約數(shù)去除。
4.求最大公約數(shù)的兩種特殊情況
(1)如果較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。
(2)如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公約數(shù)是1。
例如：7和21的最大公約數(shù)是7。
8和15的最大公約數(shù)是1。
對(duì)于能直接看出最大公約數(shù)的就不再用短除法來求了。
（六）教學(xué)公倍數(shù)和最小公倍數(shù)，要抓住以下四個(gè)方面
1.公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的概念。
幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。
例如：12、24、36、……都是4和6的公倍數(shù)，12是4和6的最小公倍數(shù)。
2.求最小公倍數(shù)的方法。
通常我們用分解質(zhì)因數(shù)的方法來求幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。為了簡(jiǎn)便，通常寫成下面的形式：
(1)求18和30的最小公倍數(shù)。
2 18 30 ……用公有的質(zhì)因數(shù)2除
3 9 15 ……用公有的質(zhì)因數(shù)3除
3 5 ……除到兩個(gè)商是互質(zhì)數(shù)為止
把所有的除數(shù)和商連乘起來，得到18和30的最小公倍數(shù)是2×3×3×5=90。
求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，先用這兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除（一般從最小的開始），一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)和最后的兩個(gè)商連乘起來。
(2)求8、12和30的最小公倍數(shù)。
求三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，通常這樣做：
2 8 12 30 ……用三個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)2除
2 4 6 15 ……4和6還有質(zhì)因數(shù)2，再用2除以這個(gè)數(shù)，把15移下來
3 2 3 15 ……3和15還有公有的質(zhì)因數(shù)，再用3除這兩個(gè)數(shù)，把2移下來
2 1 5 ……2、1和5每?jī)蓚�(gè)數(shù)都是互質(zhì)數(shù)，除到這里為止
在講求最小公倍數(shù)的方法時(shí)，重點(diǎn)講明算理。
3.求兩個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)的特殊情況。
(1)如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍 數(shù)。
如：12和48的最小公倍數(shù)是48。
(2)如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。
如：7和8的最小公倍數(shù)是56。
以后計(jì)算時(shí)，如果能直接看出最小公倍數(shù)是多少，可以不寫出計(jì)算過程。
4.通過討論，比較求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)與求三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)；比較求最大公約數(shù)與求最小公倍數(shù)的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。
【指點(diǎn)迷津】
1.“整除”和“除盡”有什么聯(lián)系和區(qū)別？
在整數(shù)除法里，a÷b=c，除得的商c如果是整數(shù)，而沒有余數(shù)，我們就說，a能被b整除，或者說b能整除a。如：15÷3=5，我們說15能被3整除，或者說3能整除15。
在除法里，a÷b=c，數(shù)a、數(shù)b、以及商c不見得是整數(shù)，但沒有余數(shù)，我們就說a能被b除盡，或者說b能夠除盡a。例如，10÷4=2.5、1.5÷3=0.5、1.5÷0.3=5，都可以說被除數(shù)a能被除數(shù)b除盡。
從上面可以看出，整除是限定在整數(shù)除法里的，而“除盡”就不一定限于整數(shù)除法。我們還可以用集合圖表示其關(guān)系：如果a能被b整除，a就一定能被b除盡；反之，a能被b除盡，a卻不一定能被b整除。即整除可以說是除盡，但除盡不一定是整除，整除是除盡的一種特殊情況。
2.“約數(shù)”和“倍數(shù)”有什么關(guān)系？又有什么不同？
如果數(shù)a能被數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。如12÷3=4，我們就說12是3的倍數(shù)，3是12的約數(shù)。不能說12是倍數(shù)，3是約數(shù)。由此可見，倍數(shù)和約數(shù)是相互依存的。
為了說明它們的不同點(diǎn)，請(qǐng)看下表。
個(gè)數(shù)
最小
最大
一個(gè)數(shù)的約數(shù)
有限
是1
是本身
一個(gè)數(shù)的倍數(shù)
無限
是本身
沒有
3.什么叫質(zhì)因數(shù)？什么叫分解質(zhì)因數(shù)？
把一個(gè)合數(shù)分解成若干質(zhì)數(shù)連乘積的形式，每一個(gè)質(zhì)數(shù)就是這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)。如：12=2×2×3，2、3叫12的質(zhì)因數(shù)。
分解質(zhì)因數(shù)就是把一個(gè)合數(shù)寫成若干質(zhì)數(shù)連乘積的形式。如12=2×2×3。
4.“
能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，因?yàn)椤?st1:chmetcnv w:st="on" tcsc="0" numbertype="1" negative="false" hasspace="false" sourcevalue="0" unitname="”">0”能被2整除，所以“
最小的偶數(shù)是幾？先要搞清范圍，在自然數(shù)范圍內(nèi)，最小的偶數(shù)是2，到中學(xué)里學(xué)了負(fù)數(shù)就不存在最小的偶數(shù)了。
二、學(xué)海導(dǎo)航
【思維基礎(chǔ)】
1.舉例說明什么叫整除？
例如：20÷5=4，20能被5整除，或5能整除20。
整數(shù)a除以整數(shù)b（b≠0），除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除（也可以說b能整除a）。
2.什么是約數(shù)和倍數(shù)？它們之間有什么關(guān)系？
如果整數(shù)a能被整數(shù)b（b≠0）整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。
舉例：20÷5=4，20能被5整除，我們就說20是5的倍數(shù)，5是20的約數(shù)。
約數(shù)和倍數(shù)是互相依存的。
3.找出60的約數(shù)，4的倍數(shù)。
60的約數(shù)有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。
4的倍數(shù)有：4、8、12、16、20……
從上面可以看出：一個(gè)數(shù)約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是它本身。
一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。
4.說說下面的數(shù)哪些能被2整除？哪些能被3整除？哪些能被5整除？各自的特征是什么？
21、54、65、204、280、58、83、114、75、320、87、155
能被2整除的數(shù)有：54、204、280、58、114、320。
能被3整除的數(shù)有：21、54、204、114、75、87。
能被5整除的數(shù)有：65、280、75、320、155。
由此可知：
個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)，都能被2整除。
一個(gè)數(shù)的各位上的數(shù)的和能被3整除，這個(gè)數(shù)就能被3整除。
個(gè)位上是0或者5的數(shù)，都能被5整除。
5.說出什么叫質(zhì)數(shù)、什么叫合數(shù)并判斷下面各數(shù)哪些是質(zhì)數(shù)、哪些是合數(shù)。
3、27、41、6、11、19、69、57、97
一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)約數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也叫做素?cái)?shù)）。
一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)。
質(zhì)數(shù)有：3、41、11、19、97
合數(shù)有：27、6、69、57
6.把下面各數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，并說出分解質(zhì)因數(shù)的方法。
12、15和20的最小公倍數(shù)是2×2×3×5=60。
求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，先用這兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除（一般從最小的開始），一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)和最后的兩個(gè)商連乘起來。
【學(xué)法指要】
1.三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積為什么一定是6的倍數(shù)？
思路分析：因?yàn)槿我馊齻�(gè)連續(xù)自然數(shù)里，至少有一個(gè)是2的倍數(shù)和一個(gè)是3的倍數(shù)，而2的倍數(shù)與3的倍數(shù)的乘積，就必然是6的倍數(shù)。
2.書架上有96本科技讀物，如果不一次拿走，也不是一本一本地拿走，要求每次拿走的本數(shù)同樣多，而且正好取光，問共有多少種拿法？
思路分析：通過讀題，便可理解題目的意思，就是求96的約數(shù)的個(gè)數(shù)是多少，而題目告訴我們?nèi)绻灰淮文米撸膊皇且槐疽槐镜啬米�，�?shí)際是要我們把1和96這兩個(gè)約數(shù)扣除才是要求的答案。
96的約數(shù)的個(gè)數(shù)：（5＋1）×（1＋1）=12（個(gè)）
扣除約數(shù)1和96，則約數(shù)的個(gè)數(shù)是：12－2=10（個(gè)）
答：共有10種拿法。
3.在1～100的自然數(shù)中，既沒有約數(shù)2，又沒有約數(shù)3，還沒有約數(shù)5的數(shù)，共有多少個(gè)？
思路分析：在1～100的自然數(shù)中，把有約數(shù)2的數(shù)、有約數(shù)3的數(shù)、有約數(shù)5的數(shù)扣除，就是要求的答案的個(gè)數(shù)。
在1～100的自然數(shù)中，
有約數(shù)2的數(shù)有：100÷2=50（個(gè)）
有約數(shù)3的數(shù)有：100÷3=33（個(gè)）……1
有約數(shù)5的數(shù)有：100÷5=20（個(gè)）
有約數(shù)2、3的數(shù)有：100÷（2×3）=16（個(gè)）……4
有約數(shù)3、5的數(shù)有：100÷（3×5）=6（個(gè)）……10
有約數(shù)2、5的數(shù)有：100÷（2×5）=10（個(gè)）
有約數(shù)2、3、5的數(shù)有：100÷（2×3×5）=3（個(gè)）……10
解：在1～100的自然數(shù)中，既沒有約數(shù)2，又沒有約數(shù)3，還沒有約數(shù)5的自然數(shù)共有：100－[(50＋33＋20)－(16＋10＋6)＋3]=26（個(gè)）
4.用0、2、4、5、7組成一個(gè)五位數(shù)，使這個(gè)數(shù)是除以5余4的最小的五位數(shù)。
思路分析：用0、2、4、5、7組成的五位數(shù)有很多，如24570、24507、24057、20457……滿足最小五位數(shù)這個(gè)條件的最高位上的數(shù)字必須是最小 的那個(gè)數(shù)字，而這五個(gè)數(shù)字其中最小的那個(gè)數(shù)字是0，0在這五位數(shù)中不能排首位，所以只能把2排在最高位打頭。題目的要求是最小的五位數(shù)，千位上的數(shù)字必須是0，百位上是5，十位上是7，個(gè)位上是4。那么為什么百位上不是4呢？因?yàn)轭}目的要求是除以5余4。所以百位上的數(shù)字不能是4，只能把4放在個(gè)位上。
解：用0、2、4、5、7組成的一個(gè)五位數(shù)，使這個(gè)數(shù)除以5余4，還須是最小的五位數(shù)，那只能是20574。
5.一個(gè)長(zhǎng)方體的3個(gè)側(cè)面積分別為s1=20平方厘米，s2=15平方厘米，s3=12平方厘米。求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？
思路分析：根據(jù)長(zhǎng)方體6個(gè)面的特征，我們知道：每個(gè)長(zhǎng)方體的6個(gè)面都是相對(duì)的兩個(gè)面的面積相等。但是已知的3個(gè)面的面積都不相等，我們就可以推出：已知的3個(gè)面一定相交于一個(gè)頂點(diǎn)。這樣，我們就可以畫出這個(gè)長(zhǎng)方體的圖。
然后把已知條件都標(biāo)在圖上，假設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，s1=ab=20，s2=ac=15，s3=bc=12（如圖所示）。求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積，必須知道這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各是多少。但是長(zhǎng)、寬、高都沒直接給出。不過，長(zhǎng)、寬、高這三個(gè)數(shù)中，每?jī)蓚�(gè)數(shù)的乘積我們都知道，如果把每?jī)蓚�(gè)數(shù)的乘積再相乘，里面一定有三個(gè)數(shù)之積。我們仔細(xì)分析：ab×ac×bc，根據(jù)乘法的交換律和結(jié)合律，可以變換為(abc)×(abc)。如果我們能把3個(gè)側(cè)面積的積，分成兩個(gè)相同的數(shù)的乘積，問題就可以迎刃而解。abc就是長(zhǎng)方形的體積。那么3個(gè)側(cè)面積的乘積怎樣分成兩個(gè)相同的數(shù)相乘呢？把這幾個(gè)相乘的數(shù)分解質(zhì)因數(shù)。
解： 20×15×12
=2×2×5×3×5×3×2×2
=(2×2×3×5)×(2×2×3×5)
=60×60
∴abc=60
答：這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是60立方厘米。
【思維體操】
1.有甲、乙兩數(shù)，它們的最大公約數(shù)是6，最小公倍數(shù)是72，求甲、乙二數(shù)。
解法一： 72=2×2×2×3×3
=2×2×(2×3)×3
=4×6×3
4×6=24
6×3=18
答：甲、乙二數(shù)分別是24和18。
解法二： 72÷6=12
12=2×2×3
因?yàn)椋?與6(2×3=6)不是互質(zhì)數(shù)，所以，只有4(2×2=4)與3才是互質(zhì)數(shù)。
6×4=24
6×3=18
答：甲、乙二數(shù)分別是24和18。
評(píng)析：解法一把甲、乙二數(shù)的最小公倍數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，從這個(gè)質(zhì)因數(shù)連乘式中找出它們的最大公約數(shù)，再組成一個(gè)連乘式。這個(gè)連乘式中除去有它們的最大公約數(shù)外，必須有兩個(gè)互質(zhì)數(shù)。用這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)分別乘以它們的最大公約數(shù)，就可以求出這兩個(gè)數(shù)。
解法二用甲、乙二數(shù)的最小公倍數(shù)除以它們的最大公約數(shù)，所得的商必是甲、乙二數(shù)取出最大公約數(shù)后，所剩下的兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積。因此，把所求得的商再分解因數(shù)，并搭配成兩個(gè)互質(zhì)數(shù)，最后用這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)分別乘以它們的最大公約數(shù)，就可以求出這兩個(gè)數(shù)了。這兩種解法各有千秋，一般采取第一種解法的比較多。
2.從1＋2＋3＋……＋1991所得的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？
解法一：求出它們的和是多少？
=1983036
所以它們的和是偶數(shù)。
解法二：從1到1991的數(shù)中，偶數(shù)有1990÷2=995（個(gè)），其和為偶數(shù)；有995＋1=996（個(gè)）奇數(shù)，其和為偶數(shù)。因?yàn)閮蓚�(gè)偶數(shù)的和一定是偶數(shù)。所以，1＋2＋3＋……＋1990＋1991的和是偶數(shù)。
評(píng)析：解法一是先確定其和是奇數(shù)還是偶數(shù)，根據(jù)求連續(xù)自然數(shù)和公式，求出它們的和，然后知道和是偶數(shù)。解法二是先確定從1到1991這1991個(gè)自然數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)和偶數(shù)的個(gè)數(shù)，然后根據(jù)自然數(shù)中任意幾個(gè)偶數(shù)的和還是偶數(shù)，單數(shù)個(gè)奇數(shù)的和仍為奇數(shù)，雙數(shù)個(gè)奇數(shù)的和為偶數(shù)這一特征，來確定其和是奇數(shù)還是偶數(shù)。
這兩種解法，第一種是采用計(jì)算的方法比較麻煩，我們提倡第二種方法，它是根據(jù)這一列數(shù)的特征，按奇、偶數(shù)排列，來找出答案的。
3.在1、2、4、6、12、24、36、48中，哪些數(shù)是24的約數(shù)？哪些數(shù)是3的倍數(shù)？
分析：由于題目給出了有限的幾個(gè)數(shù)，所以在思考24的約數(shù)以及它的倍數(shù)時(shí)，只能從題目中的已知的這幾個(gè)數(shù)中選擇。這比寫出某個(gè)數(shù)的全部約數(shù)或指某數(shù)的幾個(gè)倍數(shù)的題目，有一定難度。
解答：本題24的約數(shù)有1、2、4、6、12、24，24的倍數(shù)有24、48兩個(gè)。
4.從小到大寫出10個(gè)有約數(shù)11的數(shù)。
分析：由于某數(shù)有約數(shù)11，說明某數(shù)能被11整除。某數(shù)有約數(shù)11，實(shí)質(zhì)上某數(shù)是11的倍數(shù)，所以只要從小到大寫出11的倍數(shù)即可。
解答：從小到大10個(gè)有約數(shù)11有數(shù)是11、22、33、44、55、66、77、88、99。
5.既有約數(shù)2，又有約數(shù)3的50以內(nèi)最大數(shù)是幾？
分析：解答時(shí)首先要理解題意，同時(shí)要注意得數(shù)的范圍。
解答：既有約數(shù)2，又有約數(shù)3的最小數(shù)是6，50以內(nèi)6的倍數(shù)有6、12、18、24、30、36、42、48。其中最大的數(shù)是48，因此48就是本題的答案。
6.三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積為什么一定是6的倍數(shù)？
分析：因?yàn)槿我馊齻�(gè)連續(xù)自然數(shù)時(shí)，至少有一個(gè)是2的倍數(shù)和3的倍數(shù)，而2的倍數(shù)與3的倍數(shù)的乘積，必須是6的倍數(shù)。
7.在1～100的自然數(shù)中，既沒有約數(shù)2，又沒有約數(shù)3，還沒有約數(shù)5的數(shù)，共有多少個(gè)？
分析：在1～100的自然數(shù)中，把有約數(shù)2的數(shù)，有約數(shù)3的數(shù)、有約數(shù)5的數(shù)扣除，就是問題所求。所以解這道題時(shí)先分別求出1～100的自然數(shù)中有約數(shù)2、3、5數(shù)的個(gè)數(shù)。
解答：在1～100的自然數(shù)中：
有約數(shù)2的數(shù)有：100÷2=50(個(gè))
有約數(shù)3的數(shù)有：100÷3=33(個(gè))……1
有約數(shù)2、3的數(shù)有：100÷(2×3)=16(個(gè))……4
有約數(shù)2、5的數(shù)有：100÷(2×5)=10(個(gè))
有約數(shù)3、5的數(shù)有：100÷(3×5)=6(個(gè))……10
有約數(shù)2、3、5的數(shù)有：100÷(2×3×5)=3(個(gè))……10
在1～100的自然數(shù)中，既沒有2的約數(shù)，又沒有3的約數(shù)，還沒有5的約數(shù)的自然數(shù)共有：
100－[(50+33+20)－(16+10+6)+3]=26(個(gè))
三、智能顯示
【心中有數(shù)】
（一）本單元學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容
（二）請(qǐng)你考考自己
選擇題。把正確答案的字母填入括號(hào)內(nèi)。
(1)第一個(gè)數(shù)能被第二個(gè)數(shù)整除的是（）。
(A) 15和2 (B) 3和8 (C) 1.5和5 (D) 24和6
(2)兩個(gè)奇數(shù)的和是（ ）。
(A)質(zhì)數(shù) (B)合數(shù) (C)可能是質(zhì)數(shù)，也可能是合數(shù) (D)可能是質(zhì)數(shù)、1或者合數(shù)
(3)兩個(gè)數(shù)的（ ）個(gè)數(shù)是有限的。
(A)公約數(shù) (B)公倍數(shù) (C)最大公約數(shù) (D)最小公倍數(shù)
(4)在自然數(shù)中，凡是7的倍數(shù)（ ）。
(A)都是偶數(shù) (B)都是奇數(shù) (C)都是質(zhì)數(shù) (D)可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)
(5)如果a÷b=5，那么（ ）。
(A) a一定能整除b (B) a可能整除b
(C) b一定是a的約數(shù) (D) b可能是a的約數(shù)
(6)甲數(shù)=2×3×5×a，乙數(shù)=2×3×7×a，當(dāng)a=（ ）時(shí)，甲、乙兩數(shù)的最大公約數(shù)是30。
(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 7
【動(dòng)腦動(dòng)手】
1.奶奶家有一個(gè)天達(dá)牌電子表，每起24分鐘亮一次燈，每到整點(diǎn)鐘響一次鈴。早晨6點(diǎn)時(shí)，這個(gè)電子表既響鈴又亮燈。那么，下一次既響鈴又亮燈時(shí)是幾點(diǎn)鐘？
2. 6與哪個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為3，而最小公倍數(shù)為30。
3.為迎接30年大慶少先隊(duì)員跳集體舞，不論每列4人、5人或6人，都能排成一個(gè)長(zhǎng)方形隊(duì)伍而無剩余，問少先隊(duì)員至少有多少人？如果人數(shù)在150到200之間，那么少先隊(duì)員有多少人？
參考答案：
1.思路分析：因?yàn)檫@個(gè)電子表6點(diǎn)整的時(shí)候既響鈴又亮燈，又因?yàn)樗孔?4分鐘亮一次燈，所以從6點(diǎn)鐘起電子表走的分鐘是24分鐘亮一次，只要是24分鐘的倍數(shù)電子表都會(huì)亮燈。也就是說，下一次既響鈴又亮燈時(shí)，電子表所走的分鐘數(shù)一定是24的倍數(shù)。同樣道理，因?yàn)殡娮隅娒康秸c(diǎn)鐘響一次鈴，即電子表每走60分鐘響一次鈴。那么下一次既響鈴又亮燈時(shí)，電子表所走的分鐘數(shù)也一定是60的倍數(shù)。所以下一次既響鈴又亮為時(shí)，電子表所起的分鐘數(shù)一定是24和60的公倍數(shù)，而且是它們的最小公倍數(shù)。
解：(1)求24和60的最小公倍數(shù)。
[24，60]=120
(2)計(jì)算走了幾個(gè)小時(shí)。
120÷60=2（小時(shí)）
(3)計(jì)算下一次既響鈴又亮燈時(shí)是幾點(diǎn)鐘。
6＋2=8（點(diǎn)）
答：下一次既響鈴又亮燈時(shí)是上午8點(diǎn)鐘。
2.思路分析：因?yàn)閮蓴?shù)的乘積等于這兩數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積。
解：設(shè)所求的數(shù)是a，則
3.思路分析：根據(jù)題意可知，少先隊(duì)員人數(shù)分別能被4、5、6整除，所以人數(shù)是4、5、6的公倍數(shù)，題目要求至少有多少人，因此要求4、5、6的最小公倍數(shù)。
解：[4、5、6]=60（人）
答：少先隊(duì)員至少有60人。
60×3=180（人）
答：如果少先隊(duì)員在150至200之間，那么少先隊(duì)員有180人。
【創(chuàng)新園地】
1.兔子出生兩個(gè)月后就能生一對(duì)小兔，這一對(duì)小兔兩個(gè)月后又能生一對(duì)小兔。如果年初養(yǎng)了初生的一對(duì)小兔，一年后共有幾對(duì)兔子（不考慮意外死亡）？
2.有近
3.有一張長(zhǎng)為105厘米、寬為75厘米的大紙，裁成大小相同的小正方形紙，要求無多余。問至少可裁多少張？
4.體育室有96根跳繩，如果不是一次拿走，也不是一根一根地拿走，要求每次拿走的根數(shù)同樣多，而且正好取光，問共有多少拿法？
參考答案：
1.年初的一至兔子，到3月份生一對(duì)；到兩個(gè)月后的5月份，年初的一對(duì)兔子和3月份生的一對(duì)兔子，2對(duì)兔子生2對(duì)；到7月份，4對(duì)兔子生4對(duì)；到9月份8對(duì)兔子生8對(duì)；到11月份16對(duì)兔子生16對(duì)；到第二年的1月正好一年，就有32對(duì)兔子生32對(duì)。
解：1＋1＋2＋4＋8＋16＋32=64（對(duì)）
答：一年后共有64對(duì)兔子。
2.解：[6、8、9]=72
72×4＋3=291（厘米）=
答：繩長(zhǎng)
3.解：（105、75）=15
（105÷15）×（75÷15）=35（張）
答：至少可裁35張。
4.分析：根據(jù)題意求共有多少種拿法？與96的約數(shù)的個(gè)數(shù)有密切的關(guān)系。題中告訴我們?nèi)绻灰淮文米撸膊皇且桓桓啬米�。顯然問題所求就是求96的所有約數(shù)個(gè)數(shù)去掉1和96這兩個(gè)約數(shù)的個(gè)數(shù)的差。
解：96的約數(shù)有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、32、48、96共12個(gè)。
12－1－1=10(個(gè))
答：共有10種拿法。
【同步題庫】
1.先口算，然后對(duì)符合整除意義的式子后面的括號(hào)里畫“√”，對(duì)不符合整除意義的在括號(hào)里畫“×”。
93÷3= ( ) 19÷2= ( )
3.5÷5= ( ) 4÷4= ( )
7.4÷3.7= ( ) 4÷0.8= ( )
2.填空
(1)在20、4.8、92、、0、0.3、111、1中，( )是自然數(shù)，( )是整數(shù)。
(2)寫出小于9的所有自然數(shù)( )；比5小而又不小于0的整數(shù)有( )。
(3) 29的約數(shù)有( )；36的約數(shù)有( )。
(4)在30～50中6的倍數(shù)有( )。
3.判斷下面各題，對(duì)的畫“√”，錯(cuò)的畫“×”。
(1)凡是能夠除盡的一定能夠整除。 ( )
(2)自然數(shù)和零都是整數(shù)。 ( )
(3)一個(gè)數(shù)的倍數(shù)都比它的約數(shù)大。 ( )
(4)1是所有自然數(shù)的約數(shù)。 ( )
(5)任何一個(gè)數(shù)都有約數(shù)。 ( )
4.下面的每組數(shù)中，哪一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，哪個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的約數(shù)。
180和60 36和36 19和133
5.把正確的答案填在括號(hào)里。
(1)最小的一位數(shù)是( )
①0 ②0.1 ③1
(2)一棵桃樹上結(jié)了桃，表示桃的個(gè)數(shù)是( )。
①整數(shù) ②分?jǐn)?shù) ③小數(shù) ④自然數(shù)
(3)下面三種說法正確的是( )
已知a能整除7，那么a是( )
①14 ②必定是7 ③是1或7。
(4) 73是73的( )。
①約數(shù) ②倍數(shù) ③約數(shù)也是倍數(shù)
6.在下面的圈內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)
16的約數(shù) 30以內(nèi)的8的倍數(shù) 91的約數(shù)
7.下圖左圖里的數(shù)能被右圖里的哪些數(shù)整除？用直線連線來。
8.既有約數(shù)5，又是2的倍數(shù)的最小三位數(shù)幾？
9.100以內(nèi)除以2或除以5有余數(shù)的數(shù)一共有多少個(gè)？
10.數(shù)a是60的約數(shù)，又是15的倍數(shù)，數(shù)a可能是幾？
11.根據(jù)已知條件，求出a、b的值。
(1)已知：a÷b=3.5,a÷b=3……7
求：a=( )；b=( )
(2)a÷b=3,a－b=16
a=( ),b=( )
12.在( )里填上最小的自然數(shù)。
【參考答案】
1.(√) 2.(×)
(×) (√)
(×) (×)
2.(1)(20、92、111、1)是自然數(shù)，(20、92、111、1、0)是整數(shù)。
(2)小于9的自然數(shù)有(8、7、6、5、4、3、2、1)；比5小而又不小于0的整數(shù)有(4、3、2、1、0)
(3)29的約數(shù)有(1、29)；36的約數(shù)有(1、2、3、4、6、9、12、18、36)
(4)30～50中6的倍數(shù)有(30、36、42、48)
3.判斷題
(1)(×)(2)(√)(3)(×)(4)(√)(5)(×)
4.180是60的倍數(shù)，60是180的約數(shù)；36是36的倍數(shù)，36是36的約數(shù)；19是133的約數(shù)，133是19的倍數(shù)。
5.選擇題
(1)最小的一位數(shù)是(1)
(2)表示桃的個(gè)數(shù)是(自然數(shù))
(3)那么a是(1或者7)
(4)73是73的(約數(shù)也是倍數(shù))
6.略 7.略
8.既有約數(shù)5，又是2的倍數(shù)的最小數(shù)是10，10的倍數(shù)中最小的三位數(shù)是100，所以，既有約數(shù)5，又是2的倍數(shù)的最小三位數(shù)是100。
9.這道題只要求出除以2或除以5沒有余數(shù)的數(shù)有多少個(gè)，再用100減去這個(gè)數(shù)即可。
除以2沒有余數(shù)的數(shù)有100÷2=50(個(gè))，除以5沒有余數(shù)的數(shù)有100÷5=20(個(gè))，其中除以2除以5都沒有余數(shù)有100÷(5×2)=10(個(gè))，它們每10個(gè)數(shù)中出現(xiàn)一次。于是100以內(nèi)除以2整除以5沒有余數(shù)的共有50+20－10=60(個(gè))。那么100以內(nèi)除以2或除以5有余數(shù)的數(shù)就應(yīng)該有：
100－60=40(個(gè))
10.數(shù)a可能是15、30、45、60。
11.(1)a÷b=3.5得知a是b的3.5倍，a÷b=3……7，可知a比b的3倍多7，而b的3.5倍又比它的3倍多0.5倍，0.5倍與7相對(duì)應(yīng)，可以求b
b=7÷(3.5－3)=14,a=14×3.5=49
(2)a÷b=3,得知a是b的3倍，又知a－b=16，也就是a比b多16，此題是差倍問題。先求b，再求a。
b是16÷(3－1)=16÷2=8
a是8×3=24
12.
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